.
Из приведенного неравенства вытекает известное соотношение Котельникова, позволяющее выбрать частоту дискретизации
. (1.6)
Если это условие не выполняется, то возникает наложение спектров. Эффект наложения спектров иллюстрируется рисунком 1.3.в. Из него видно, что в полосу пропускания фильтра неизбежно попадает спектральная составляющая, которой нет в спектре исходного аналогового сигнала. Это вызывает искажение восстановленного сигнала.
1.3. Дискретизация апериодических аналоговых сигналов
Известно, что спектр 
апериодического аналогового сигнала x(t) определяется с использованием прямого преобразования Фурье
(1.7)
Для определения дискретного сигнала сначала преобразуем соотношение (1.3)
Воспользовавшись прямым преобразованием Фурье, найдем спектр дискретного сигнала
Сравнивая последнее соотношение с (1.6), выразим спектр дискретного сигнала через спектр аналогового сигнала
(1.8)
Таким образом, спектр дискретного сигнала с точностью до постоянного сомножителя Uτ / TД равен сумме спектров аналогового сигнала, сдвинутых вдоль оси частот на kωД. На рисунке 1.4 показаны спектры апериодического аналогового сигнала до и после дискретизации как в области положительных, так и в области отрицательных частот. Их отличие от линейчатых спектров периодического аналогового сигнала состоит в том, что спектральная плотность апериодического сигнала представляет собой непрерывную функцию частоты.
Рисунок 1.4 – Спектры апериодического аналогового сигнала до дискретизации (а),
после дискретизации при отсутствии (б) и при наличии (в) наложения спектров
Как видно из рисунка при FД < 2Fmax имеет место эффект наложения сгустков спектра дискретного сигнала.
В случае, когда нельзя по каким - либо причинам увеличить частоту дискретизации сигнала с ограниченным спектром, или аналоговый сигнал имеет неограниченный спектр, для уменьшения ошибки наложения спектров требуется предварительное ограничение спектра аналогового сигнала. Из рисунка 1.5 видно, что при этом ошибка наложения уменьшается.
Рисунок 1.5 – Уменьшение ошибки наложения за счет ограничения спектра
аналогового сигнала
1.4. Дискретизация узкополосных модулированных сигналов
Особый интерес представляет случай дискретизации модулированных сигналов, когда результатом цифровой обработки должно быть выделение модулирующей функции. Покажем, что при этом частота дискретизации может быть выбрана ниже частоты несущей. На рисунке 1.6 показан спектр аналогового синусоидального сигнала с частотой
f0 > FД до (а) и после (б) дискретизации. Спектр дискретного сигнала получен в соответствии с соотношением (1.4).
Рисунок 1.6 – Спектр дискретной синусоиды до (а) и после (б) дискретизации. Частота
синусоиды выше частоты дискретизации
Как и в случае, показанном на рисунке 1.2 при F < FД / 2, спектр дискретного сигнала представляет собой периодическую функцию частоты. Вблизи частот kFД имеются спектральные составляющие, отстоящие на величину F0.
Важно отметить, что в интервале частот 
- интервале Котельникова - появляется составляющая спектра с частотой F0=f0-FД.
На рисунке 1.7 показаны временные диаграммы синусоидального сигнала x(t) до (пунктир) и после дискретизации xд(t) при дискретизации с частотой, которая меньше частоты сигнала. Из рисунка видно, что частота дискретного синусоидального сигнала существенно меньше частоты сигнала на входе дискретизатора. Она равна частоте спектральной составляющей спектра дискретного сигнала, которая попадает в интервал Котельникова.
Рисунок 1.7 – Синусоидальное колебание на входе и выходе дискретизатора при
дискретизации с частотой, меньшей частоты входного сигнала
На рисунке 1.8 изображен спектр модулированного колебания до и после дискретизации.
Из него видно, что
* в интервале Котельникова существует спектр, который по форме не отличается от спектра исходного аналогового сигнала, следовательно, закон модуляции сигнала после дискретизации остался неизменным, изменилась только частота несущей (F0 вместо f0),
* частота дискретизации должна удовлетворять условию
. (1.9)
Последнее условие является необходимым, но недостаточным для обоснованного выбора частоты дискретизации.
Рисунок 1.8 – Спектр модулированного сигнала до (а) и после (б) дискретизации
При обработке сигналов в реальном масштабе времени стремятся выбрать минимально возможное значение частоты дискретизации для того, чтобы увеличить время обработки, которое не должно превышать период дискретизации. На рисунке 1.9 показан случай, когда 
и сгустки спектра равномерно расположены вдоль оси частот. При этом частота несущей, приведенная в интервал Котельникова, равна 
. Для того чтобы получить такое значение приведенной частоты несущей дискретного сигнала, частота несущей аналогового сигнала 
должна отличаться от частоты дискретизации или ее гармоники на частоту 
.
Рисунок 1.9 – Спектр сигнала до и после дискретизации при F0 = FД / 4
Спектральные диаграммы, приведенные на рисунках 1.10 и 1.11, показывают, что если это условие не выполняется, то сгустки спектра распределяются по оси частот неравномерно, в результате чего возникает наложение спектров, приводящее к искажению сигнала. Таким образом, второе условие выбора частоты дискретизации выражается следующим соотношением
, (1.10)
где 
Рисунок 1.10 – Спектр сигнала до и после дискретизации при F0 < FД /4
Рисунок 1.11 – Спектр сигнала до и после дискретизации при F0 > FД/4
Лекция №3. Квантование дискретных сигналов
Тема №1. Дискретизация и квантование сигналов
1.5. Квантование с равномерным шагом (линейное квантование)
Операция квантования сводится к тому, что всем отсчетам входного сигнала x, попавшим в некоторый интервал, приписывается одно и то же значение 
, выражаемое двоичной кодовой комбинацией.
Если кодовая комбинация содержит r разрядов, то число дискретных уровней выходного сигнала квантователя равно 
.
Для взаимно однозначного соответствия весь диапазон изменения входного сигнала X = x max – x min должен быть разбит на такое же количество уровней.
Величина интервала разбиения – шаг квантования – представляет собой значение аналоговой величины, на которую отличаются уровни входного сигнала, представленные двумя соседними кодовыми комбинациями.
При наиболее распространенном равномерном квантовании шаг квантования равен
(1.12)
Характеристикой квантования называется зависимость квантованного значения от значения непрерывной величины x.
Типичная характеристика квантователя с постоянном шагом квантования приведена на рисунке 1.16.
Рисунок 1.16 – Характеристика квантования при постоянном шаге квантования
На рисунке 1.17 приведена временная диаграмма работы квантователя, где точками отмечены квантованные значения, и временная диаграмма ошибки квантования 
. Временная последовательность ошибок квантования случайного сигнала представляет собой случайный процесс с равномерным законом распределения. Этот случайный процесс называют шумом квантования.
Рисунок 1.17 – Временные зависимости сигналов на входе (x) и выходе () квантователя
и ошибки квантования 
Из рисувнка видно, что абсолютное значение ошибки квантования не превышает Δ/2.
Закон распределения этого случайного процесса приведен на рисунке 1.18.
Рисунок 1.18 – Плотность вероятности шума квантования