Пусть , , - предельная точка множества , - предельная точка множества , , , при этом , если .
Тогда при существует предел композиции :
.
Эта теорема позволяет вычислять пределы, переходя от переменной к новой переменной .
В случае непрерывности функции в точке утверждение теоремы можно записать в виде формулы:
.
Пример 14. Найти .
Применяя теорему о пределе композиции, будем иметь:
.
Понятие бесконечно малой (б.м.) и бесконечно большой (б.б.), их связь и леммы о бесконечно малых также могут быть использованы при отыскании пределов.
Определение бесконечно малой:
Функция называется бесконечно малой функцией (или просто б.м.) при , если .
Справедливы леммы о б.м.
Лемма 1:
Если и - б.м. при , а С1,С2 – вещественные числа, то также б.м. при .
Лемма 2:
Если функция ограничена в окрестности точки , а - б.м. при , то их произведение является б.м. при .
Определение бесконечно большой:
Функция называется бесконечно большой при , если для такое, что для тотчас выполняется: , т.е. .
Связь между б.м. и б.б.:
Функция , отличная от нуля при , является б.м. при тогда и только тогда, когда обратная величина является б.б. при .
Пример 15. Найти .
Функция является ограниченной при , ибо для , а функция является б.м. при как величина, обратная б.б. функции (x2+1), следовательно, по лемме 2 о б.м. =0.
Пример 16. Найти .
, а тогда =0, откуда .
Возможны случаи, когда ни понятия непрерывности, ни теорема об арифметических свойствах предела, ни леммы о б.м. неприменимы, и необходимо рассматривать пределы неопределенных выражений. Так, если при функции и есть б.м., и - б.б., а то возникают неопределенности, условно обозначаемые (1) , (2) , (3) , (4) , (5) . Для раскрытия неопределенностей используются 1-й и 2-ой замечательные пределы и следствия из них:
I. - 1ый замечательный предел;
II. = – 2ой замечательный предел;
IIа. , IIб. ,
IIв. .
В примерах 17-43 найти пределы, раскрыв неопределённости.
Пример 17.
Пример 18.
Пример 19.
.
Пример 20. , .
Сделаем замену переменной , тогда при должно быть . Имеем:
Пример 21.
Пример 22.
.
Пример 23. .
Делаем замену , если , то . Используем следствие IIв из 2го замечательного предела:
Пример 24.
Пример 25.
Делаем замену , если , то .
Тогда - c использованием следствия II в.
Пример 26.
Пример 27.
Пример 28. =
Пример 29. =
Пример 30. , .
Делаем замену , если , то . Тогда , поэтому .
Пример31.
.
Пример 32. .
Так как , то .
Пример 33.
Пример 34. .
Учитывая, что:
и
получим:
Пример 35.
Пример 36.
-
как произведение б.м. функции при на ограниченную функцию .
Пример 37.
- с использованием следствия IIа.
Пример 38.
Пример 39. ,
используя следствие IIб.
Пример 40. .
Пример 41.
Пример 42. Для
При вычислении первого из пределов используем следствие IIб, а во втором сделаем замену , если , то . Тогда
Пример 43.
-
с использованием непрерывности степенной и показательной функций и следствия IIб.
Рассмотрим функцию вида: , называемую показательно-степенной. Данная функция непрерывна в любой точке , где непрерывны функции и и где . Используя логарифмическое тождество и теоремы о непрерывности композиции и произведения непрерывных функций, будем иметь: .
Но не всегда может быть найден непосредственно, он может представлять собой неопределённость, если представляет неопределённость вида Это возможно в трёх случаях: 1) , 2) , , 3) , при , и мы приходим к следующим типам неопределённостей: , , . Посредством использования логарифмического тождества эти неопределённости сводятся к более простой - .
Пример 44. Найти .
Неопределённость вида можно раскрывать с помощью 2–го замечательного предела. Покажем это:
Положим далее ,
, тогда . Так как при , то , и тогда – по теореме о пределе композиции и с использованием 2-го замечательного предела. В силу непрерывности показательно- степенной функции получаем: , при этом представляет неопределённость вида .
Итак,
- с использованием следствия IIв
Пример 45. Найти .
.
Пример 46. Найти .
.