Лабораторная работа № 3
Колебания и перевороты жесткого маятника
Методические рекомендации
Цели работы:
· Изучить закономерности собственных колебаний в нелинейной физической системе на примере маятника – наиболее знакомой нелинейной механической системы.
· Изучить экспериментально зависимость периода собственных колебаний маятника от амплитуды и сравнить результаты измерений с приближенной теоретической формулой.
- Получить представление о фазовом портрете нелинейного осциллятора, о сепаратрисах и особых точках типа центр, фокус, седло.
- Изучить энергетические превращения при колебаниях маятника с большими амплитудами и при переворотах.
- Изучить лимитационное движение маятника в отсутствие трения.
- Измерить период колебаний с амплитудой, близкой к 180 градусам, и сравнить результаты измерений с соответствующим теоретическим расчетом.
- Изучить влияние вязкого трения на фазовый портрет маятника.
При подготовке к лабораторной работе следует:
1. Повторить соответствующий теоретический материал (тема 3, см. ниже), пользуясь конспектом лекций и рекомендованным Вам учебником физики.
2. Изучить Главу 3 «Собственные колебания жесткого маятника» учебного пособия «Основы физики колебаний». Рекомендуется проделать на черновике вывод всех формул, особенно тех, которые приведены там без вывода.
3. Подготовить письменно краткие ответы на предлагаемые Вам «Вопросы для самоконтроля» (см. ниже).
4. Решить некоторые теоретические задачи из учебного пособия «Основы физики колебаний» (по индивидуальному заданию преподавателя).
5. Познакомиться с «Требованиями к оформлению отчета» о выполненной работе.
Теоретический материал (тема 3)
Собственные колебания в системах с нелинейной восстанавливающей силой. Непараболическая потенциальная яма. Физический и математический маятники, их динамическая эквивалентность. Дифференциальное уравнение маятника. Фазовое пространство жесткого маятника, его топология и деление на области, соответствующие движениям различного характера. Сепаратрисы. Особые точки фазового пространства. Колебания с малыми и большими амплитудами. Зависимость периода колебаний от амплитуды. Лимитационное движение маятника. Перевороты и вращения маятника. Фазовый портрет консервативного маятника. Влияние вязкого трения на фазовые траектории.
Вопросы для самоконтроля
- Выведите дифференциальное уравнение движения физического маятника. В каком смысле следует понимать утверждение, что математический и физический маятники представляют собой динамически эквивалентные системы?
- Что такое приведенная длина физического маятника? Как она выражается через физические параметры системы?
- Почему маятник относят к нелинейным колебательным системам с мягкой возвращающей силой?
- Какими параметрами характеризуется модель маятника, используемая в программе?
- Как получить уравнение фазовой траектории консервативного маятника, не интегрируя описывающего его дифференциального уравнения?
- С каким свойством системы связана симметрия фазовых траекторий относительно оси абсцисс фазовой плоскости? Симметрия относительно оси ординат?
- Какой вид имеют фазовые траектории малых колебаний маятника в отсутствие трения? Какие изменения претерпевают фазовые траектории по мере увеличения амплитуды?
- Как изменяется соотношение средних значений потенциальной и кинетической энергий при увеличении амплитуды колебаний маятника?
- Выведите уравнение сепаратрисы, т.е. кривой, разделяющей фазовые траектории колебаний и переворотов консервативного маятника.
- Какую минимальную начальную угловую скорость нужно сообщить маятнику в нижнем положении для того, чтобы он достиг перевернутого положения?
- Сколько времени требуется маятнику для достижения перевернутого положения в условиях лимитационного движения из положения устойчивого равновесия?
- Какие точки фазовой плоскости называются особыми? Почему состоянию покоя маятника в нижнем (устойчивом) положении равновесия и в перевернутом (неустойчивом) положении соответствуют особые точки фазовой плоскости? Какие типы особых точек соответствуют каждому из этих положений?
- Выведите приближенное (линеаризованное) дифференциальное уравнение, описывающее движение маятника в малой окрестности перевернутого положения. Какой вид имеет общее решение этого уравнения?
- Какие качественные изменения в фазовом портрете маятника вызывает добавление в модель слабого вязкого трения?
Задания и порядок выполнения лабораторной работы
1. Начните работу с раздела «Основы теории», в котором приведены краткие сведения об изучаемой физической системе и о соответствующей математической модели.
· Просмотрите последовательно все страницы этого раздела, запуская каждый раз (кнопкой «Пуск») моделирование соответствующих движений маятника.
· Особое внимание обратите на раздел, где производится сопоставление потенциальных ям маятника и линейного осциллятора, а также на раздел, где моделируется лимитационное движение маятника.
2. Исследуйте экспериментально колебания маятника в отсутствие трения при сравнительно небольших амплитудах.
· Для получения колебаний с заданной амплитудой задайте нулевую начальную скорость и начальное отклонение, равное нужному значению амплитуды. Измерьте период колебаний при нескольких значениях амплитуды (скажем, при 20, 30, 40 градусах).
· Для измерений используйте таймер в разделе «Физическая система» (и кнопки «Сброс таймера», «Сброс счетчика», «Шаг»). Предложите способ измерения периода колебаний (на основе предоставляемых в данном разделе средств), обеспечивающий по возможности наибольшую точность результатов.
· Обратите внимание на изменения формы графиков и фазовой траектории по мере увеличения амплитуды колебаний. Для этого воспользуйтесь разделами «Графики колебаний», «Фазовая траектория».
3. Изучите колебания маятника с большими амплитудами при отсутствии трения. При больших амплитудах отличия маятника от линейного осциллятора проявляются наиболее отчетливо.
· В условиях отсутствия трения воспроизведите колебания с амплитудой около 110 градусов. Объясните наблюдаемую форму графиков угловой скорости и угла отклонения в таких колебаниях.
· Изучите спектральный состав колебаний маятника при больших амплитудах. Для этого откройте раздел программы «Спектр колебаний». Постройте графики отдельных гармоник и графики сумм нескольких гармоник (при амплитудах, близких к 180 градусам). Почему спектр образован только нечетными гармониками?
· Обратите внимание на относительные фазы, с которыми отдельные гармоники входят в состав результирующего колебания. Объясните, почему высшие гармоники дают в график угловой скорости более заметный вклад по сравнению с графиком угла отклонения.
· Используя раздел программы «Превращения энергии», сравните графики временной зависимости кинетической и потенциальной энергий друг с другом при больших амплитудах. Сопоставьте эти графики с графиками угла отклонения и угловой скорости. Как можно объяснить доминирование потенциальной энергии при больших амплитудах? Для ответа на этот вопрос воспользуйтесь отличием формы потенциальной ямы маятника от параболической потенциальной ямы линейного (гармонического) осциллятора.
4. Откройте раздел программы «Фазовый портрет и зависимость периода от энергии T (E)». Поставьте «галочку» в боксе «Демонстрация» и запустите моделирование.
· Внимательно проследите за построением фазовых траекторий и графиков потенциальной и кинетической энергий для колебаний и переворотов маятника при разных значениях полной энергии. Обратите внимание на положение точек поворота в потенциальной яме и на фазовой плоскости.
· Поставив «галочку» в боксе «Период T (E)», получите график зависимости периода колебаний от сообщенной маятнику энергии. Обратите внимание на неограниченный рост периода при приближении полной энергии к высоте потенциального барьера (т.е. к потенциальной энергии перевернутого маятника), и на быстрое убывание периода при дальнейшем росте полной энергии.
· Дополните фазовый портрет, полученный в режиме «Демонстрация», еще несколькими фазовыми траекториями, самостоятельно выбирая для них значения полной энергии.
5. Изучите экспериментально движение маятника, близкое к лимитационному. Для этого в условиях отсутствия трения задайте при нулевой начальной скорости начальное отклонение почти 180 градусов. Используйте разделы программы «Графики колебаний» и «Фазовая траектория».
· Измерьте ширину «ступеньки» на графике временной зависимости угла отклонения или, что то же самое, ширину «импульса» на графике угловой скорости. За меру этой ширины можно принять время, в течение которого маятник проходит от одного горизонтального положения до другого (при движении через нижнее положение равновесия). Для таких измерений удобно использовать таймер в разделе программы «Физическая система».
· Какую угловую скорость (в единицах частоты малых колебаний) нужно сообщить маятнику в положении равновесия, чтобы получить движение, близкое к лимитационному? Проверьте свое предсказание в моделирующем эксперименте. Почему при сообщении маятнику такой скорости при моделировании он не остается навсегда в перевернутом положении?
· Какую скорость нужно сообщить маятнику, чтобы изображающая точка на фазовой плоскости проходила бы только вдоль одной из ветвей сепаратрисы (например, верхней)?
6. Исследуйте экспериментально влияние слабого вязкого трения на превращения энергии, на форму графиков и на фазовую траекторию маятника.
· Задайте добротность Q порядка 10 – 20 и выберите начальные условия, при которых маятник сначала совершает колебания сравнительно небольшой амплитуды (25 – 35 градусов). Откройте раздел программы «Фазовая траектория». При моделировании колебаний обратите внимание на характер убывания амплитуды и на вид фазовой траектории. Особая точка в начале координат фазовой плоскости при добавлении трения в модель из точки типа центр превращается в точку типа фокус.
· Откройте раздел программы «Превращения энергии». Проследите за поведением изображающей точки в потенциальной яме и на фазовой плоскости при затухании малых колебаний маятника. Особое внимание обратите на график временной зависимости полной энергии: если брать среднее за период значение полной энергии, ее убывание происходит приблизительно по экспоненциальному закону, но на протяжении каждого периода убывание энергии происходит неравномерно – скорость диссипации энергии максимальна в те моменты, когда максимальна угловая скорость маятника.
· Задайте добротность Q порядка 10 – 20 и выберите такую начальную угловую скорость, чтобы маятник сначала совершал полные перевороты. По графикам угла отклонения и угловой скорости, а также по фазовой траектории проследите за постепенным изменением характера движения. Обратите внимание на постепенное изменение формы графиков по мере того, как механическая энергия маятника и амплитуда уменьшаются из-за трения. В тот момент, когда изображающая точка на фазовой плоскости пересекает сепаратрису, режим однонаправленного вращения сменяется затухающими колебаниями. С этого момента маятник «заперт» в потенциальной яме между соседними барьерами. Обратите внимание на то, как первоначально пилообразная кривая графика угловой скорости (с ее острыми почти прямолинейными треугольными зубцами) и первоначальная кривая графика угла отклонения (с почти параболическими зубцами) постепенно эволюционируют, приближаясь по форме к синусоидальным кривым, характерным для гармонического осциллятора.
· Используя раздел программы «Превращения энергии», проследите, как сначала при переворотах маятника изображающая точка проходит над вершинами потенциальных барьеров, а затем движется между берегами потенциальной ямы, постепенно опускаясь на ее дно.
7. Проверьте в моделирующем эксперименте Ваши теоретические решения тех задач из учебного пособия, которые были предложены Вам преподавателем в качестве индивидуального задания.
· Введите необходимые значения параметров и выполните соответствующие эксперименты. Зарисуйте (или распечатайте на принтере) графики и фазовые диаграммы для включения в отчет.
· Сопоставьте результаты экспериментов с Вашими теоретическими предсказаниями. Если обнаруживаются расхождения результатов расчета с экспериментом, обязательно попытайтесь установить причину расхождений. Результаты экспериментальной проверки Ваших решений включите в отчет о лабораторной работе.
После выполнения всех заданий подготовьте отчет о проделанной лабораторной работе, руководствуясь «Требованиями к оформлению отчета».