ТЕМА: «ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ»
Вписанная окружность
Окружность вписана в многоугольник, если она касается всех его сторон.
В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.
Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника.
OD =r –радиус окружности. ОD  . Чтобы построить радиус вписанной окружности нужно из ее центра опустить перпендикуляр к стороне треугольника. Полученный отрезок будет являться радиусом описанной окружности.
| 
|
| Если окружность вписана в четырёхугольник, то суммы противоположных сторон этого четырёхугольника равны: AB + CD = BC + AD. | 
|
| Описанная окружность Окружность описана около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности. Около любого треугольника можно описать окружность. Центр описанной около треугольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. OD, OE,OF- серединные перпендикуляры. ОА=ОВ=ОС =R –радиус описанной окружности. Чтобы построить радиус описанной окружности необходимо точку пересечения серединных перпендикуляров соединить с вершиной треугольника. | 
|
Если окружность описана около четырёхугольника, то суммы его противоположных углов равны:
ÐA + ÐC = ÐB + ÐD.
и ÐA + ÐC 
| 
|
Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности.
Если около четырехугольника можно описать окружность (т.е сумма противолежащих углов равна  )то его площадь можно посчитать по формуле
где  – полупериметр.
| 
|
Прежде чем приступить к решению задач необходимо прочитать §4 стр-178-182 учебника.
Разберем задачи по теме.
Задача 1.
Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника АВС, если его катеты равны 24 и 10 см
| Дано: DАВС – прямоуг. АВ – гипотенуза; АС = 24 см; ВС = 10 см; Окр. (О; r) – опис-я. Найти: r -? |
1) Точка. С лежит на окружности (треугольник вписанный). Если ÐС – прямой, тогда дуга АВ = 180 
, значит АВ является диаметром окружности. Þ О Î АВ, радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы; так как АВ –диаметр, а ОВ=ОА= 
АВ
2) DАВС – прямоугольный, ÐС – прямой, по теореме Пифагора:
АВ2 = АС2 + ВС2 = 576 + 100 = 676;
АВ = 26 (см);
3) r = AB = 13 (см).
Ответ: r = 13 см.
Задача 2. По данным рисунка найдите радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности.
| Дано: DАВС – р/б; АС – основ-е; ВН – высота; Окр. (О; r) – впис.; АВ = 13 см; АС = 10 см Найти: r -? |
1) DАВС – р/б, АС – основание, ВН – высота Þ ВН – биссектриса (по свойству высоты р/б треугольника, проведённой к основанию) Þ О Î ВН (центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис);
2) Пусть ОН ^ АС, ОК, ON – радиусы вписанной окружности Þ ON ^ ВС, OK ^ АВ (радиусы, проведённые в точку касания, по свойству касательной), ОН = ON = OK;
3) DАВС – р/б, АС – основание, ВН – высота Þ ВН – медиана (по свойству высоты р/б треугольника, проведённой к основанию) Þ АН = НС = 5 см;
4) DАВН – прямоугольный, по теореме Пифагора: АВ2 = ВН2 + АН2;
169 = ВН2 + 25;
ВН = 12 (см).
5) AK = AH = 5 см (свойство отрезков касательных) Þ ВК = 13 – 5 = 8 (см);
6) DОВК – прямоугольный (OK ^ АВ), ОК = OH Þ BO = BH – OH = 12–ОК;
По теореме Пифагора:
ВО2 = ОК2 + ВК2;
(12 – ОК)2 = ОК2 + 64;
144 – 24ОК + ОК2 = ОК2 + 64;
80 = 24ОК
ОК = 
(см).
Ответ: радиус вписанной окружности r= см.
Задача 3 Найдите площадь равнобедренного треугольника с основанием АВ = 6, если расстояние от центра описанной окружности до АВ равно 4.
Напоминаю, расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного к данной прямой.
| Дано: DАВС – р/б; АВ – основ-е; CD – высота; Окр. (О; r) – опис-я.; АВ = 6; OD = 4. Найти: SABC -? |
1) OD – расстояние от центра описаннной окружности до АВ. Значит OD – серединный перпендикуляр (проходит через середину АВ и перпендекулярен АВ). СD – высота, проведённая к основанию равнобедренного DАВС Þ СD – серединный перпендикуляр к АВ Þ О Î CD так как центр описанной около треугольника окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
2) О – центр описанной около равнобедренного DАВС окружности Þ АО = СО = ВО – радиусы описанной окружности;
3) DAOD – прямоугольный (CD – высота), AD = 
. По теореме Пифагора:
АО2 = AD2 + DO2 = 9 + 16 = 25;
AO = 5;
4) СD = OD + CO = 4 + 5 = 9;
5) 
.
Ответ: 
.
Задача 4.