1. АЗ: [11], №№ 5.1, 5.5, 5.9, 5.17, 5.21, 5.23, 5.25, 5.27, 5.37, 5.41, 5.53, 5.61, 5.63, 5.69, 5.81, 5.83, 5.85, 5.94, 5.144, 5.146, 5.148, 5.164, 5.168, 5.170, 5.172, 5.184, 5.186, 5.192, 5.197, 5.290, 5.296, 5.303, 5.312.
2. Образцы решения задач
2.1 Найти и для функции
Решение: Имеем по определению
Заметим, что функция не имеет производной в точке
2.2 Найти производную функции .
Решение: Полагая и , имеем и . Отсюда получаем .
2.3 Найти , если ,
Решение:Имеем
.
2.4 Пользуясь определением производной функции, найти производную функции в точке
Решение. Дадим значению приращение Тогда функция получит приращение:
Найдем:
Итак, .
2.5 Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке (2,3).
Решение Напишем уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку (2,3)
Вычислим:
Тогда, для касательной: для нормали
Подставляя эти значения в уравнение пучка прямых, получим
уравнение касательной или
уравнение нормали или
2.6 Найти производную:
Решение.Преобразуем функцию .
Тогда
.
2.7 Найти если
Решение. Вычислим:
Тогда
2.8 Найти если
Решение.Находим Тогда
2.9 Найти вторую производную функции, заданной параметрическим уравнением: .
Решение: В соответствии с формулами имеем:
3. ДЗ: [11], №№ 5.2, 5.10, 5.11, 5.22, 5.26, 5.38, 5.54, 5.62, 5.70, 5.82, 5.86, 5.95, 5.145, 5.147, 5.165, 5.169, 5.171, 5.185, 5.193, 5.198, 5.291, 5.304, 5.305, 5.313.
Практ. зан № 9 Тема 8 Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы о среднем для дифференцируемых функций. Формула и ряд Тейлора.
1. АЗ: [11], №№ 5.316, 5.322, 5.329, 5.331, 5.337, 5.339, 5.346, 5.349, 5.364, 5.380, 5.382, 5.394.
2. Образцы решения задач
2.1 Найти
Решение.
2.2 Найти если
Решение.
Сравнить приращение и дифференциал функции
Решение. Найдем
Разность между приращением и дифференциалом есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с равная
2.4 Вычислить приближенное значение
Решение.Полагаем
Применим формулу
2.5 Найти дифференциал второго порядка функции .
Решение: Имеем , . Тогда .
2.6 Найти .
Решение. Имеем , , ,
. Производные и существуют и конечны в окрестности точки , причем . Выполнены условия правила Лопиталя, применяя его, получим: .
2.7 Найти .
Решение.Это неопределенность вида . Положим .
Тогда .
Рассмотрим
.
Следовательно,
3. ДЗ: [11], №№ 5.317, 5.323, 5.332, 5.338, 5.347, 5.365, 5.381, 5.383, 5.395.
Практ. зан. № 10. Тема 9 Раскрытие неопределенностей. Исследование поведения функций и их графиков. Приложения дифференциального исчисления к геометрии.
1. АЗ: [11], №№ 5.404, 5.413, 5.415, 5.440, 5.442, 5.452, 5.453, 5.461, 5.463.
[14], №№ АЗ- 6.10
2. Образцы решения задач
2.1 Найти интервалы возрастания и убывания функции . Исследовать функцию на экстремум.
Решение.Найдем производную и стационарные точки, решая уравнения . Определим знак производной в окрестности точки : при и при . Следовательно, в точке функция имеет минимум . Функция возрастает на интервале ; убывает на интервале .
2.2 Исследовать на экстремум функцию . Найти интервалы возрастания и убывания.
Решение.Вычислим . Найдем стационарную точку .
Функция убывает при ; возрастает при .
2.3 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Решение.Найдем производную:
.
Критическая точка . Вычислим значения функции:
.
Итак, наименьшее значение функции равно 0, а наибольшее равно 8.
2.4 Найти точки перегиба кривой .
Решение. Находим , . Критическая точка второго рода: .
Определим знак в окрестности .
Следовательно, точка , т.е. (5,2) – точка перегиба.
2.5 Найти асимптоты кривой .
Решение.Функция определена в интервалах . Имеем , следовательно - вертикальная асимптота. Горизонтальных асимптот нет, так как предел не является конечной величиной. Находим:
.
.
Итак, наклонные асимптоты: , т.е. и .
2.6 Исследовать и построить график функции
Решение.
1)
2) , т.е. функции нечетная.
Поэтому график функции симметричен относительно начала координат. Следовательно, исследования проведем для .
Затем воспользуемся симметрией.
3) - точка пересечения с осями координат.
4) Найдем .
Решим уравнение . Исследуем только точку . Определим знак производной в окрестности этой точки.
Следовательно, ; функция возрастает при и убывает при .
5). Вычислим:
.
Тогда . Определим знак в окрестности точке и
Следовательно ), т.е. – точка перегиба; кривая вогнута при и выпукла при .
6) Имеем , следовательно, - вертикальная асимптота.
Вычислим:
, т.е. горизонтальных асимптот нет.
Найдем:
,
.
Итак, , т.е. наклонная асимптота.
7). Вычислим:
;
; .
Построим график функции
3. ДЗ: [11], №№ 5.405, 5.406, 5.412, 5.414, 5.441, 5.454, 5.462.
[14], СР, стр. 204-205.