Посмотреть видео
Набрать «Ёжику понятно, видео по теме вторая производная, выпуклость функции, точки перегиба»
Лекция «Вторая производная. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба».
1.Вторая производная – это производная от производной функции; обозначается двумя штрихами.
Например, мы имеем функцию у = 2х3 + 4х2.
Найдем две последовательных производных данной функции: у/ = 6х2 + 8х.
Найдя первую производную, мы можем найти вторую производную данной функции: у// = 12х.
Понятие выпуклой функции
При исследовании функции бывает полезно установить, на каких промежутках функция выпуклая, а на каких – вогнутая.
Для определения выпуклой и вогнутой функции проведем касательные к графикам функции в произвольных точках х 1 и х 2 (рис. 15.1 и 15.2):
График функции 
называется вогнутым (выпуклым вниз) на интервале 
, если он расположен выше любой касательной к графику функции на данном интервале.
График функции называется выпуклым (выпуклым вниз) на интервале , если он расположен ниже любой касательной к графику функции на данном интервале.
Точка графика непрерывной функции, в которой меняется характер выпуклости, называется точкой перегиба. В точке перегиба касательная будет пересекать кривую.
Функция может иметь несколько интервалов выпуклости и вогнутости, несколько точек перегиба. При определении промежутков выпуклости и вогнутости в качестве ответа выбирают интервал значений: точки перегиба не относят ни к промежуткам выпуклости, ни к промежуткам вогнутости.
Так, график функции на рис.15.3 является выпуклым на промежутках (- 
; х 1) и (х 2; + ); вогнутым на (х 1; х 2). График функции имеет две точки перегиба: (х 1; у 1) и (х 2; у 2).
3. Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.
Интервалы выпуклости и вогнутости функции находят с помощью следующей теоремы:
Теорема 1. Если функция имеет положительную вторую производную, то график функции на интервале вогнутый.
Теорема 2. Если функция имеет отрицательную вторую производную, то график функции на интервале выпуклый.
Представим критерий выпуклости-вогнутости функции в виде схемы:
| f(x) вогнутая | 
| 
|
| f(x) выпуклая | 
| 
|
Таким образом, исследовать функцию на выпуклость-вогнутость означает найти те интервалы области определения, в которых вторая производная сохраняет свой знак.
Только критические точки могут быть точками перегиба. Для их нахождения используется следующая теорема:
Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная 
при переходе через точку хо меняет знак, то точка графика с абсциссой хо является точкой перегиба.
При исследовании функции на выпуклость-вогнутость и точки перегиба можно использовать следующий алгоритм:
1. Найти область определения функции.
2. Найти первую производную функции 
.
3. Найти вторую производную функции .
4. Определить критические точки второго рода (
(xo) =0 или (xo) не существует).
5. На числовой оси отметить критические точки второго рода и определить знаки второй производной на каждом из получившихся интервалов.
6. Найти интервалы выпуклости-вогнутости графика функции, используя соответствующие критерии; выписать абсциссы точек перегиба (если они есть) и значение функции в этих точках.
Пример. Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции 
Решение.
1. Данная функция определена на множестве R.
2. Найдем первую производную функции: 
= 
3. Найдем вторую производную функции: 
=2 х -6.
4. Определим критические точки второго рода ( 0): 2 х -6= 0 
х =3.
5. На числовой оси отметим критическую точку х =3. Она разбивает область определения функции на два интервала (-∞;3) и (3;+∞). Расставим знаки второй производной функции 2 х -6 на каждом из полученных интервалов:
7. при х =0 
(-∞;3) 
(0)=-6<0;
8. при х =4 (3;+∞) (4)= 2∙4-6=2>0.
6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции выпуклый при х (-∞;3), вогнутый при х (3;+ ∞).
Значение х =3 – абсцисса точки перегиба. Вычислим значение функции при х =3:
= 
=2. Итак, точка с координатами (3;2) – точка перегиба.
Ответ: график функции выпуклый при х (-∞;3),