Числа, бывают двух родов. Одни в точности дают истинную величину, другие – только приблизительно. Первые называются точными, вторые – приближёнными. Часто мы сознательно берём приближённое число вместо точного, так как последнее нам не требуется. Во многих же случаях точное число невозможно найти. Результат любого измерения физической величины – это приближенное число.
Результат действия с приближёнными числами есть тоже приближённое число.
При использовании приближенных значений оперируют понятиями значимых чисел. Значащими цифрами называются все цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа. Последнее значимое число – сомнительное, остальные – верные. Например, в числе 0,00174 три значащие цифры; в числе 0,02045 четыре значащие цифры; в числе 2300 – четыре; в числе 2,3·103 – две. Число значащих цифр некоторого числа называется его значностью.
Теория приближённых вычислений позволяет:
1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов ещё до выполнения действий;
2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной, чтобы обеспечить требуемую точность результата, но не слишком большой, чтобы избавить вычисления от бесполезных расчётов;
3) рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.
Сложение и вычитание приближенных значений
Если не все данные числа заканчиваются на одном и том же разряде, то до выполнения сложения или вычитания следует произвести округление. Нужно удержать лишь те разряды, которые значимы у всех слагаемых. Остальные отбрасываются как бесполезные. При небольшом числе слагаемых все цифры суммы, кроме последней, будут верны. Последняя может быть сомнительной. Эту неточность можно свести к минимуму, если учесть влияние цифр следующего разряда (запасные цифры).
Пример. Найти сумму 25,3 + 0,442 + 2,741.
Не округляя слагаемых, получим 28,483. Последние две цифры бесполезны, так как в первом слагаемом возможна неточность в несколько сотых. Округляя сумму до значимых цифр (т. е. до десятых долей), получаем 28,5.
Если произведём округление до точных цифр предварительно, то найдём без лишнего труда 25,3 + 0,4 + 2,7 = 28,4. Цифра десятых получилась на 1 меньше. Если же учесть и цифры сотых, получим 25,3 + 0,44 + 2,74 = = 28,48, т. е. округлённо 28,5. Цифра 5 надёжнее, чем 4, хотя не исключена возможность, что первая цифра – именно 4.
Предельная абсолютная погрешность суммы не превышает суммы предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.
Произведение и деление приближенных значений
Предельная относительная погрешность произведения или деления не превышает сумму предельных относительных погрешностей аргументов.
Погрешность можно оценить проще (но зато грубее), чем по вышеуказанному способу. Эта оценка основана на следующем правиле.
Пусть перемножаются два приближённых числа, и пусть каждое имеет по k значащих цифр. Тогда (k -1)-я цифра произведения безусловно верна, а k -я цифра может быть сомнительной.
Пример. Перемножим приближённые числа 2,45 и 1,22, имеющие каждое по три значащих цифры. В произведении 2,9890 первые две цифры, безусловно, верны. Третья цифра может быть не вполне точной. Поэтому третью цифру следует удержать; четвёртую же цифру нет смысла сохранять. Округляя, имеем: 2,45 × 1,22 ≈ 2,99.
Практические выводы:
1. Если перемножаются (делятся) приближённые числа с одним и тем же количеством значащих цифр, то в произведении следует удержать столько же значащих цифр. Последняя из удержанных цифр будет сомнительна.
2. Если некоторые сомножители имеют больше значащих цифр, чем другие, то до умножения следует первые округлить, сохранив в них столько цифр, сколько имеет наименее точный сомножитель, или ещё одну (в качестве запасной). Дальнейшие цифры удерживать бесполезно.
3. Если требуется, чтобы произведение двух чисел имело заранее данное число вполне надёжных цифр, то в каждом из сомножителей число точных цифр (найденных измерением или вычислением) должно быть на единицу больше. Если количество сомножителей больше двух и меньше десяти, то в каждом из сомножителей число точных цифр для полной гарантии должно быть на две единицы больше, чем требуемое число точных цифр. Практически же вполне достаточно взять лишь одну лишнюю цифру.
Ход работы
1. Оценить корреляцию данных.
Для этого необходимо определить коэффициент корреляции по формуле (6) и оценить корреляцию его по формуле (7).
| Величина | Отсчет | 
| |||||
| среднее | |||||||
| аh | |||||||
| аj |
2. Вычислить погрешность косвенных измерений 3-мя способами:
a. Используя алгоритм вычисления производных измеряемой величины по её аргументам
b. Используя вычисление приращения измеряемой величины по её аргументам
c. Используя табличные значения расчёта погрешностей по основным математическим действиям.
3. Произвести ряд математических операций с приближенными значениями и оценить значимость полученных результатов с точностью до разряда.
Вариант для вычислений выдаются преподавателем в виде 2-х значного шифра, данные к расчёту принять по приложению А.
Защита работы
При защите работы студент должен предоставить оформленный отчет по лабораторной работе. Свободно владеть используемой терминологией и ориентироваться в результатах работы. Выполнять простейшие вычисления связанные с тематикой работы.
Ориентировочный перечень вопросов для самопроверки
1. Какие измерения называют косвенными
2. Метод определения погрешности при помощи частных производных (метод линеаризации)
3. Метод определения погрешности при помощи вычисления приращения измеряемой величины по её аргументам.
4. Определение погрешности при помощи формул расчета погрешности косвенных измерений для основных математических операций.
5. Оценка корреляции величин. Коэффициент корреляции.
6. Влияние корреляции погрешностей аргументов функциональной зависимости косвенного измерения на погрешность результата измерения.
7. Точные и приближенные числа. Значимость числа
8. Сложение и вычитание приближенных чисел
9. Умножение и деление приближенных чисел
Приложение А
Данные для вычислений
Расчет корреляции:
| Вариант | ||||||
| ah | 0.70 | -0.03 | -0.74 | -1.00 | -0.65 | |
| aj | 0.39 | -1.06 | -2.47 | -3.00 | -2.31 | |
| ah | 7.02 | 4.32 | 0.57 | -3.33 | -6.41 | |
| aj | 14.10 | -0.14 | 4.64 | -0.29 | 2.71 | |
| ah | 0.09 | 0.78 | 0.99 | 0.61 | -1.00 | |
| aj | -0.83 | 0.55 | 0.99 | 0.22 | -1.29 | |
| ah | 0.88 | 0.54 | 0.07 | -0.42 | -0.80 | |
| aj | -0.84 | -0.48 | 0.00 | 0.48 | 0.84 | |
| ah | -0.42 | -0.50 | -0.99 | -0.40 | -0.65 | |
| aj | 0.48 | 0.84 | 1.00 | 1.10 | 0.60 | |
| ah | -1.00 | 1.00 | 0.09 | 0.78 | 0.40 | |
| aj | -3.00 | -2.31 | -0.83 | 0.55 | 0.50 | |
| ah | -7.92 | -7.49 | -5.23 | -1.69 | 2.27 | |
| aj | -0.45 | 1.85 | -0.64 | 1.35 | -0.86 | |
| ah | 2.00 | 1.00 | -5.00 | 0.00 | 5.00 | |
| aj | 0.09 | 0.23 | 0.65 | 0.98 | 0.88 | |
| ah | -0.99 | -0.94 | -0.65 | -0.21 | 0.00 | |
| aj | 1.00 | 0.91 | 0.60 | 0.15 | -0.35 | |
| ah | 1.01 | 0.06 | -5.65 | -0.21 | 5.00 | |
| aj | -0.54 | -2.79 | -0.02 | -1.56 | 0.86 | |
| ah | 0.56 | 1.91 | -6.29 | 1.14 | 4.14 | |
| aj | 1.46 | -1.79 | -5.02 | -1.56 | 5.86 | |
| ah | 0.64 | 2.14 | -5.64 | 2.12 | 5.03 | |
| aj | 0.47 | -2.72 | -5.67 | -1.77 | 5.86 | |
| ah | 1.64 | 3.05 | -5.04 | 2.27 | 4.68 | |
| aj | 1.48 | -2.66 | -11.33 | -1.98 | 10.86 | |
| ah | 1.53 | 0.49 | -4.41 | 1.68 | 6.42 | |
| aj | -0.41 | -3.28 | -7.58 | -1.76 | 5.00 | |
| ah | 2.99 | -1.30 | -9.43 | 0.12 | 12.27 | |
| aj | 0.88 | 0.54 | 0.07 | -0.42 | -0.80 | |
| ah | 3.46 | -4.02 | -15.10 | -1.65 | 18.13 | |
| aj | 2.52 | 3.59 | -4.97 | 1.85 | 3.88 | |
| ah | 4.95 | -6.68 | -26.42 | -3.64 | 28.98 | |
| aj | 4.05 | 4.08 | -9.38 | 3.53 | 10.29 | |
| ah | 4.54 | -9.96 | -34.01 | 5.00 | 33.98 | |
| aj | 7.04 | 2.78 | 5.00 | 3.65 | 22.57 | |
| ah | 0.64 | 2.14 | -5.64 | 2.12 | 5.03 | |
| aj | 0.88 | 0.54 | 0.07 | -0.42 | -0.80 | |
| ah | 0.88 | 0.54 | 0.07 | -0.42 | -0.80 | |
| aj | 4.54 | -9.96 | -34.01 | 5.00 | 33.98 | |
| ah | 0.70 | -0.03 | -0.74 | -1.00 | -0.65 | |
| aj | 0.56 | 1.91 | -6.29 | 1.14 | 4.14 |
Продолжение приложения А
Вариант
| ah | 0.76 | 0.24 | -2.20 | 0.84 | 3.21 | |
| aj | 7.80 | 3.03 | 2.80 | 4.49 | 25.78 | |
| ah | 3.82 | 1.22 | -11.02 | 4.20 | 16.04 | |
| aj | 7.80 | 3.03 | 2.80 | 4.49 | 25.78 | |
| ah | -3.98 | -1.80 | -13.82 | -0.29 | -9.73 | |
| aj | 7.80 | 3.03 | 2.80 | 4.49 | 25.78 | |
| ah | -3.42 | 0.11 | 5.00 | 0.85 | -5.59 | |
| aj | 7.04 | 2.78 | 5.00 | 3.65 | 22.57 | |
| ah | 4.38 | 3.14 | 7.80 | 5.34 | 20.19 | |
| aj | 14.35 | 3.98 | -6.76 | 6.86 | 37.96 |
Расчет погрешности косвенных измерений:
Вариант
| 00 (25) | |||
| |||
|
| 
| 
|
|
| 
| 
|
|
|
| 
|
| 
| 
|
|
Вариант
| ||
| 
|
|
|
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
Вариант
| ||
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
Продолжение приложения А
Вариант
| ||
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
|
|
Вариант
| ||
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
|
|
| 
| 
|
Вариант
| ||
| 
| 
|
|
| 
|
|
| 
|
| 
| 
|
Вариант
| ||
| 
| 
|
| 
|
|
|
| 
|
Вариант
| ||||
| 
| 
| ||
| 
| 
| ||
| 
|
| ||
|
| 
| ||
Продолжение приложения А
Оценка точности вычислений приближенных значений:
Вариант
| 0 (25) | |||
|
| |||
|
| 
| 
|
| 
| 
| 
|
|
|
| 
|
| 
| 
|
|
Вариант
|
| ||
| 
|
|
|
| 
|
| 
|
|
| 
|
|
Вариант
|
| ||
| 
|
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
Вариант
|
| ||
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
|
|
Продолжение приложения А
Вариант
|
| ||
| 
|
|
| 
| 
|
| 
|
|
|
|
|
Вариант
|
| ||
|
|
|
|
| 
|
|
| 
|
| 
|
|
Вариант
|
| ||
| 
| 
|
| 
|
|
|
| 
|
Вариант
|
| ||||
|
|
| ||
| 
| 
| ||
| 
|
| ||
|
| 
| ||