Матрицы и операции над ними
Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества. Горизонтальные ряды такой таблицы называются строками матрицы, а вертикальные – ее столбцами. Числовую матрицу размеров 
в общем случае записывают в виде
или в более компактной форме 
(i – номер строки, j – номер столбца).
Ее обозначают также 
Если m = n матрицу называют квадратной порядка n и обычно обозначают An. Элементы aii, 
такой матрицы образуют ее главную диагональ.
Квадратная матрица вида
где 
называется диагональной. Если 
для любого 
то матрица называется единичной и обозначается En.
Верхней и нижней треугольными матрицами называются квадратные матрицы вида
Трапециевидной матрицей называется матрица вида
Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю. Обозначают такую матрицу буквой O.
1) Две матрицы одинакового размера 
и 
называются равными,
если 
.
2) Суммой матриц называется матрица A + B размеров m × n, состоящая из элементов
3) Произведением матрицы Am×n на число α называется матрица 
4) Разностью матриц называется матрица A – B = A + (–1) B.
5) Противоположной к В называется матрица – В, такая что 
6) Свойства операций сложения матриц и умножения на число:
1) 
2) 
3) A + 0 = А;
4) А + (– А)= 0;
5) 
6) 
7) 
8) 
а матрицы A, B и С – одинакового размера.
Для матриц A и B может быть введена операция умножения A · B при условии, что матрицы
согласованы, т. е. количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B.
7) Произведением матрицы A n× m на матрицу Bm×k называется матрица Bn×k.
Для получения элемента сij матрицы С умножают последовательно каждый элемент i -й строки матрицы А на соответствующий элемент j -го столбца матрицы B и находят сумму этих произведений.
В общем случае из существования AB не следует существование BA. Даже если оба эти произведения определены, они не всегда равны. Матрицы, для которых 
называются коммутативными или перестановочными.
Матрица AT, полученная из матрицы A заменой столбцов строками с теми же номерами, называется транспонированной к матрице A, т. е. 
Если для квадратной матрицы A выполняется соотношение 
то матрица A называется симметрической матрицей.
Элементарными преобразованиями над строками матрицы A
называют следующие операции:
1) перестановку строк;
2) умножение строки на ненулевое число;
3) прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на ненулевое число.
Говорят, что матрица A эквивалентна матрице B (пишут: A~B), если матрица B получена из A при помощи элементарных преобразований строк.
Определители
Каждой квадратной матрице A порядка n можно поставить в соответствие единственное число, которое вычисляется по определенному правилу. Это число называется определителем матрицы A и обозначается | A | или det A, или Δ. Порядок матрицы A является и порядком ее определителя. Определители порядка 1–3 вводятся соответственно равенствами:
Минором Mij элемента aij называется определитель (n– 1)-го порядка, который состоит из элементов матрицы, полученной из данной путем «вычеркивания» i -й строки и
j -го столбца.
Алгебраическим дополнением этого же элемента называетсячисло Аij = (–1) i+j M ij.
Свойства определителей
1) 
2) 
3) 
4) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;
5) перестановка двух строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный;
6) | A | = 0, если выполняется одно из следующих условий:
- в определителе есть нулевая строка (нулевой столбец);
- в определителе есть пропорциональные строки (столбцы);
7) если к элементам одной строки (столбца) определителя прибавить линейную комбинацию соответствующих элементов других строк (столбцов), то значение определителя не изменится.
Основные методы вычисления определителей
1. Для определителей 3-го порядка используют правило треугольников, которое схематично можно изобразить следующим образом:
Линии соединяют по три элемента, которые умножаются, а затем произведения складываются.
2. Определитель порядка n может быть вычислен разложением по любой строке (столбцу):
3. Метод эффективного понижения порядка определителя: используя свойства определителя, его преобразуют к такому виду, чтобы все элементы некоторой строки (столбца) определителя, кроме одного, стали нулевыми, затем вычисляют определитель разложением по этой строке (столбцу).
4. Метод приведения к треугольному или диагональному виду с использованием свойств определителя, когда определитель равен произведению диагональных элементов.
Пример 1. Вычислить определитель 
различными способами.
Решение. 1-й способ. Используем правило треугольников:
2-й способ. Разложим определитель по первой строке:
3-й способ. Занулим элементы первой строки, т. е. используем метод эффективного понижения порядка. Для этого прибавим к элементам 3-го столбца элементы 1-го столбца. Затем разложим определитель по 1-й строке:
4-й способ. Используя свойства определителя, приведем его к треугольному виду:
