Практическая работа № 7
Тема: Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными; однородных дифференциальных уравнений первого порядка
Цель работы:
развитие навыков решения простейших дифференциальных уравнений, нахождение общих и частных решений.
В результате выполнения работы студенты осваивают следующие результаты обучения в соответствии с ФГОС СПО:
Умения
- находить общие и частные решения дифференциальных уравнений первого порядка
Знания
– основные понятия и методы математического анализа
–
Порядок выполнения работы:
1.Повторите теоретические положения по теме и записать определение, формулы расчета и т.п.
2.Выполните задание, согласно своего варианта. Исходные данные возьмите в приложении.
3.Сделайте выводы по результатам работы
Теоретическая часть
Понятие дифференциального уравнения
Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков.
Общий вид ДУ:
, 
, 
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение
Решением ( или интегралом) ДУ называется такая функция 
, подстановка которой в уравнение превращает его в верное тождество.
Процесс нахождения решения называется интегрированием ДУ.
1. Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит:
1) независимую переменную 
;
2) зависимую переменную 
(функцию);
3) первую производную функции: 
.
Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций 
, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.
Пример 1
Решить дифференциальное уравнение 
где 
.
В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:
Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».
Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Интегрируем обе части:
Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, – это общий интеграл.
Вместо записи обычно пишут 
.
В данном случае:
Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.
Множество функций 
является общим решением дифференциального уравнения .
Придавая константе 
различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения.
Пример 2
Найти частное решение дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее начальному условию 
По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.
Сначала находим общее решение.
Интегрируем уравнение:
Итак, общее решение: 
. На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию .
Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось заданное начальное условие .
В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:
В общее решение 
подставляем найденное значение константы 
:
– это и есть нужное нам частное решение.
Пример 3
Решить дифференциальное уравнение 
Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:
Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:
Переменные разделены, интегрируем обе части:
= > 
= > 
= >
Решение распишу очень подробно:
= > 
= > 
Ответ: общий интеграл: 
Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.
Пример 4
Найти частное решение дифференциального уравнения 
, удовлетворяющее начальному условию 
. Выполнить проверку.
Решение: Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы 
и 
, а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:
Интегрируем уравнение:
= > 
= > 
= >
общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию
Подставляем найденное значение константы 
в общее решение.
Ответ: частное решение: 
Требования к содержанию отчета по работе
Отчёт о работе должен содержать название и цель работы, задание, результаты выполнения задания. По результатам работы необходимо сделать выводы.
Контрольные вопросы (Задания для самопроверки качества освоенных результатов обучения):
- определение дифференциального уравнения первого, второго порядка
- понятие общего решения дифференциального уравнения
- понятие частного решения и суть начальных условий для дифференциального уравнения
- определение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
- какие дифференциальные уравнения первого порядка называются линейными, каков метод их решения
- метод решения линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
Приложение
Задание 1.
Вариант 1
1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.
2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.
Вариант 2
1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.
2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.
Вариант 3
1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.
2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.
Вариант 4
1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.
2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.
Вариант 5
1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.
2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.
Вариант 6
1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.
2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.
Вариант 7
1. Найти общее решение дифференциального уравнения к разделяющимися переменными.
2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.
Вариант 8
1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.
2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.
Вариант 9
1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.
2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.
Вариант 10
1. Найти общее решение дифференциального уравнения c разделяющимися переменными.
2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.
Задание 2. Найти общее решение уранения
| Номер варианта | Дифференциальное уравнение |
| 1. | 
|
| 2. | 
|
| 3. | 
|
| 4. | 
|
| 5. | 
|
| 6. | 
|
| 7. | 
|
| 8. | 
|
| 9. | 
|
| 10. | 
|