Числа и их свойства
Общие категории чисел:
· N – натуральные числа (1, 2, 3, …);
· Z – целые числа (0, ±1, ±2, ±3, …);
· Q – рациональные числа, их можно представить в виде дроби \frac { m } { n } nm , где m – целое число, а п – натуральное (3,\frac { 2 } { 3 }32, -\frac { 4 } { 3 }−34);
· R – действительные числа (3, \sqrt { 7 }7, 0, -\frac { 2 } { 3 }−32);
· Иррациональные числа – это действительные числа, которые не являются рациональными (\sqrt { 7 }7).
· C — комплексные числа (a+i⋅b, где i - мнимая единица и i2 =−1). Любое действительное число является комплексным.
· Положительные числа - больше нуля. Например, 4, \sqrt { 5 }5, 213. Но не 0 и не −5.
· Неотрицательные числа - не меньше нуля. Например, 6, 0, 32. Но не −3.
· Отрицательные числа. Числа, которые меньше нуля. Например, −4, -\sqrt { 5 }5. Но не 0 и не 5.
· Неположительные числа. Числа, которые не больше нуля. Например, 0, −\sqrt { 3 }3. Но не 6, не \sqrt { 7 }7.
Свойства сложения и умножения натуральных чисел:
· a + b = b + a – переместительное свойство сложения
· (a + b) + с = a + (b + c) – сочетательное свойство сложения
· a∙b = b∙a – переместительное свойство умножения
· (a∙b)∙c = a∙(b∙c) – сочетательное свойство сложения
· a(b ± с) = ab ± ac – распределительное свойство умножения относительно сложения/вычитания
Если m, n, k натуральные числа, то при m – n = k говорят, что m – уменьшаемое, n – вычитаемое, k – разность; m: n = k говорят, что m – делимое, n – делитель, k – частное.
Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.
Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел a и b – это наибольшее число, на которое оба числа a и b делятся без остатка.
Среднее арифметическое множества чисел – сумма всех чисел, делённое на их количество
Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом d.
Формула вычисления арифметической прогрессии: ап = а1 + d(n – 1).
Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность задаваемая двумя параметрами b, q (q ≠ 0) и законом b1 = b, bn = bn-1∙q, n = 2, 3, ….
Формула вычисления геометрической прогрессии: bn = b1∙qn-1.
Формула знаменателя геометрической прогрессии: q = bn+1 / bn
Формула суммы n -первых членов геометрической прогрессии:
Sn = b1(1 - qn)/(1 - q)
Sn = (b1 - bnq)/(1 - q), где q ≠ 1
Признаки делимости чисел
Признаки делимости натуральных чисел
Признаки делимости от 2 до 19 и 24, 25, 36 с примерами
Признаки делимости на 2
· На 2 делятся все четные натуральные числа или последняя цифра должна быть четной - 0, 2, 4, 6, 8.
· Например: 24, 48, 94, 172, 1670, 67838.
Признаки делимости на 3
· На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3.
· Например: 16734, сумма цифр = 1+6+7+3+4=21; 21: 3 = 7 — делится на 3
Признаки делимости на 4
· На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4.
· Например: 1024 делится на 4, так как 24 делится на 4
Признаки делимости на 5
· На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0.
· Например: 125 делится на 5, поскольку последняя цифра 5
Признаки делимости на 6
· На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3).
· Например: 126 делится 6, так как 126 - четное и сумма = 1 + 2 + 6 = 9 кратна 3
Признаки делимости на 7
· На 7 делятся те натуральные числа, у которых результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7
· Например: 17948 делится на 7, 1794 - (2 · 8) = 1778 большое число, 177 - (8 · 2) = 161 повторяем снова, 16 - (1 · 2) = 14
Признаки делимости на 8
· Числа делятся на 8, если три его последние цифры делятся на 8.
· Например: 1568 делится на 8 — 568 кратно 8
Признаки делимости на 9
· На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9.
· Например: 1179 — сумма =1 + 1 + 7 + 9 = 18, делится на 9
Признаки делимости на 10
· На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0.
· Например: 1570 — делится на 10, последняя цифра 0
Признаки делимости на 11
· На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места
· Например: 105787 делится на 11 — сумма 1 + 5 + 8 = 14 равна 0 + 7 + 7 = 14;
Признаки делимости на 12
· Число делится на 12 тогда и только тогда, когда она делится на 3 и на 4 одновременно.
· Например: 168 — делится на 3 и 4, следовательно делится на 12
Признаки делимости на 13
· Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13.
· Например: 221 делится на 13: 22 + 1· 4 = 26 кратно 13
Признаки делимости на 14
· Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.
Признаки делимости на 15
· Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.
Признаки делимости на 16
· Число делится не 16 только тогда, когда 4 последние цифры делятся на 16
· Например: 24576 делится 16, так как 4576:16 = 286
Признаки делимости на 17
· Число делится на 17, если разность числа кроме последней цифры справа и последней цифры умноженную на пять кратно 17.
· Например: 272 делится на 17, 27 - 2 · 5 = 17 кратно 17
Признаки делимости на 18
· На 18 делятся те натуральные числа, которые четные и сумма цифр делится на 9.
· Например: 5508 — сумма = 5 + 5 + 0 + 8 = 18 кратна 9 и четное число, следовательно делится на 18