Методика изучения числовых выражений
Выражением называют математическую запись, состоящую из чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных знаками арифметических действий. Выражение, в котором все числа обозначены цифрами, называют числовым выражением.
Следует отличать выражение от равенства и неравенства
5 + 4 – выражение; 5 + 4 = 9 – равенство; 5 + 4 <10 - неравенство
В 1 классе рассматриваемый учебник не использует данные понятия. С числовым выражением в явном виде (с названием) дети знакомятся во 2 классе. Простейшие числовые выражения содержат только знаки сложения и вычитания, например, 30 – 5 + 7; 45 +3 и т.п.
Если в числовом выражении выполнить указанные действия, то получим число, которое называют значением выражения, например, 45 + 3 = 48,где 48 – значение выражения. Некоторые выражения имеют собственные названия:
4+5 – сумма; 6 – 5 – разность; 7 ∙ 6 – произведение; 63:7 – частное. Эти выражения имею названия каждого компонента: суммы – слагаемые; компоненты разности – уменьшаемое и вычитаемое; произведения – множители; компоненты деления – делимое и делитель.
Знакомство с простейшими выражениями – суммой двух чисел происходит в 1 классе при изучении сложения и вычитания в пределах 10. Выполняя операции над множествами, дети прежде всего усваивают конкретный смысл сложения и вычитания, поэтому в записях вида 5 + 1, 6 – 2 знаки действий осознаются ими как краткое обозначение слов «прибавить» и «вычесть» (форма чтения: к 5 прибавить 1 равно6, из 6 вычесть 2 равно 4). В дальнейшем представления о данных понятиях углубляются. Учащиеся узнают, что, прибавляя несколько единиц, увеличиваем число на столько же единиц, а вычитая – уменьшаем (чтение: 4 увеличить на 2 равно 6, 7 уменьшить на 2 равно 5).
Ознакомившись с названиями компонентов и результатом действия сложения, учащиеся используют термин «сумма» для обозначения числа, являющегося результатом сложения. Необходимо включать на каждый урок упражнения для усвоения термина «сумма» (Запишите сумму чисел 7 и 2 и т.п.). Аналогичная работа ведется над следующими выражениями: разностью, произведением и частным двух чисел.
Далее включаются выражения, состоящие из трех или более чисел, соединенных одинаковыми или различными знаками действий вида: 3 + 1 +1, 4 – 1 – 1. Вычисляя данные выражения, дети овладевают правилом о порядке выполнения действий в выражениях без скобок. Затем дети учатся преобразовывать (замена данного выражения другим, значение которого равно значению данного выражения) выражения в процессе вычислений: 10-7+5=3+5=8
Следующий вид числовых выражений – выражения, содержащие действия первой ступени (сложение и вычитание) и скобки. С ними дети знакомятся во 2 классе. С этим видом связано правило порядка выполнения действий в выражениях со скобками: действия в скобках выполняются первыми. Вводятся термины «математическое выражение» и «значение выражения». Ведется ознакомление с выражениями 10+(6-2), (7+5)+5 и т.п. готовит детей к изучению правил прибавления числа к сумме, вычитание числа из суммы.
Изучение правил порядка действий.
В курсе математики начальных классов значительное внимание уделяется изучению порядка действий при нахождении значения составных выражений. Изучение данной содержательной линии сопровождается следующими видами ошибок школьников:
- не могут правильно применить правило порядка действий;
- неверно отбирают числа для выполнения действия.
В курсе математики начальных классов традиционно правила порядка действий формулируются в следующем виде.
Правило 1. В выражениях без скобок, содержащих только сложение и вычитание или умножение и деление, действия выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо.
Правило 2. В выражениях без скобок сначала выполняются по порядку слева направо умножение или деление, а потом сложение или вычитание.
Правило 3. В выражениях со скобками сначала вычисляют значение выражений в скобках. Затем по порядку слева направо выполняются умножение или деление, а потом сложение или вычитание.
Каждое из данных правил ориентировано на определенный вид выражений:
- выражения без скобок, содержащие только действия одной ступени;
- выражения без скобок, содержащие действия первой и второй ступени;
- выражения со скобками, содержащие действия, как первой, так и второй ступени.
При такой логике введения правил и последовательности их изучения вышеназванные действия будут состоять из ниже перечисленных операций, овладение которыми и обеспечивает усвоение данного материала:
- распознать структуру выражения и назвать, к какому типу оно относится;
- соотнести данное выражение с правилом, которым надо руководствоваться при вычислении его значения;
- установить порядок действий в соответствии с правилом;
- правильно отобрать числа для выполнения очередного действия;
- выполнить вычисления.
Данные правила вводятся в третьем классе как обобщение для определения порядка действий в выражениях различной структуры. Нужно заметить, что до знакомства с этими правилами дети уже встречались с выражениями со скобками. В первом и втором классах при изучении свойств арифметических действий (сочетательное свойство сложения, распределительное свойство умножения и деления), умеют вычислять значения выражений, содержащих действия одной ступени, т.е. им знакомо правило № 1. Поскольку вводится три правила, отражающие порядок действий в выражениях трех видов, то необходимо, прежде всего, научить детей выделять различные выражения с точки зрения тех признаков, на которые ориентировано каждое правило.
В настоящее время используется и другая технология изучения порядка действий при нахождении значения составных выражений. При этом подходе основное внимание уделяется пониманию учащимися структуры выражения. Важнейшим учебным действием при этом является выделение в составном выражении нескольких частей (разбиение выражения на части). В процессе вычисления значений составных выражений, учащиеся пользуются рабочими правилами.
1. Если выражение содержит скобки, то его разбивают на части так, чтобы одна часть с другой были соединены действиями первой ступени (знаками «плюс» и «минус»), не заключенными в скобки, находят значение каждой части, а затем действия первой ступени выполняют по порядку – слева направо.
2. Если в выражении нет действий первой ступени, не заключенных в скобки, но есть действия умножения и деления, не заключенные в скобки, то выражение разбивают на части, ориентируясь на эти знаки.
Эти правила позволяют производить вычисление значений выражений, содержащих большое число арифметических действий.
Рассмотрим пример.
3 · 40 – 20 · (60 – 55) + 81: (36: 4)
Знаками плюс и минус, не заключенными в скобки, разобьем выражение на части: от начала до первого знака (минус), не заключенного в скобки, затем от этого знака до следующего (плюс) и от знака плюс до конца.
Получилось три части:
1 часть – 3 ∙ 40;
2 часть – 20 · (60 – 55);
и 3 часть – 81: (36: 4).
Находим значение каждой части:
| 1) 3 · 40 = 120 4) 120 –100 = 20 | 2) 60 – 55 = 5 20 · 5 = 100 20 + 9 = 29 | 3) 36: 4 = 9 81: 9 = 9 |
Ответ: значение выражения 29.
Вторая технология позволяет давать детям выражения, содержащие много действий. Опыт показывает, что данная технология легко усваивается детьми, и они с удовольствием выполняют вычислительные упражнения с множеством действий. Более того такие задания можно использовать для организации коллективной работы в группах. Дети разбивают большое выражение на части, распределяют части между членами группы и каждый вычисляет свою часть. Затем, координатор в группе собирает ответы отдельных частей, выполняет заключительные действия и представляет окончательный результат вычисления значения выражения. В этом случае конечный результат зависит от результатов, которые получены каждым членом группы, т.е. работа носит истинно коллективный характер.
Ознакомление с преобразованием выражений.