Проверка качества псевдослучайных последовательностей чисел
Поскольку при использовании детерминированных алгоритмов получаемая последовательность чисел является псевдослучайной, возникает вопрос: насколько они близки по своему поведению к случайным? Для ответа на него предложено великое множество самых разнообразных тестов - методов статистических испытаний. Сущность каждого теста заключается в сравнении различных числовых характеристик, вычисленных на основе последовательности случайных чисел от ДСЧ, и соответствующих характеристик, рассчитанных для теоретической последовательности случайных величин, равномерно распределенных в интервале [0,1]. Среди наиболее часто используемых тестов можно отметить следующие:
1. Частотные тесты. Для сравнения близости распределения полученного набора чисел от ДСЧ к равномерному распределению используют либо критерий хи-квадрат, либо критерий Колмогорова-Смирнова.
В этом случае весь диапазон чисел [0,1] разбивается на интервалы. Тогда для случайной величины U, равномерно распределенной в этом интервале, вероятность попадания в каждый из k интервалов равна 1/к, а частота 
= N/k, где N - число опытов.
Проверка состоит в следующем. При помощи ДСЧ вырабатывается достаточно большое количество случайных чисел. Подсчитывается ожидаемая частота попадания в каждый из к интервалов - , а также наблюдаемая частота 
. Статистика хи-квадрат определяется выражением
.
Если 
, то наблюдаемые и теоретически предсказанные значения частот точно совпадают. Если 
, то расчетные значения сравниваются с табличными значениями 
. Значения табулированы для различных чисел степеней свободы 
, где к - число интервалов, m - число параметров распределения, определяемых из опыта; и уровней доверительной вероятности 
. Если расчетная величина 
оказывается больше табличной, то между наблюдаемым и теоретическим распределением имеется значительное расхождение.
2. Интервальный тест. В этом тесте производится подсчет знаков, появляющихся между повторами каких-либо цифр. Результаты сравнения с теоретически ожидаемыми с помощью критерия хи-квадрат.
3. Спектральный тест. На основе применения анализа Фурье измеряется статистическая независимость соседних групп чисел. Характеризуется как наиболее чувствительный тест.
Следует заметить, что при любом конечном наборе критериев, последовательность, которая пройдет все статистические испытания, может оказаться все же совершенно неприемлемой для некоторых приложений. Поэтому на практике лучше подобрать генератор, пользуясь простыми тестами.
Критерии проверки статистических гипотез
Применение метода Монте-Карло может дать существенный эффект при моделировании развития процессов, натурное наблюдение которых нежелательно или невозможно, а другие математические методы применительно к этим процессам либо не разработаны, либо неприемлемы из-за многочисленных оговорок и допущений, которые могут привести к серьезным погрешностям или неправильным выводам. В связи с этим необходимо не только наблюдать развитие процесса в нежелательных направлениях, но и оценивать гипотезы о параметрах нежелательных ситуаций, к которым приведет такое развитие, в том числе и параметрах рисков.
Сущертвуют различные методы проверки статистических гипотез.
Наиболее широко используются на практике критерии:
• согласия х2 (хи-квадрат);
• Крамера-фон Мизеса;
• Колмогорова-Смирнова,
Критерий х2 предпочтителен, если объемы выборок N, в отношении которых проводится анализ, велики. Это мощное средство, если N> 100 значений. Однако при анализе экономических ситуаций иногда бывает довольно трудно (или невозможно) найти 100 одинаковых процессов, развивающихся с различными исходными данными.
Сложность заключается не только в том, что не бывает одинаковых объектов экономики: даже если такие объекты имеются, то к исходным данным относятся не только исходные вероятностные данные и особенности структуры объекта, но и сценарий развития процессов в этом объекте и в тех объектах внешней среды, с которыми он взаимодействует (процессы рынка, указы правительства, принятие новых законов, требования налоговых органов, платежи в бюджеты различных уровней). При относительно малых объемах
выборок этот критерий вообще неприменим.
Критерий Крамера-фон Мизеса дает хорошие результаты при малых объемах выборок (при N< 10). Однако следует отметить два обстоятельства:
1) при N < 10, каким бы методом ни пользоваться, вопрос о доверительной вероятности при проверке статистической гипотезы решается плохо (эта вероятность мала при значительных размерах доверительных интервалов);
2) метод Монте-Карло используется как раз для того, чтобы недостающие данные собрать с помощью специального вычислительного статистического инструментария и компьютера.
Поэтому будем полагать, что реальные объемы выборок, которые можно получить, находятся в пределах 10<N<100. Как указывают многие исследователи, для указанных пределов хорошие результаты дает критерий Колмогорова-Смирнова. Он применяется в тех случаях, когда проверяемое распределение непрерывно и известны среднее значение и дисперсия проверяемой совокупности.
Рассмотрим подробнее методику использования этого критерия на конкретном примере.
Пример 1. Предположим, что нужно проверить данные, полученные (или наблюдаемые) при использовании метода Монте-Карло и приведенные в табл. 1.1, на их соответствие распределению Пуассона.
Таблица 1.1