1. Уравнение прямой на плоскости.
2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
3. Уравнение прямой в нормальной форме. Расстояние от точки до прямой.
4. Кривые второго порядка.
1.
Прямую l на плоскости можно задать
а) с помощью точки A oÎ l и ненулевого вектора ½½ l ;
б) с помощью точки A oÎ l и ненулевого вектора ^ l;
в) с помощью двух точек A o, A 1Î l.
Вектор ½½ l называется направляющим вектором прямой, а вектор ^ l называется вектором нормали к прямой.
Теорема 1. 1. Прямая l, проходящая через точку A o(x o, y o), и имеющая направляющий вектор (a 1, a 2), задается уравнением
=, (1)
которое называется каноническим уравнением прямой, или параметрическими уравнениями:
x = x o + a 1 t,
y = y o + a 2 t, t Î R,
которые можно записать в векторном виде так:
= + t, t Î R, (2¢)
где = – радиус-вектор точки A o.
2. Прямая, проходящая через две точки A o(x o, y o) и A 1(x 1, y 1), задается уравнением
=, (3)
3. Прямая, проходящая через точку A o(x o, y o), и имеющая вектор нормали (A, B), задается в декартовой СК уравнением
A (x – x o) + B (y – y o) = 0. (4)
4. Прямая, отсекающая на координатных осях отрезки длины a ¹ 0, b ¹ 0, задается уравнением
+ = 1, (5)
(уравнение прямой в отрезках).
Доказательство. 1. Пусть M (x, y) – произвольная точка прямой l. Тогда (x – x o, y – y o)½½ (a 1, a 2), а по второму признаку коллинеарности векторов это равносильно (1).
Обратно, если для координат точки M (x, y) выполнено (1), то по тому же признаку ½½, а значит, M Î l.
По первому признаку коллинеарности векторов ½½ Û $ t Î R, такое что = t . В координатах последнее равенство имеет вид
x – x o = t a 1, y – y o = t a 2,
Для того, чтобы получить уравнение (2) осталось перенести x o и y o в другую часть равенства.
2. Если прямая проходит через две точки A o(x o, y o) и A 1(x 1, y 1), то вектор (x 1– x o, y 1– y o) можно взять в качестве направляющего вектора прямой. Подставляя его координаты в (1) вместо a 1, a 2, получим (3).
3. Пусть M (x, y) – произвольная точка прямой l. Тогда
(x – x o, y – y o) ^ (A, B) Û · = 0, а в координатах это условие как раз имеет вид (12). Обратно, если координаты точки M (x, y) удовлетворяют (4), то ^ , а значит, M Î l.
4. Условие означает, что прямая проходит через точки A (a, 0) и B (0, b). Подставляя их координаты в (2), получим
= Û = Û (5).
Следствие. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением вида
Ax + By + C = 0, (6)
которое называется общим уравнением прямой. И обратно, любое уравнение вида (14) на плоскости задает прямую.
Доказательство. Любую прямую на плоскости можно задать с помощью точки и вектора нормали. Тогда ее уравнение в декартовой СК будет иметь вид (12). Раскроем скобки:
Ax + By – Ax o– By o = 0
и обозначим C = – Ax o– By o= const. Получим уравнение (6).
Обратно, пусть некоторое множество l определяется уравнением (6), и A o(x o, y o) – произвольная точка этого множества. Тогда ее координаты удовлетворяют (6): Ax o + By o + C = 0 Þ C = – Ax o– By o. Подставляя это значение в (6) получим (4), а это уравнение, как уже известно, определяет прямую.
Попутно мы выяснили геометрический смысл коэффициентов A и B в общем уравнении прямой: это координаты вектора нормали к прямой: (A, B). И этот факт чрезвычайно важен при исследовании положения прямой и при решении различных задач про прямую на плоскости. Но этот факт верен только в случае декартовой СК.
Если СК на плоскости не является декартовой, то это следствие можно доказать с помощью уравнения (1). В дальнейшем, СК предполагается декартовой, если не оговорено противное.
Рассмотрим различные частные случаи общего уравнения прямой.
1. C = 0 Û l : Ax + By = 0. Тогда урав-нению удовлетворяют координаты точки O (0, 0), т.е. прямая проходит через начало координат.
2. A = 0 Û By + C = 0 Û y = – C / B. Прямая l || Ox.
3. B = 0 Û Ax + C = 0 Û x = – C / A. Прямая l || Oy.
4. B ¹ 0. Тогда (6) можно переписать так: y = – x –. Обозначим k = – A/B, q = – C / B, и получим уравнение
y = k x + q, (7)
которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Угловым называется коэффициент k. Выясним почему.
Пусть P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2) – две произвольные точки на прямой l, где y 2 ³ y 1. Подставим их координаты в уравнение прямой: y 1 = k x 1 + q, y 2 = k x 2 + q. Вычтем из второго равенства первое:
y 2 – y 1= k (x 2 – x 1).
Поскольку мы исключили случай l ½½ Oy, то x 2 ¹ x 1 Þ
k =. (***)
Выберем на прямой l направление, соответствующее возрастанию ординаты y, и назовем его положительным. Пусть a – угол между положительным направлением оси Ox и положительным направлением прямой l. Назовем его углом наклона прямой. Пусть S – точка с координатами (x 2, y 1).
1 случай: x 2 > x 1. Тогда y 2 – y 1 = QS, x 2 – x 1 = PS и из D PQS находим, что k = QS / PS = tg a.
2 случай: x 2< x 1. Тогда y 2 – y 1= QS, x 2 – x 1= – PS Þ k = – QS / PS = = – tg b, где b = Ð QPS. Но b = p – a Þ – tg b = tg a. Значит, как и в первом случае k = QS / PS = tg a.
Итак, мы доказали, что k есть тангенс угла наклона прямой. Поэтому он называется угловым коэффициентом. А геометрический смысл коэффициента q очевиден: это отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy.
2.
Для удобства изложения будем считать, что совпадающие прямые – это частный случай параллельных.
Пусть две прямые на плоскости заданы общими уравнениями:
l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ,
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .
Тогда мы сразу можем сделать вывод, что (A 1, B 1) и (A 2, B 2) – это векторы нормали к l 1 и l 2.
Теорема 2. 1. l 1½½ l 2 и l 1¹ l 2 Û = ¹.
2. l 1= l 2 Û = =.
3. l 1^ l 2 Û A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.
4. угол между l 1 и l 2 вычисляется по формуле
cos a = =. (8)
Доказательство. 1, 2. Очевидно, что l 1½½ l 2 Û ½½, а по второму признаку коллинеарности векторов это равносильно
= = l. (*)
При этом, прямые будут совпадать Û у них есть общая точка M o(x o, y o), т. е. если одновременно выполняется
A 1 x o + B 1 y o + C 1 = 0,
A 2 x o + B 2 y o + C 2 = 0.
Вычтем из первого равенства второе, домноженное на l:
(A 1– l A 2) x o + (B 1– l B 2) y o + C 1– l C 2 = 0.
В силу (*) обе скобки равны нулю Þ C 1– l C 2 = 0 Û C 1/ C 2 = l. (**) Объединяя (*) и (**), получаем требуемый результат.
Обратно, если выполнено условие пункта 2, то уравнения прямых l 1 и l 2 пропорциональны, т.е., разделив первое уравнение на некоторое число l, мы получим второе уравнение. Значит эти уравнения равносильны и определяют на плоскости одно и то же множество.
3, 4. Напомним, что углом между двумя прямыми называется меньший из двух углов, которые образуются при их пересечении. Таким образом, угол a между прямыми находится в пределах 0 £ a £ p/2.
Пусть b =Ð(,). Тогда 0 £ b £ p.
Очевидно, что b совпадает с одним из двух углов, которые образуют прямые при пересечении.
1 случай: 0 £ b £ p/2. Тогда a = b Þ
cos a = cos b =.
2 случай: p/2 < b £ p. Тогда a = p – b и cos b < 0 Þ
cos a = cos (p – b) = – cos b =
=½ cos b½ = .
Эта формула подойдет и к первому
случаю: неотрицательную величину модулем не испортишь. Последнее равенство в (16) – эта та же формула, только расписанная в координатах. В частности, из (16) следует, что l 1^ l 2 Û · = 0 Û A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.
Теорема 3Пусть две прямые на плоскости заданы уравнениями с угловым коэффициентом
l 1: y = k 1 x + q 1, l 2: y = k 2 x + q 2.
Тогда угол между ними вычисляется по формуле
tg q =.
Доказательство. Пусть k 1= tg a1, k 2 = tg a2 , а q1 и q2 – углы, которые образуются при пересечении прямых (см. чертеж). Тогда q1= b – a, и, если q1£ p/2, то он будет считаться углом между l 1и l 2. В этом случае tg q1³ 0.
Находим:
tg q1= tg(b – a) = =.
Если q1> p/2, то между прямыми считается q2 = p – q1. Тогда
tg q2 = tg(p – q1) = – tg q1=½tg q1½ =.
Эта формула подойдет и к первому случаю.
Заметим, что если убрать в числителе модуль, то получится формула, по которой можно вычислить ориентированный угол от l 1 до l 2, (отсчитываемый против часовой стрелки). Данный угол может находиться в пределах – p £ q £ p.
3.
Определение. Говорим, что общее уравнение прямой
Ax + By + C = 0, (6)
имеет нормальную форму, если A 2+ B 2 = 1. Это равносильно тому, что вектор (A, B) – единичный.
Если уравнение (14) не имеет нормальной формы, то мы можем привести его к этой форме, разделив на:
x + y + = 0.
Тогда 2+ 2= 1.
Теорема 4. Пусть прямая l определяется уравнением (6) в нормальной форме. Тогда расстояние от точки M (x 1, y 1) до прямой вычисляется по формуле
h =½ Ax 1+ By 1+ C ½. (9)
Следствие. Если прямая определяется произвольным уравнением вида (6), то
h = . (9¢)
Доказательство. Пусть (A, B) – вектор нормали к l. Поскольку уравнение имеет нормальную форму, то ½½ = 1. Пусть M o(x o, y o) – произвольная точка на прямой. Опустим перпендикуляр MN
на прямую l . Пусть a =Ð( , ), b =Ð MM o N .
1 случай. Точка M и вектор лежат в одной полуплоскости относительно прямой l. Тогда
h =½ MN ½=½ MM o½·sin b =½½·sin( – a) =
=½½·cos a·½½= ·
(мы домножили на ½½, поскольку эта величина равна единице). Находим, что (x 1– x o, y 1– y o) Þ
h = A (x 1– x o) + B (y 1– y o) = Ax 1+ By 1+ C – (Ax o+ By o+ C)
(мы добавили и отняли C ). Поскольку M oÎ l, то выражение в скобках равно нулю, и мы получаем
h = Ax 1+ By 1+ C.
2 случай. Точка M и вектор лежат в разных полуплоскостях относительно прямой l. Тогда b = a – p/2 Þ sin b = – cos a и те же самые вычисления дают
h = – · = – Ax 1 – By 1 – C.
Поскольку h – это расстояние, то h ³ 0. Это
значит, что во втором случае Ax 1+ By 1+ C < 0 (равенство исключается, т.к. M Ï l). Поэтому
h =½ Ax 1+ By 1+ C ½.
Эта формула подойдет и к первому случаю.
Попутно мы выяснили, что знак выражения Ax 1+ By 1+ C зависит от того, в какой полуплоскости находится точка M. Это позволяет для двух данных точек M 1, M 2 выяснить, лежат ли они в одной полуплоскости относительно прямой l или в разных (Û пересекает отрезок M 1 M 2 прямую l или нет).
4. Кривая второго порядка может быть задана уравнением:
Ах2 + 2Bхy + Cy2 + 2Dх + 2Ey + F = 0.
Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.
Окружность
В окружности (х - а)2 - (y - b)2 = R2 центр имеет координаты (a; b).
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.
Отрезки, соединяющие точку эллипса с фокусами, называются фокальными радиусами точки.
Эллипс описывается каноническим уравнением:
где a > 0, b > 0, a > b > 0 — большая и малая полуоси эллипса, то фокусы эллипса расположены симметрично на оси абсцисс и имеют координаты (−c, 0) и (c, 0), где
Величина e = c/a называется эксцентриситетом эллипса.
По определению эллипса r1 + r2 = 2a, r1 и r2 − фокальные радиусы, их длины вычисляются по формулам:
Гипербола
Гиперболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением:
где a > 0, b > 0 — параметры гиперболы.
Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат, в которой гипербола описывается каноническим уравнением, называется канонической.
В канонической системе оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии.
Точки пересечения гиперболы с осью OX (± a, 0) называются вершинами гиперболы.
С осью OY гипербола не пересекается.
Отрезки a и b называются полуосями гиперболы.
Рис.1
Прямые ay − bx = 0 и ay + bx = 0 — асимптоты гиперболы, при удалении точки гиперблы в бесконечность, соответствующая ветвь гиперболы приближается к одной из асимптот.
Уравнение описывает гиперболу, вершины которой лежат на оси OY в точках (0, ± b):
.
Рис.2
Такая гипербола называется сопряженной к гиперболе её асимптоты — те прямые ay − bx = 0 и ay + bx = 0. Говорят о паре сопряжённых гипербол.
Парабола
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.
Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:
(или , если поменять местами оси).
Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии от обоих.
Уравнение директрисы PQ: , фокус F имеет координаты Таким образом, начало координат O — середина отрезка CF.