Теорема. Всякая замкнутая многогранная поверхность, не имеющая самопересечений, ограничивает в трехмерном пространстве некоторое тело конечного объема. Гипотеза кузнечных мехов состоит в том, что если мы имеем дело с изгибаемой замкнутой многогранной поверхностью, то объем этого тела остается постоянным в процессе изгибания.
|
Что касается объёмов изгибаемых многогранников из первых двух примеров, то постоянство их объёма тоже можно доказать, или применяя указанный выше факт о равенстве нулю обобщённого объёма любого октаэдра Брикара или проводя довольно длинные вычисления.
Факт неизменности объёма в построенных примерах изгибаемых многогранников естественно привёл к вопросу о справедливости этого свойства для любого изгибаемого многогранника. Коннелли назвал предположение о постоянстве объёма изгибаемого многогранника в ходе его изгибания «гипотезой кузнечных мехов». Происхождение этого термина очень простое. Вспомним из физики закон Бойля—Мариотта, который утверждает, что в газах произведение давления на объём постоянно, т. е. pV = const, где p — давление, V — объём газа. Следовательно, если V= const, то и p = const, поэтому гипотезу кузнечных мехов по другому можно переформулировать так: математически идеальные кузнечные мехи нельзя сделать в виде изгибаемого многогранника с отверстием на грани, так как из таких мехов воздух дуть не будет. Эта гипотеза была сформулирована в 1977—78 гг. рядом авторов. Попытки её опровержения путём построения контрпримеров не привели к успеху, наоборот, все новые примеры изгибаемых многогранников, которые удалось построить, только подтвердили факт неизменности объёма. Теперь ясно, что её и нельзя было опровергнуть. На самом деле, основная теорема об объёме многогранника говорит, что для множества многогранников с данным комбинаторным строением и данным набором длин рёбер существует лишь конечное число возможных значений объёма — все они должны быть среди корней полиномиального уравнения, которых, по известной теореме алгебры, не больше, чем степень полинома. А так как при изгибании происходит непрерывная деформация многогранника, то и объём должен быть непрерывной функцией параметра деформации. А непрерывная функция, которая может принимать только конечное число значений, обязана быть постоянной! Как видим, гипотеза кузнечных мехов, около 20 лет считавшаяся одной из самых красивых и трудных задач метрической теории многогранников, оказалась простым следствием основной теоремы, являющейся обобщением формулы Герона на объёмы многогранников.
Только представьте себе: многогранная поверхность Штеффена будет изгибаться, даже если, сделав ее герметичной, вы заполните ее несжимаемой жидкостью! Из гипотезы кузнечных мехов, в частности, следует, что мехи аккордеона или баяна, заставляют эти инструменты звучать за счет хотя и малых, но все же реальных растяжений и сжатий материала мехов.
Возникает естественный вопрос: имеются ли другие количественные характеристики многогранной поверхности, которые сохраняются в процессе изгибания? Тривиальный пример такой количественной характеристики — площадь поверхности. Значительно менее тривиальный пример строится так. Внутренним двугранным углом при данном ребре замкнутой многогранной поверхности назовем величину двугранного угла при этом ребре, измеренную со стороны тела конечного объема, ограниченного данной поверхностью. Умножим длину ребра многогранной поверхности на величину внутреннего двугранного угла при нем и просуммируем результат по всем ребрам данной замкнутой многогранной поверхности. Полученное число называется средней кривизной многогранной поверхности.
В 1985 году американский математик Р. Александер установил, что любая замкнутая изгибаемая многогранная поверхность сохраняет свою среднюю кривизну в процессе изгибания.
Однако, теорема кузнечных мехов до сих пор не доказана для многогранников в многомерных пространствах. Это удивительно, так как в многомерных пространствах изгибаемость многогранников и вообще поверхностей существенно более редкое явление чем в трёхмерном пространстве.
ПРИМЕНЕНИЕ
Следует признать, что масштабные проникновения фундаментальных математических идей в индустрию и технологию — явления довольно редкие. Так что при изложении этого предмета лучше заранее настроиться на здоровый пессимизм. Вместе с тем ясно, что не следует делать категорических выводов о прекращении фундаментальных исследований в каком-то направлении на том основании, что первооткрыватель не смог в течение года (или десяти) найти ему общепонятное применение. Применение может быть найдено совсем другими людьми и совсем в другое время.
Чтобы убедиться в справедливости сказанного, вспомним, например, историю открытия электромагнитных волн. Их существование было предсказано М. Фарадеем в 1832 году. Дж. Максвелл в 1865 году теоретически показал, что электромагнитные колебания не остаются локализованными в пространстве, а распространяются в вакууме со скоростью света во все стороны от источника. В 1888 году максвелловская теория получила подтверждение в опытах Г. Герца. 7 мая 1895 года А.С. Попов на заседании физического отделения Русского физико-химического общества сделал научный доклад об изобретенной им системе связи без проводов и продемонстрировал ее работу. В начале 1900 года приборы А.С. Попова были применены для связи во время работ по ликвидации аварий броненосца "Генерал-адмирал Апраксин" у острова Гогланд и при спасении рыбаков, унесенных на льдине в море. При этом дальность связи достигла 45км. История открытия и использования радиоволн продолжается и сейчас, вбирая в себя достижения сотен тысяч инженеров и исследователей (вспомните, хотя бы навязчивое "все живое тянется к био"). Мог ли все это предвидеть Фарадей в 1842 или 1852 году?
Теперь мы можем сознаться, что сегодня неизвестно по-настоящему нетривиальных применений замкнутых изгибаемых многогранных поверхностей. Почти тривиальным является наблюдение, что конструкция панельного дома имеет много общего с многогранной поверхностью. Причем на практике желательно сделать эту конструкцию как можно менее изгибаемой. Однако архитекторы и инженеры-строители решали и решают эту задачу своими методами без обращения к новейшим изысканиям геометров.
Попытка менее очевидного приложения возникла в стереохимии — науке о пространственном строении молекул. Речь пойдет о циклических молекулах, состоящих из шести атомов. Типичными примерами могут служить молекулы бензола или циклогексана. Бензольное кольцо, в котором, как известно, чередуются атомы водорода и углерода, обычно изображают так, как показано на рис. 15. Экспериментально установлено, что в молекулах бензола не только расстояния между атомами, но и углы между связями, выходящими из одного атома, всегда имеют одно и то же численное значение. Поэтому в качестве модели бензольного кольца можно принять пространственный шестиугольник, дополненный его короткими диагоналями (то есть диагоналями, соединяющими вершины, идущие через одну). Схематически эта модель изображена на рис. 14 в виде плоской фигуры, где буквами α, β и γ обозначены длины соответствующих отрезков. В этой модели следует считать все участвующие в ней отрезки идеально жесткими стержнями, шарнирно соединенными между собой в вершинах шестиугольника. Наша модель имеет 6 вершин, 12 отрезков-стержней и 8 треугольников, ограниченных отрезками-стержнями — ровно столько же, сколько вершин, ребер и граней имеет октаэдр. Заменив мысленно каждый из восьми треугольников, ограниченных отрезками-стержнями, плоским треугольником, получим, что наша модель бензольного кольца превратилась в октаэдр, грани которого имеют заранее предписанные размеры, а двугранные углы произвольны. (Схематически такой октаэдр изображен на рис. 14.) Поскольку грани достроены лишь мысленно, то ясно, что невыпуклость октаэдра или наличие самопересечений не влияют на наши рассуждения.
Теперь мы подошли к самой сути: существует ли циклическая молекула, состоящая из шести атомов, такая, что соответствующий ей октаэдр является изгибаемым? Если бы такая молекула существовала, то она тоже должна была бы допускать непрерывные изменения своей пространственной формы. Естественно ожидать, что при таком изменении формы молекулы менялись бы физические и химические свойства вещества, например объем или коэффициент преломления. Это было бы уже что-то новое в гидравлике или оптике. Вот бы научиться управлять такими изменениями... Но здесь мы вынуждены прервать полет фантазии и сообщить, что подобного рода молекулы, непрерывно (то есть без скачков) изменяющие свою форму в пространстве, пока не обнаружены.
Заканчивая обсуждение приложений, укажем, что задачи о необычной (то есть интуитивно неочевидной) подвижности многогранных поверхностей или стержневых систем периодически возникают в разных разделах науки и техники. Достаточно напомнить, что шарнирные механизмы изучались П.Л.Чебышевым более 100 лет назад, а перспективным источником новых вопросов представляется теория фуллеренов — недавно открытой третьей стабильной формы углерода.
ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ
В 1897 году Р. Брикар описал все изгибаемые октаэдры. Из теоремы Коши вытекает, что ни один из них не может быть выпуклым. Согласно установившейся традиции, изгибаемые октаэдры, называемые также октаэдрами Брикара, классифицируют относя каждый из них к одному из трех типов. Нам потребуется октаэдр Брикара лишь одного типа. Его построение будем объяснять в виде рекомендаций по склеиванию модели из картона.
Рис.16 рис.17
Нарисуем на картоне фигуру, изображенную на рис. 16 и состоящую из шести треугольников. Буквы a, b, c и d обозначают длины соответствующих сторон. Хорошо подходят значения a = 12, b = 10, c =5 и d = 11. Вырежем нарисованную фигуру по сплошным линиям и согнем по штриховым. Два левых треугольника, имеющие стороны длины c отогнем из плоскости рисунка на себя и склеим между собой вдоль стороны длины c. Два правых треугольника со сторонами длины c отогнем из плоскости рисунка от себя и приклеим их друг к другу вдоль стороны длины c. В результате получится невыпуклая незамкнутая многогранная поверхность P, изображенная на рис. 17. Сплошными линиями на нем изображены видимые ребра многогранной поверхности P, штриховыми — ребра, заслоненные гранями поверхности P. Ребра AE, ED, DF и AF составляют границу P, к каждому из них прилегает лишь одна грань поверхности P.
Также можно легко сконструировать реберную модель октаэдра Брикара из тонких пластиковых трубочек для питья, нанизав их соответствующим образом на нитки