IV. Задачи для самостоятельного решения.

I. Необходимые теоремы и опорные задачи для окружности, вписанной в треугольник и четырехугольник, и окружности, описанной около треугольника и четырехугольника. (Приложение 1)

II. Решение задач по готовым чертежам (удобно воспользоваться кодоскопом).

При этом ученики устно объясняют ход решения задач, формулируют теоремы и опорные задачи, применяемые при решении задач по готовым чертежам.

Готовый чертеж	Дано Найти	Решение Ответ
	AB = BC PABC =?	Отрезки касательных равны: BM = BK = 5 AB = BC = 12 MC = CN = 7, AC = 14, AK = AN = 7, PABC = 12 + 12 + 14 = 38 Ответ: PABC = 38
	AB = 6, АО = PABC =?	Отрезки касательных равны: АВ = ВС 1) , 2) АВ = ВС, , т.к. ВО – биссектриса 3) АВС – равносторонний, PABC = 6 • 3 = 18 Ответ: PABC = 18
	AD – диаметр окружности, АВ = 3, ВД = 4 1. Доказать: NM AD 2. R =?	1. Т.к. AD – диаметр, то DB AN и AC DN, т.е. AC и DB – высоты АND, тогда NK – высота, т.к. они пересекаются в одной точке. Значит NM AD. 2. AD = = 5, R = Ответ: R = 2,5
	R =?	AC – диаметр окружности и гипотенуза прямоугольного АВС, R = = 1,5 Ответ: R = 1,5
	AB = 24, ОК = 5 R =?	О – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам . BKO – прямоугольный, ВК = AK = 12, КО = 5, ВО = = 13 = R Ответ: R = 13

III. Решение задач.

1. Найти периметр прямоугольного треугольника, если радиус вписанной окружности 2 см, а гипотенуза 13 см.

Пусть AM = AN = x, тогда AC = x + 2, CB = 2 + 13 – x = 15 – x (x + 2)2 + (15 – x)2 = 169 x2 – 13x + 30 = 0 x1 = 10, x2 = 3; AC = 6, CB = 12; P = 30 см Ответ: P = 30 см.

2. Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности 3 см, О – центр вписанной окружности, , . Найти площадь треугольника.

АО – биссектриса, AKO – прямоугольный, sin = sin 30о = , АО = 6, AN = AK = = 3 , AC = 3 + 3 , tg 60о = , CB = SABC = = Ответ: S = см2.

3. Периметр треугольника 84. Точка касания вписанной окружности делит одну из сторон на отрезки 12 и 14. Найти радиус вписанной окружности и площадь АВС, если ОВ = 18, О – центр вписанной окружности.

P = 84, KB = BN = 16, ON = = = r AB = 28, BC = 30, AC = 26 По формуле Герона: SABC = = 336 Ответ: r = ; S = 336.

4. В равнобедренном треугольнике расстояние от центра вписанной окружности до вершины не равного угла 5 см. Большая сторона 10 см. Найти радиус вписанной окружности.

OB = 5, , OM = OB . = , BH = 5 + r, AH = 2r, AHB – прямоугольный, 4r2 = 100 – (5 + r)2, r2 + 2r – 15 = 0, r1 = – 5, r2 = 3 Ответ: r = 3 см.

5. Основание равнобедренного треугольника, вписанного в окружность радиуса 5 см, равно 6 см. Найти периметр треугольника.

AHO – прямоугольный: OH = 4, BH = 4 + 5 =9, AB = BC = = P = Ответ: P = см.

6. Периметр треугольника АВС равен 72 см. AB = BC, AB:AC = 13:10. Найти радиус описанной около треугольника окружности.

AB + BC + AC = 72, , AC = 20, AB = BC = = 26, BH = = 24 BN = NA = 13, , R = Ответ: R = см.

7. Основание тупоугольного равнобедренного треугольника равно 24 см, а радиус описанной окружности 13 см. Найти боковую сторону треугольника.

OC = 13, AC = 24, HC = 12 HOC – прямоугольный, OH = = 5 BH = BO – OH =13 – 5 = 8 BHC – прямоугольный, BC = Ответ: см.

8. Окружность, диаметром которой служит АС треугольника АВС, проходит через точку пересечения медиан этого треугольника. Найти отношение длины стороны АС к длине проведенной к ней медианы.

AO = OC = R = OM, BM = 2R, BO = 3R, Ответ: .

9. Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.

SABCD = Т.к. окружность вписанная, то AB + CD = AD + BC = 20 h = 2r = 8, , SABCD = 10 • 8 = 80 Ответ: 80.

10. Дан ромб ABCD. Окружность, описанная около треугольника ABD, пересекает большую диагональ ромба AC в точке E. Найдите CE, если AB = , BD = 16.

AOB – прямоугольный: AO = = 16 AD = 32 По теореме об отрезках пересекающихся хорд: BO • OD = AO • OE, 8 • 8 = 16 • OE, OE = 4, CE = 16 – 4 = 12 Ответ: 12.

IV. Задачи для самостоятельного решения.

1. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 см, а радиус описанной окружности равен 5 см. Найдите больший катет треугольника.

Ответ: (6; 8).

2. Около равнобедренного треугольника с основанием АС и углом при основании 75о описана окружность с центром О. Найдите ее радиус, если площадь треугольника ВОС равна 16.

Ответ: (8).

3. Найдите радиус окружности, вписанной в остроугольный треугольник АВС, если высота BH равна 12 и известно, что , .

Ответ: (4).

4. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Ответ: (25).

5. В равнобедренный треугольник АВС вписана окружность. Параллельно его основанию АС проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках D и E. Найдите радиус окружности, если DE = 8, AC = 18.

Ответ: (6).

6. Около треугольника ABC описана окружность. Медиана треугольника AM продлена до пересечения с окружностью в точке K. Найдите сторону AC, если AM= 18, MK = 8, BK = 10.

Ответ: (15).

7. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.

Ответ: (12).

8. Угол В треугольника АВС равен 60^о, радиус окружности, описанной около АВС, равен 2. Найти радиус окружности, проходящей через точки А и С и центр окружности, вписанной в АВС.

Ответ: (2).

9. Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найти отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

Ответ: (11: 7).

10. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности его катетов. Найти отношение большего катета к меньшему.

Ответ: ().

11. Диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке М, прямые AB и CD пересекаются в точке N. Известно, что , . Найти и .

Ответ: (66o, 42o).

12. Высоты AH и BK остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке M, . Найдите градусную меру угла ABO, где O – центр окружности, описанной около треугольника ABC.

Ответ: (15o).

13. Около окружности описана равнобочная трапеция с основаниями 5 и 3. Найти радиус окружности.

Ответ: ().

14. В равнобедренный АВС с основанием BC вписана окружность. Она касается стороны AB в точке M. Найдите радиус окружности, если AM = 6, BM = 24.

Ответ: (8).

15. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Через центр O вписанной в треугольник окружности проведен луч BO, пересекающий катет AC в точке M. Известно, что AM = , . Найдите гипотенузу и радиус окружности, описанной около треугольника.

Ответ: (24; 12).