Практическая работа
Тема. «Решение задач по теории вероятностей. Сложение вероятностей событий».
Тема. Основы теории вероятностей и математической статистики.
Цель: Формирование умений и навыков решения задач по теории вероятностей.
Краткие сведения из теории.
Определение. Вероятность события А ― отношение числа N(A) элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу N элементарных, попарно несовместных, единственно возможных и равновозможных исходов испытания:
.
Выборки элементов.
1) Пусть дано множество, состоящее из n элементов. Множества, состоящие из этих же элементов, но отличающиеся порядком вхождения этих элементов, называется перестановками данного множества.
,
где 
.
2) Пусть дано множество, состоящее из n элементов. Выберем из него упорядоченные подмножества, состоящие из m элементов. Такие подмножества называются размещениями данного множества из n по m.
.
3)Пусть дано множество, состоящее из n элементов. Выберем из него неупорядоченные подмножества, состоящие из m элементов. Все такие подмножества называются сочетаниями данного множества из n по m.
.
Операции над случайными событиями и их вероятностями.
1) Суммой двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении либо события А, либо события В, либо обоих этих событий вместе.
Обозначение: А + В.
События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в результате одного испытания (по времени такие события не совпадают).
Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р (А) + Р (В).
Противоположным называется событие состоящее в не наступлении события А. А – событие, 
- противоположное событие. Событие А и не совместные.
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
.
2) Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
3) События называются независимыми, если их вероятности не изменяются при наступлении или не наступлении одного из событий.
Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:
Р(АВ) = Р(А)∙Р(В).
Порядок выполнения практической работы.
1. Повторить сведения из теории.
2. Получить задание на практическую работу у преподавателя.
3. Выполнить задание своего варианта.
4. Подготовить ответы на контрольные вопросы.
5. Защитить практическую работу.
Контрольные вопросы.
1. Определение размещений, перестановок, сочетаний.
2. Классическое определение вероятности.
3. Вероятность суммы двух несовместных событий.
4. Вероятность суммы двух противоположных событий.
5. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий.
6. Вероятность произведения двух независимых событий.
Пример выполнения задания.
1. В цехе работает 20 человек, из них 8 женщин. В командировку отправляют 1 сотрудника. Найти вероятность того, что это мужчина.
Решение.
Всего человек, работающих в цехе: N = 20.
Число мужчин, работающих в цехе: N(A) = 20 – 8 = 12.
По классическому определению вероятности:
.
Ответ: Вероятность, что в командировку поедет мужчина, равна 0,6.
2. В ящике имеется 8 красных и 6 белых шаров. Наугад выбирают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них 3 белых.
Решение.
Всего шаров в ящике: 8 + 6 = 14.
Наугад выбирают 4 любых шара.
Выбор любых 4 шаров:
.
Среди выбранных шаров должно быть 3 белых и 1 красный.
Выбор таких шаров:
.
По классическому определению вероятности:
.
Ответ: Вероятность, что среди выбранных наугад 4 шаров будет 3 белых, равна 0,16.
3. Два студента сдают экзамен. Вероятность, что первый студент сдаст экзамен на «отлично» равна 0,7; для второго студента – 0,6. Найти вероятность, что на «отлично» сдаст экзамен хотя бы один студент.
Решение.
Событие A – на «отлично» сдаст хотя бы один студент.
Событие B – первый студент сдаст на «отлично».
Событие C – второй студент сдаст на «отлично».
Тогда A=B+C.
События B и C – совместные.
Вероятности событий B и C:
; 
.
Тогда вероятность события A:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ);
.
Ответ: Вероятность, что на «отлично» сдаст экзамен хотя бы один студент, равна 0,88.
Задания на практическую работу
Вариант 1.
1) В ящике имеется 12 белых и 8 красных шаров. Наугад выбрали 1 шар. Найти вероятность того, что он красный.
2) В читальном зале имеется 7 учебников по теории вероятностей, из которых 3 в переплете. Наугад взяли 3 учебника. Найти вероятность, что среди них только один в переплете.
3) Вероятность банкротства для первого банка равна 0,1; для второго банка - 0,25. Найти вероятность банкротства хотя бы одного банка.
Вариант 2.
1) В ящике имеется 10 деталей, из них 3 стандартные. Наугад выбирают 1 деталь. Найти вероятность того, что она стандартная.
2) В ящике имеется 12 белых и 8 красных шаров. Наугад выбрали 5 шаров. Найти вероятность того, что среди выбранных только 3 красных.
3) Вероятность, что первый станок простаивает в рабочее время, равна 0,05; для второго станка – 0,1. Найти вероятность, что окажется не работающим хотя бы 1 станок.
Вариант 3.
1) В ящике из 10 изделий имеется 4 бракованных. Наугад выбирают 1 изделие. Найти вероятность того, что оно бракованное.
2) В гараже 15 автомашин, из которых три требуют ремонта. В начале рабочего дня на линию вышли 8 автомашин. Найти вероятность, что среди них только 2 требуют ремонт.
3) На склад поступает продукция с двух предприятий. Вероятность, что продукция первого предприятия первого сорта, равна 0,15; для второго предприятия — 0,25. Найти вероятность, что первого сорта будет продукция только одного предприятия.
Вариант 4.
1) В вазе стоят 7 красных и 4 розовых гвоздики. Выбирают 1 цветок. Найти вероятность того, что он красный.
2) Из партии, в которой 14 деталей без дефекта и 6 с дефектами, наугад берут 3 детали. Найти вероятность, что только одна деталь без дефекта.
3) В автопробеге участвуют 2 автомобиля. Вероятность сойти с маршрута для первого автомобиля равна 0,05; для второго – 0,2. Найти вероятность того, что с маршрута сойдет только один автомобиль.