СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ОБЩИЕ ВОПРОСЫМОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
Основные определения
Классификация математических моделей
Блочно-иерархический подход к моделированию
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С УЧЕТОМ ДИНАМИКИ
Исследование динамического момента асинхронного двигателя с опытными образцами роторов
Вращающий момент асинхронного двигателя и гистерезис
Определение параметров интегрального контура вихревых токов
ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС МАКРОМОДЕЛИРОВАНИЯ АСИНХРОННЫХ МАШИН С УЧЕТОМ ДИНАМИКИ
Математическая модель асинхронного двигателя в фазной заторможенной системе координат
Особенности построения алгоритмов макромоделирования асинхронных двигателей с учетом динамики
Проблемно-ориентированный численный метод - основа реализации алгоритмов динамики асинхронной машины
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Развитие технической кибернетики, динамичность современной программной среды существенно влияют на электромеханику и, в частности, разработку методов и средств математического моделирования. Так, блочно-иерархический подход к моделированию отражает концепцию системного подхода, позволяющую оптимально решать задачи анализа и синтеза. Актуальной проблемой сегодня остается разработка методов, математических и программных средств моделирования объектов электромеханики.
При преобразовании электрической энергии в механическую широкое использование находят асинхронные двигатели. Существенная доля вырабатываемой в стране электроэнергии потребляется асинхронными двигателями в динамических режимах работы. Для машин нестандартного, специализированного исполнения и машин общепромышленного применения, у которых динамический режим в процессе эксплуатации является определяющим (частые пуски, реверсы, повторные включения), необходим учет динамических режимов на стадии проектирования.
На протяжении ряда лет в курсе "Физическое и математическое моделирование, специальная электромеханика" для студентов старшего курса специальности "электромеханика" вопросы моделирования асинхронных машин с учетом динамики изучаются на основе проблемно-ориентированного программного комплекса.
В ходе научно-исследовательских работ по созданию САПР, а затем компонентов САПР нового поколения (экспертных систем) в научной группе профессора И.П.Копылова разрабатывались математические и программные средства моделирования электромеханических систем. В этой связи необходимо упомянуть работу канд.техн.наук А.С.Коризны, много сделавшего в разработке фортран-программ.
Настоящий программный комплекс представляет собой адаптированную, применительно к персональным компьютерам и современным средствам программирования, подсистему моделирования динамических режимов асинхронных двигателей. Комплекс построен по принципу многоуровневого моделирования и позволяет учитывать многообразие физических процессов в асинхронной машине, представленной макромоделью в фазной "заторможенной" системе координат. Моделируются роторные вихревые токи (двухклеточный ротор), вытеснение токов в стержнях ротора, насыщение магнитопроводов машины, несинусоидальность напряжения питания, процессы энергообмена в динамике.
Для решения уравнений динамики используется проблемно-ориентированный, разработанный в Омском политехническом институте, "канонический метод", не требующий приведения исходных уравнений к нормальной форме Коши. Метод обладает повышенной устойчивостью, что
задачи анализа динамических режимов при изменении параметров схемы замещения асинхронной машины, величин момента сопротивления, инерции, параметров сети. Макромодели комплекса удобны для решения задач планирования эксперимента и многокритериальной оптимизации.
Разработке макромоделей предшествовали оригинальные экспериментальные исследования физических процессов в асинхронной машине, проводившиеся в электромашинной лаборатории ВНИИЭМ. Для асинхронной машины средней мощности был изготовлен комплект опытных роторов, и проводился целый ряд экспериментов, в частности, по определению характеристик динамического момента вращения, по опытному определению "скачка гистерезиса" в асинхронной машине. Эксперименты послужили серьезной основой для подтверждения адекватности моделирования. Была установлена степень влияния отдельных групп роторных контуров на момент вращения асинхронной машины. Было введено понятие интегрального контура вихревых токов и предложена методика определения его параметров.
Развитие теории автоматизированного проектирования сыграло определенную положительную роль в моделировании систем. Возникла потребность в четких определениях, систематизации знаний. Доказана целесообразность системного подхода к моделированию, отражающего системные свойства и отношения элементов. Электрическая машина, сама по себе, рассматривается как электромеханическая система, в то же время электрическая машина является, как правило, элементом другой электромеханической системы.
В предлагаемом учебном пособии материал распределен следующим образом.
В первой главе рассматриваются основные понятия моделирования объектов электромеханики.
Вторая глава посвящена специальным экспериментальным исследованиям асинхронной машины с опытными образцами роторов.
В третьей главе приводятся алгоритмы программного комплекса моделирования динамических режимов асинхронных двигателей и примеры численных экспериментов.
Работу завершают контрольные вопросы по изложенному материалу.
ОБЩИЕ ВОПРОСЫМОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
Не решай сложную задачу, не решив простую
(Принцип простоты)
Основные определения
Моделирование является одним из важнейших методов научного познания. Модель определяется как заменитель реального объекта, находящийся в некотором неполном соответствии с объектом-оригиналом.
Существуют различные виды моделирования. При изучении объектов электромеханики большую роль играют физическое и математическое моделирования.
Физические модели это модели, характеризующиеся одинаковой физической природой с оригиналом, идентичностью протекания физических процессов с оригиналом. К физическому моделированию относится, например, макетирование, широко применяемое в практике проектирования технических устройств. Недостатком физического моделирования является необходимость технических ресурсов, экономические затраты. Тем более, что каждый вариант объекта предполагает создание своей модели.
Метод математического моделирования, сводящий исследование явлений, объектов внешнего мира к математическим задачам, занимает ведущее место среди других методов исследования, особенно в связи с развитием вычислительной техники.
Итак, математическая модель - приближенное описание какого-либо класса явлений, объектов внешнего мира, выраженное с помощью математической символики.
Процесс математического моделирования, т.е. изучения явления, объекта с помощью математической модели, подразделяют обычно на четыре этапа.
Первый этап - формулирование законов, связывающих основные элементы модели. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качественных представлений о связях между элементами модели.
Второй этап - исследование математических задач, к которым приводят математические модели. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, т.е. получение в результате анализа модели выходных данных для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых объектов. На этом этапе важную роль приобретает математический аппарат, необходимый для анализа математических моделей, и вычислительная техника - мощное средство для получения количественной выходной информации как результата решения сложных математических задач.
Третий этап - выяснение того, удовлетворяет ли принятая (гипотетическая) модель критерию практики, т.е. выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Задачи, в которых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых объектов, называются обратными задачами. Если математическая модель такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых объектов.
Четвертый этап - последующий анализ модели в связи с накоплением знаний об изучаемых объектах и модернизации модели. В процессе развития науки и техники данные об изучаемых объектах уточняются и возникает необходимость в построении новой, более совершенной математической модели.
Процесс выделения задачи, поддающейся математическому анализу, часто бывает продолжительным и требует владения многими навыками, не имеющими отношения к математике. Например, беседы с коллегами, работающими в смежной области, изучение литературы с целью определения "состояния вопроса" являются важными элементами процесса моделирования.
Часто, параллельно с этой стадией постановки задачи идет процесс выявления основных или существенных особенностей объекта. В частности, этот процесс схематизации или идеализации может играть решающую роль. Реально имеет место множество процессов, некоторые их них представляются важными, многие другие несущественными. Если к примеру, обратиться к движению маятника, образованного тяжелым грузом, подвешенным на конце нити. В этой "ситуации" существенным является регулярный характер колебаний маятника, а несущественным обстоятельством - то, что нить белая, а груз черный. Математическая модель представляет собой упрощение реальной ситуации. Несущественные особенности ситуации отбрасываются, и исходная сложная задача сводится к идеализированной, поддающейся математическому анализу. После того, как существенные факторы выявлены, следующий шаг состоит в переводе этих факторов на язык математических понятий, величин и постулирования соотношений между этими величинами.
Одно из требований, предъявляемых к математической модели, требование точности.
Точность математической модели - ее свойство, отражающее степень совпадения предсказанных с помощью модели значений параметров объекта, с истинными значениями этих параметров. Количественная оценка точности модели в большинстве случаев вызывает затруднения по следующим причинам.
Реальные объекты, следовательно и их модели характеризуются не одним, а несколькими параметрами. Отсюда вытекает первоначальный векторный характер оценки точности и необходимость сведения векторной оценки к скалярной для возможности сопоставления моделей друг с другом.
Модели составляются для многократного использования при анализе разных вариантов объекта или многих типов объектов определенного класса (так математическая модель транзистора обычно может применяться при анализе транзисторных схем разных типов с транзисторами разных марок). Поскольку характер проявления тех или иных свойств объекта зависит от особенностей взаимосвязей объекта с внешней средой и другими объектами системы, то и показатели точности отображения этих свойств в модели будут зависеть от конкретных условий функционирования объекта. В результате оценка точности перестает быть однозначной.
Истинные значения параметров объекта обычно отождествляют с экспериментально полученными. Однако погрешности эксперимента во многих случаях оказываются соизмеримыми с погрешностями математической модели, а иногда и заметно их превышают. Зачастую целесообразно проводить сравнение моделей по результатам их использования в некоторых стандартных ситуациях, отражающих характерные особенности функционирования объектов, на практике называемых тестовыми ситуациями.
Существует несколько аспектов проверки адекватности. Во-первых, сама математическая основа модели не должна быть противоречивой и подчиняться всем обычным законам математической логики. Во-вторых, справедливость модели зависит от ее способности адекватно описывать исходную ситуацию. Модель можно заставить отражать действительность, однако она не есть сама действительность. Маятник, о котором шла речь, математическая идеализация реального объекта. Это становится очевидным, когда размах колебаний маятника уменьшается, и он останавливается. Модель математического маятника не предсказывает такого поведения. Модель не обязательно не верна. До полного затухания колебаний может пройти больше часа, а нас возможно, интересуют лишь события, происходящие в первые пять минут после начала движения.
Следует подчеркнуть еще одно обстоятельство.
Можно потратить много времени на такое улучшение решения для данной модели, которое не оправдано самой постановкой задачи. Это связано, в частности, со степенью точности опытных данных. Так, если имеющиеся исходные данные известны с погрешностью 5%, то разумеется бессмысленно предлагать "решения", обеспечивающие погрешность не превышающую 1%. Итак, точность результата не может быть выше точности исходных данных, точности промежуточных вычислений должны быть согласованы.
Ответ, который невозможно реализовать на практике (хотя он и получен с помощью тонкого математического анализа), может оказаться бесполезным. Приближенный ответ, быстро полученный, может быть эффективнее, чем более точный ответ, на получение которого уходит больше времени.
Среди требований, предъявляемых к свойствам математических моделей, следует отнести их экономичность. Она определяется, прежде всего, затратами времени на численный эксперимент. Здесь имеет значение количество внутренних параметров, используемых в модели. Чем больше параметров, тем больше затраты компьютерной памяти и больше усилий требуется для получения сведений о численных значениях параметров и их разбросе. Если моделирование включает в себя процесс передачи информации, то в этом случае наиважнейшее значение приобретает скорость передачи информации.
К математическим моделям предъявляется также требование универсальности. Универсальность определяется применимостью модели к анализу более или менее многочисленной группы однотипных объектов, анализу в одном или многих режимах функционирования.
Требования высокой точности, большой степени универсальности с одной стороны и высокой экономичности - с другой, противоречивы. Удачное компромиссное удовлетворение требований к математической модели в задачах одного вида анализа и определенного класса объектов может иметь место, когда для одного и того же объекта имеется не одна, а несколько математических моделей, различающихся значениями показателей эффективности.
Говоря об особенностях математического моделирования, можно упомянуть о различиях целей моделирования. Это могут быть, в частности, задачи прогнозирования, проектирования, задачи контроля.
Классификация математических моделей
В зависимости от характера отображаемых свойств объекта модели делятся на функциональные и структурные.
Функциональные модели отображают процесс функционирования объекта. Эти модели чаще всего имеют форму систем уравнений.
Структурные модели отображают только структурные (в частном случае геометрические) свойства моделируемого объекта.
Такие модели могут иметь форму матриц, графов, списков векторов и выражать взаимное расположение элементов в пространстве, наличие непосредственньых связей между элементами в виде каналов, проводников. Структурные модели используются обычно в тех случаях, когда задачи структурного синтеза удается ставить и решать абстрагируясь от особенностей протекания физических процессов в объекте.
Функциональные математические модели по способам получения или природе рассматриваемых математических переменных делят на теоретические модели и формальные.
Теоретические математические модели это модели, которые получают на основе изучения физических закономерностей. Структура уравнений и параметры моделей имеют определенное физическое толкование. Здесь могут быть известные характеристики, величины, поддающиеся, по крайней мере теоретически, точному измерению и управлению. Они называются детерминированными переменными.
Формальные математические модели это модели, которые получают на основе проявления свойств моделируемого объекта во внешней среде, т. е. при рассмотрении объекта как кибернетического черного ящика.
В этот класс входят неизвестные характеристики, т.е. величины, которые никогда не могут быть точно измерены и имеют случайный характер. Они называются стохастическими переменными. Модель, содержащая стохастические переменные должна описываться математическим аппаратом теории вероятностей и математической статистики.
Детерминированные переменные в большинстве случаев требуют привлечения обычного математического анализа.
К классу формальных моделей можно отнести применяемые в практике математического моделирования электрических машин модели, получаемые методом планирования эксперимента.
Формальные модели по сравнению с теоретическими моделями обычно более точны в окрестностях той точки пространства параметров, в которой проводились измерения. Их точность снижается по мере удаления от этой точки.
В зависимости от линейности или нелинейности уравнений модели классифицируются как модели линейные и нелинейные.
По мощности множества значений переменных модели делят на непрерывные и дискретные. В непрерывных моделях переменные непрерывны или кусочно - непрерывны. Множество вариантов решений здесь имеет мощность континиума. Переменные дискретных моделей - дискретные величины, и множество решений счетно.
В зависимости от того, учитывают уравнения модели инерционность процессов в объекте или не учитывают, различают модели динамические и статические.
По форме связей между выходными, внутренними и внешними параметрами различают модели в виде систем уравнений и модели в виде явных зависимостей выходных параметров от внутренних и внешних. Первые из них называются алгоритмическими, а вторые - аналитическими. Алгоритмические модели воспроизводят пошаговый процесс численного решения уравнений, представляющих математическую модель исследуемого объекта. Применение компьютеров делает алгоритмические модели наиболее универсальными. Все преобразования информации выполняются процессором, последовательность решения задается программой, а алгоритмические модели также называют цифровыми.
Машинную программу, реализующую модель, не следует путать с самой моделью. Различные языки программирования кодируют одну и ту же модель разными способами. Необходимо различать структурные свойства программы, написанной для имитации модели, и структурные свойства самой модели.
Особняком стоят математические модели - аналоги, использующие свойства изоморфизма (одинаковости) математического описания процессов различной физической природы. Например, уравнения, устанавливающие в механической системе взаимосвязь между силой, приложенной к телу, его массой и ускорением, будут иметь тот же вид, что уравнения, устанавливающие взаимосвязь между напряжением, индуктивностью и скоростью изменения тока во времени в электрической цепи. На основе изоморфизма, с помощью, как правило, электрических цепей исследуются процессы в объектах другой физической природы.
Блочно-иерархический подход к моделированию
В моделировании реализуется блочно-иерархический подход. В зависимости от сложности моделируемых объектов и решаемых исследовательских задач используется принцип многоуровневого моделирования. Принято рассматривать математические модели функционирования объектов на трех уровнях, каждый из которых также подчиняется блочно-иерархическому принципу [1].
На микроуровне математические модели отражают процессы, протекающие в общем случае в трехмерных сплошных средах. Математические модели объектов этого уровня представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных. Решение дифференциальных уравнений в частных производных представляет значительные вычислительные трудности. Типичными фазовыми переменными здесь являются плотности потоков, напряженности полей, электрические потенциалы и др. Независимыми переменными - время и пространственные координаты. Моделирование на этом уровне вводится к решению краевых задач математической физики.
На макроуровне производится дискретизация пространства, переход от распределенных к сосредоточенным моделям. Элементами этого уровня являются объекты, которые на микроуровне рассматриваются как системы. Это могут быть элементы отдельных деталей, электронные, электрические компоненты. Типичными фазовыми переменными здесь являются токи и напряжения, скорости и силы, потоки и давления. Из числа независимых переменных исключаются пространственные координаты. Математические модели макроуровня представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения. В частных случаях алгебраические и трансцендентные уравнения. Принято считать, что на макроуровне моделируются системы с сосредоточенными параметрами, и на этой основе строится теория цепей.
На метауровне производится дальнейшее абстрагирование от особенностей протекания физических процессов в моделируемых объектах и строятся модели информационных процессов. Для построения математических моделей этого уровня используется математическая логика, теория массового обслуживания, методы теории автоматического управления. В качестве объектов здесь могут быть комплексы вычислительных машин, радиолокационных станций, систем управления летательными аппаратами. Функционирование систем на метауровне рассматривается как цепь событий, происходящих в дискретные моменты времени и заключающихся в изменении состояний элементов. Дискретное представление пространства и времени обуславливает дискретность фазовых переменных, которыми являются величины, характеризующие состояния элементов. Роль элементов и внутренних параметров выполняют системы и выходные параметры макроуровня.