Теорема Гаусса выражает замечательное свойство электрического поля, которое позволяет представить эту теорему в иной форме, расширяющей ее возможности как инструмента исследования и расчета. Найдем дифференциальную форму теоремы Гаусса, в которой устанавливается связь между объемной плотностью заряда p и изменениями напряженности (E) в окрестности данной точки пространства.
Пусть имеем заряд q в объеме V, охватываемом замкнутой поверхностью S, представим его как
 ,
| (12.1) |
где < r> – среднее по объему V значение объемной плотности заряда. Запишем теорему Гаусса:
 .
| (12.2) |
Тогда подставим это выражение в (12.1) и разделим обе части равенства на V. В результате получим:
 .
| (12.3) |
Теперь устремим объем V®0, стягивая его к интересующей нас точке поля. Тогда <r> будет стремиться к значению r в данной точке поля, а левая часть уравнения будет стремиться к r/e0.
Величину, являющуюся пределом отношения 
Е dSк V при V®0, называют дивергенцией поля Е и обозначают div E. То есть, по определению:
 .
| (12.4) |
Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля. Из определения (12.4) следует, что дивергенция вектора E является скалярной функцией координат.
Чтобы найти дивергенцию Е надо взять бесконечно малый объем V, определить поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность, охватывающую этот объем, и найти отношение этого потока к объему. Полученное выражение для дивергенции поля вектора Е будет зависеть от выбора системы координат (в разных системах координат оно оказывается разным). Если есть декартова система координат (x, y, z), то
 .
| (12.5) |
Итак, мы выяснили, что при V®0 в выражении (8.3) его правая часть стремится к r/e0, а левая – к div E. Из (12.4) следует, что дивергенция поля Е связана с плотностью заряда в той же точке уравнением:
 ,
| (12.6) |
оно и выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме.
В дифференциальной форме теорема Гаусса является локальной теоремой: дивергенция поля Е в данной точке зависит только от плотности электрического заряда r в той же точке и больше ни от чего.
Написание многих формул и действия с ними значительно упрощаются, если ввести векторный дифференциальный оператор Ñ (набла, или оператор Гамильтона), Под в декартовой системе координат оператор Ñ имеет вид:
 ,
| (12.7) |
где i, j, k– орты осей x, y, z. Сам по себе вектор Ñ смысла не имеет. Он приобретает смысл только в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он символически умножается. При умножении вектора набла на скаляр φ получим вектор – 
. Если умножим вектор Ñ скалярно на вектор Е, то получим скаляр:
 ,
| (12.8) |
а это и есть по определению не что иное, как div E или ÑЕ. То есть дивергенция поля E скаляр и может быть записана как div E или ÑЕ (в обоих случаях читается как – «дивергенция вектора Е »).
Если умножить вектор 
векторно на 
, то получится вектор с компонентами:
,
которые совпадают с компонентами rot . Таким образом, существует два способа обозначений градиента, дивергенции и ротора:
;
;
.
Обозначения с помощью оператора обладают рядом преимуществ, поэтому мы в дальнейшем и будем применять их. Например,
 ,
| (12.9) |
где Δ –оператор Лапласа;
 ,
| (12.10) |
(векторное произведение вектора самого на себя равно нулю);
 ,
| (12.11) |
(смешанное произведение векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах, если два из этих векторов совпадают, объём параллелепипеда равен нулю).
Теорема Гаусса теперь может быть записана в виде:
 ,
| (12.12) |
еще одна форма записи в дифференциальной форме теоремы Гаусса для электростатического поля в вакууме.
Дифференциальная форма записи электростатической теоремы Гаусса – это одно из замечательных свойств электрического поля. Т.е. в разных точках поля точечного заряда поле E отличается друг от друга, это же относится, вообще говоря, и к пространственным производным: Ex/x, Ey/y, Ez/z. Однако, по утверждению теоремы Гаусса, сумма этих производных, которая определяет дивергенцию Е, оказывается во всех точках поля (вне самого заряда) равной нулю. В тех точках поля, где div E >0 (дивергенция Е положительна), мы имеем источники поля (положительные заряды), а там где она отрицательна – стоки (отрицательные заряды).
Линии вектора Е выходят из источников поля, а заканчиваются в местах стоков.