Свойства неопределенного интеграла.

Разложение по формуле Маклорена основных элементарных функций.

1)

(30)Достаточные условия сущ. экстремума. 1) существует в точке , и равна 0 называется стационарной. Экстремумы функции возможны где производная существует и равна нулю

(т. Ферма), а также формы где не существует причем всегда внутренняя точка. 2) , т.е. при переходе через точку слева направо производная меняет знак с - на + тогда имеет локальный минимум 3) Если на всей окрестности, то есть при переходе через точку , производная не меняет знак, то в точке экстремума нет.

(31)Выпуклость ф- и, точки перегиба: определения и геометрический смысл. 1) Точка - точка перегиба кривой , если при переходе x через точку кривой переходит с одной стороны наклонной на другую. 2) Функция непрерывна на некотором промежутке (a,b) называется выпуклой книзу(кверху), если для любых точек выполняется неравенство для . Для любых и таких, что их сумма равна 1 3)Точка - точка перегиба кривой, если она отделяет участок на котором функция выпукла книзу(кверху) от участка где она выпукла кверху(книзу).

(32)Асимптоты графика функции. 1) Прямая x=a называется асимптотой графика функции если хотя бы один из пределов
2) Пусть определена для любых , тогда называется наклонной асимптотой графика функции при , если представляется в виде где при .

(33)Схема исследования функции.
1)Найти область определения и область значений
2)Приравнять и найти т. Пересечения с Ox
3)Исследовать на четность, нечетность, периодичность.
4)Исследовать на границах области определения
5)Исследовать на непрерывность, найти точки разрыва, пределы слева и справа и определить классификацию точек разрыва.

6)Найти производную , найти стационарные точки и точки где производная не существует. Найти точки экстремума и локальные экстремумы и указать промежутки монотонности.

7) . Определить промежутки выпуклости вверх, вниз и точки перегиба.
8)Найти асимптоты.

(34) Неопред. инт. опред. и св-ва.

Определение. Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от f(x) и обозначается . f(x) называется подынтегральной функцией, а f(x)dx - подынтегральным выражением. Таким образом, окончательно .

.

Свойства неопределенного интеграла.

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

(35) Таблица интегралов

(36) Интегрирование по частям

(38)Определённый интеграл. Пусть f(x) определена на [a;b]. Разобьём [a;b] на части с несколькими произвольными точками Тогда говорят, что произведено разбиение R отрезка [a;b]. Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b] назыв. предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю

Если существует указанный предел, то функция f(x) называется интегрируемой на [a;b].

Св-ва:

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. , где х, t – любые буквы.

II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.

III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

VI. Определенной интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

(39) Теорема о среднем

Пусть f(x) непрерывна на [a;b] тогда сущ. такая что

(40) Геом. приложения опред. интеграла(S,V, l)

; ;