Практическое вычисление пределов основывается на свойствах пределов, описанных в теоретической части.
Задача 1. Найти .
Основываясь на свойствах пределов (предел суммы и произведения), имеем
.
Напомним, что элементарные функции непрерывны в своей области определения, а значит, предел функции в точке области определения равен значению функции в этой точке. Поэтому для того чтобы найти предел элементарной функции, когда аргумент стремится к значению, принадлежащему области определения этой функции, нужно в выражение функции вместо аргумента подставить его предельное значение. Тогда вычисление последнего предела можно оформить так: .
Кроме того, при вычислении пределов необходимо помнить и о свойствах бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Задача 2. Найти .
Поскольку знаменатель дроби при является бесконечно большой величиной, то обратная величина есть бесконечно малая, а значит, .
Однако не всегда подстановка предельного значения аргумента в функцию позволяет сразу получить результат. Часто возникают неопределенности различных видов: .
Рассмотрим задания, связанные с раскрытием различных видов неопределенностей.
1. Неопределенность
Говорят, что выражение представляет неопределенность вида при , если . Раскрыть эту неопределенность – значит, найти . Приведем основные методы раскрытия такой неопределенности.
а) Разложение многочленов, присутствующих в числителе и знаменателе дроби, на множители
Задача 3. Найти .
При подстановке предельного значения в функцию убеждаемся, что имеем неопределенность вида .
Разложим числитель и знаменатель на множители. Поскольку в числителе присутствует квадратный трехчлен, то для его разложения найдем корни (). В знаменателе используем формулу сокращенного умножения – сумму кубов. Получим:
.
б) Перевод иррациональности из знаменателя в числитель и наоборот
При вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, для снятия неопределенности вида применяется перевод иррациональности из знаменателя в числитель и, наоборот, путем домножения числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное к имеющемуся в дроби иррациональному выражению.
Задача 4. Найти .
Имеем неопределенность . Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение , являющееся сопряженным к числителю исходной дроби. Получим:
в) Применение первого замечательного предела
При вычислении некоторых пределов, содержащих тригонометрические функции можно использовать первый замечательный предел:
.
Задача 5. Найти .
Предел вычислили непосредственной подстановкой предельного значения аргумента в функцию.
г) Применение таблицы эквивалентности
Данный метод основан на том, что предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если эти бесконечно малые заменить им эквивалентными.
Таблица эквивалентности (при )
Задача 6. Найти .
Имеем неопределенность вида . Поскольку при , то , т.е. является бесконечно малой функцией, а значит, на основании таблицы эквивалентности .
Получаем:
.
Задача 7. Найти .
.
Т.е. поскольку при , то , а значит, .
2. Неопределенность
Говорят, что выражение представляет неопределенность вида при , если . Раскрыть эту неопределенность – значит найти .
Примером такой неопределенности является дробно-рациональная функция , где и – многочлены с действительными коэффициентами степени и соответственно. Для раскрытия такой неопределенности необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на старшую из степеней многочленов и , а затем использовать теоремы о пределах.
Задача 8. Найти .
Разделим числитель и знаменатель дроби на (как старшую из степеней числителя и знаменателя), получим:
.
При этом использовали свойства пределов (предел дроби, суммы, вынесение константы за знак предела), а также, что функции и бесконечно малые при , а значит, .
Вообще, используя этот прием можно показать, что справедливо следующее правило:
Задача 9. Найти .
Разделим числитель и знаменатель дроби на :
,
поскольку обратная к бесконечно малой величине есть бесконечно большая.
3. Неопределенность
Говорят, что выражение представляет неопределенность вида при , если .
При раскрытии такой неопределенности используется второй замечательный предел: или .
Задача 10. Найти .
.
Задача 11. Найти .
Задача 12. Найти .
4. Неопределенности
Неопределенности алгебраическими преобразованиями сводятся к уже рассмотренным выше неопределенностям.
Задача 13. Найти .
Используя свойства логарифма, выполним преобразования под знаком предела:
На основании непрерывности логарифмической функции перейдем к пределу под символом логарифма:
Задача 14. Найти .
В данном случае, чтобы раскрыть неопределенность , необходимо умножить и разделить рассматриваемое выражение на «сопряженное», чтобы прийти к разности квадратов. Таким образом, получаем:
Итак,