Задание.
При проведении серии опытов по определению силы резания получены результаты, представленные в таблице 1 при различных значениях глубины резания.
По результатам эксперимента выполнить следующее:
1. Нанести экспериментальные точки на координатную сетку хоу; причем x=lgt, x=lgV, x=lgS, y=lgP.
2. Определить коэффициенты А0 и А1 аппроксимирующей функции y = A0+A1x.
3. Используя полученные коэффициенты рассчитать силу резания.
4. Построить график аппроксимирующей функции.
Таблица 1
| t, мм | ||||
| Р, Н |
Аппроксимация экспериментальных данных. Задача аппроксимации.
Аппроксимация означает замену одних математических объектов другими, более простыми и в том или ином смысле близкими и сходными.
Аппроксимация линейных функций по критерию наименьших квадратов.
Будем полагать, что линейная функция имеет вид:
y = A0+A1x, (1)
где А0, А1 – некоторые коэффициенты, определяемые серией опытов.
Пусть в результате эксперимента мы получили ряд величин:
у1, у2,…,уn – соответствующих значению фактора х1, х2,…,хn, которые графически могут быть представлены в виде точки на координатной прямой (рис.1).
Рисунок 1. Экспериментальные точки
Задача состоит в том, чтобы по данным экспериментов провести прямую, которая проходила бы как можно ближе к истинной зависимости у=f(х), то есть необходимо построить аппроксимирующую прямую.
В теории вероятности доказывается, что наилучшее приближение дает метод наименьших квадратов. В основе которого лежит требование: экспериментальные точки у i должны располагаться от аппроксимирующей прямой по обе стороны, но как можно ближе к последней. Это обеспечивается если суммы квадратов отклонений измеренных значений yi от функции y=f(x) будет минимальной.
В нашем случае выражение (2) приобретает вид:
Выражение (3) можно рассматривать как функцию двух неизвестных параметров А0 и А1: f(А0,А1).
Функция принимает минимальное значение, если ее первые частные производной по искомым параметрам равны нулю, а вторые частные производной положительны.
Составляем систему уравнений из которых можно определить А0 и А1.
(4)
Систему (4) приведем к виду:
(5)
Система нормальных уравнений (5).
Многочисленными исследованиями установили зависимость силы резания от параметров резания (S, V, t).
Зависимость степенной функции Р=Сzк
где Р – сила резания;
z – параметр резания: либо t, либо S, либо V;
с, к – постоянные, требующие определения.
Уравнения приведем к линейному уравнению с помощью логарифмирования:
lnP= lnC+Klogz
Обозначим lnP=у, lnC=А0, K=А1, logz=х.
Сводим к виду у=А0+А1х.
Решение:
Найдем значения xi, уi, xi2, xi ·уi и занесем их в таблицу 2.
Таблица 2
| t, мм | |||||
| lgt=xi | 0.3 | 0.48 | 0.60 | ∑xi=1.38 | |
| Рэксп, Н | |||||
| lgРэксп=уi | 2.28 | 2.26 | 2.32 | 2.51 | ∑уi=9.37 |
| xi2 | 0.09 | 0.23 | 0.36 | ∑xi2=0.68 | |
| xi ·уi | 0.68 | 1.11 | 1.51 | ∑xi ·уi=3.3 |
Для нахождения А0 и А1 решим систему уравнений (5), подставив значения из таблицы 2:
4А0+1.38А1=9.37
1.38А0=0.68А1=3.3
12.39-1.91А1+2.72А1=13.2
0.81 
=0.27
А1=0.33
А1=0.33
А0=2.23
А1=0.33
Уравнение аппроксимирующей прямой принимает вид: у=2.23+0.33х
На координатной сетке поставим точки А(0; 2.28), В(0.3; 2.26), С(0.48; 2.32), D(0.6; 2.51). Проведем аппроксимирующую прямую у=2.23+0.33х по точкам с координатами (0.2; 2.329) и (0.5; 2.395). Проведем прямые вдоль оси ординат из точек А, В, С и D до аппроксимирующей прямой. Из полученных точек проведем прямые вдоль оси абсцисс до оси у и найдем их численное значение. Находим антилогарифмы полученных значений и заносим их в таблицу 3.
Таблица 3
| Ррасч, Н | Рэксп, Н |
| 169.82 | |
| 213.3 | |
| 239.33 | |
| 267.92 |