Показания амперметров соответствуют значениям токов, полученных расчетным путем.




Краткое изложение теории

Теоретические основы электротехники

Для расчета электрических цепей, т.е. для нахождения токов, напряжений и мощностей каждого элемента схемы, существует несколько методов:

Метод эквивалентных сопротивлений;

Метод наложения;

Метод узловых и контурных уравнений;

Метод эквивалентного генератора;

Метод контурных токов.

Каждый метод имеет свои преимущества и недостатки. Метод контурных токов примечателен тем, что при его использовании количество решаемых уравнений является минимальным, поэтому минимальным является и объем выполняемых расчетов. Кроме того этот метод является достаточно прост для понимания.

Сущность метода заключается в том, что в расчетной схеме выделяется определенное количество замкнутых независимых контуров. Под независимым контуром понимается такой контур, который содержит хотя бы один элемент схемы, не входящий в другие контуры. Для каждого контура произвольно проставляется направление контурного тока и его обозначение. Под контурным током понимается некоторая расчетная величина тока, одинаковая для всех участков данного контура. Для каждого контура составляется уравнение по второму закону Кирхгофа, причем для элементов, которые обтекаются двумя и более контурными токами, учитывается падение напряжения от каждого контурного тока с учетом его направления.

Второй закон Кирхгофа для замкнутого контура гласит: Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме падения напряжения на каждом элементе контура.

где n количество источников ЭДС в контуре, m количество элементов (сопротивлений) в контуре.

В результате получается система, содержащая столько уравнений, сколько контуров выделено в расчетной схеме, т.е. количество уравнений должно быть равно количеству контурных токов. Поскольку выделенные контуры были независимы, то полученные уравнения также независимы, т.е. система уравнений имеет решение. Решая систему уравнений, находят значения контурных токов. Истинное значение тока в каждом элементе схемы определяется как алгебраическая сумма токов, протекающих по данному элементу.

Первый закон Кирхгофа выражает баланс токов в узлах электрических цепей. Он гласит: алгебраическая сумма токов любого узла электрической цепи равна нулю.

В этом уравнении токи, направленные к узлу, берутся со знаком (+), токи, направленные от узла, берутся со знаком (-). Иная формулировка первого закона Кирхгофа: сумма токов, направленных к узлу электрической цепи, равна сумму токов, направленных от этого узла.

В настоящей практической работе первый закон Кирхгофа применяется для проверки правильности нахождения значений токов в элементах схемы.

 

Математика

Для решения системы уравнений существует несколько методов, основными из которых являются:

метод подстановки;

метод определителей;

решение системы уравнений с применением компьютерного редактора MathCAD.

Метод подстановки является весьма громоздким, поскольку связан с многочисленными преобразованиями уравнений, в ходе которых вероятны ошибки.

Метод определителей является предпочтительным, особенно для системы с тремя и более уравнениями. При использовании метода определителей решаемую систему уравнений необходимо записать в каноническом виде, т.е.:

a11 ·x + a12 ·y + a13 ·z = b1

a21 ·x + a22 ·y + a23 ·z = b2 (5)

a31 ·x + a32 ·y + a33 ·z = b3,

где x, y, z - искомые неизвестные, b - свободные члены, a - коэффициенты при неизвестных; первый индекс коэффициента означает номер строки (уравнения), второй индекс – номер неизвестного (столбца). Каждый столбец должен содержать элементы с одним и тем же неизвестным, т.е. для системы уравнений (5) с неизвестными x, y или z. Если в каком либо уравнении отсутствует элемент с одним из неизвестных, то его необходимо записать с коэффициентом 0. Индекс свободного члена b должен соответствовать номеру уравнения. Подобная система уравнений может быть записана в матричном виде:

∆·x = ∆x;

∆·y = ∆y; (6)

∆·z = ∆z.

где x, y, z - искомые неизвестные, - определитель системы уравнений, x, ∆y, ∆z - определители (детерминанты) соответствующих неизвестных

Определителем (детерминантом) называется число ∆, записанное в виде квадратной таблички из коэффициентов при неизвестных, записанных в порядке, соответствующем их расположению в исходной системе уравнений:

Значения коэффициентов заносятся в определитель с теми знаками, которые они имеют в конкретной системе уравнений.

Определители (детерминанты) соответствующих неизвестных ∆x, ∆y, ∆z - получаются путем замены в определителе системы столбца соответствующего неизвестного на определитель свободных членов, который имеет вид:

 

Например, определитель ∆x имеет вид:

Аналогично составляются определители неизвестных∆y, ∆z.

Рассмотренные определители ∆, ∆x, ∆y, ∆z в соответствии с количеством неизвестных (количеством уравнений) являются определителями третьего порядка, вычисление которых имеет некоторые сложности. Их можно избежать, применяя определители второго порядка.

Например, определитель ∆ можно представить в виде:

В этом выражении каждый коэффициент первой строки умножается на определитель второго порядка, который получается исключением из исходного определителя строки и столбца, в которых расположен этот коэффициент.

Например, коэффициент a11 умножается на определитель, оставшийся после исключения первой строки и первого столбца из исходного определителя.

В прямоугольники заключены строки и столбцы, которые необходимо исключить для получения соответствующего определителя второго порядка

Остается определитель

Определитель второго порядка для коэффициента a12 получается путем исключения следующих элементов:

Аналогично составляется определитель для коэффициента a13.

Значение определителя второго порядка находится как сумма произведений из двух коэффициентов при неизвестных начиная с коэффициента первого ряда первого столбца по диагонали, отмеченной зеленой пунктирной линией (оно берутся со знаком плюс), и из коэффициентов при неизвестных начиная с коэффициента первого ряда второго столбца по диагонали, отмеченной красной сплошной линией (оно берутся со знаком минус).

Например:

С учетом изложенного определитель ∆ вычисляется по формуле:

Аналогично вычисляются определители ∆x, ∆y, ∆z.

Значения неизвестных системы уравнений определяются из системы уравнений (6):

Информатика

Решение системы линейных уравнений является частью многих математических расчетов, например, в задачах оптимизации. В этой работе мы рассмотрим, как решать системуиз трех линейных уравнений.

В Mathcad СЛАУ можно решить как в более удобной для записи, так и в более наглядной форме. Для первого способа следует использовать встроенную функцию Isolve или матричный способ, а для второго — вычислительный Given/Find.

6.3.1 Решение системы линейных уравнений матричным способом:

Этот способ решения системы линейных уравнений вытекает из свойств матриц.

Систему линейных уравнений, у которой коэффициенты при неизвестных составляют квадратную матрицу А, а свободные члены составляют матрицу В можно записать в виде матричного уравнения А*Х=В, где Х есть матрица-столбец неизвестных. Столбец неизвестных находится из матричного уравнения умножением его частей слева на обратную матрицу А-1 которая существует, если только определитель матрицы системы |А| отличен от нуля. В результате получим Х=А-1*В,(так как А-1*А*Х=Е*Х=Х, где Е - единичная матрица). Этот метод решения системы линейных уравнений называют матричным методом. Проверка решения заключается в подстановке найденного решения в матричное уравнение, которое при этом должно обратиться в верное равенство.

Обратная матрица. Матрица А-1 называется обратной к матрице А, если А*А-1-1*А=Е, где Е — единичная матрица (матрица, у которой элементы главной диагонали равны 1, а все остальные — 0). Матрица имеет обратную только в том случае, если она квадратная (число строк равно числу столбцов) и ее определитель (см. пункт II) не равен 0. Для ввода оператора поиска обратной матрицы, нажмите кнопку Инверсия на панели инструментов Матрица (Рис. 1) или на клавиатуре кнопку <^>.

Рисунок 1 Кнопка для поиска обратной матрицы Результат поиска обратной матрицы

Если прямую матрицу умножить на обратную, то в результате получим единичную матрицу, т.е. матрицу, у которой элементы главной диагонали - единицы, а все остальные элементы - нули. проверим это:

6.3.2 Решение системы линейных уравнений с помощью встроенной функции l so l ve:

Решение систем линейных уравнений довольно распространенная задача, поэтому в Mathcad, начиная с шестой версии введена встроенная функция lsolve(A,B), которая возвращает вектор X для системы линейных уравнений A*X=B при заданной матрице коэффициентов A и векторе свободных членов B. Если уравнений n, размер вектора B должен быть n, а матрицы A – nxn.

В функции isolve запрограммирован численный метод LU -разложения, основанный на алгоритме последовательных исключений Гаусса.

6.3.3 Решение системы линейных уравнений с помощью вычислительного блока Given/Find:

Конструкция Given - Find использует расчетную методику, основанную на поиске корня вблизи точки начального приближения, заданной пользователем. При данном методе уравнения вводятся без использования матриц, т.е. в «натуральном виде». Предварительно необходимо указать начальные приближения неизвестных переменных. Это могут быть любые числа, входящие в область определения.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: