Лабораторная работа 5
Решение нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений
Теоретические положения.
Нелинейное алгебраическое уравнение с одной переменной в общем случае может быть записано в виде
f (x) = 0, (1)
где функция f (x) определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале a < x < b.
Всякое значение x Î [ a, b ], обращающее функцию f(x) в нуль, т.е. когда f (x) = 0, называется корнем уравнения (1) или нулем функции f (x). Число xназывается корнем k-й кратности, если при x =x вместе с функцией f (x) равны нулю и ее производные до порядка (k - 1) включительно:
f (x) = f' (x) =... = f (л - 1)(x) = 0.
Однократный корень называется простым.
Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если множества их решений совпадают.
Нелинейные уравнения с одной переменной подразделяются на алгебраические (рациональные, дробно-рациональные, иррациональные), когда функция f (x) в формуле (1) является алгебраической, и трансцендентные (тригонометрические, показательные, логарифмические и гиперболические) в противном случае. Большинство алгебраических и трансцендентных нелинейных уравнений вида (1) аналитически (т.е. точно) не решается.
Систему, в которую входят уравнения, являющиеся нелинейными относительно неизвестного вектора 
, называют системой нелинейных уравнений, и ее можно записать в векторной форме
где 
.
Решение уравнения f(x)=0 и системы уравнений F(x)=0 состоит из двух этапов:
1) Отделение корней, то есть отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен ровно один корень уравнения или системы уравнений. Можно утверждать, что если F (х) имеет корни, то существует -окрестность, содержащая только один простой корень. Такой корень иногда называют изолированным.
2) Вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью.
В дальнейшем, при описании методов будем полагать, что корни уже отделены.
Метод дихотомии решения нелинейного уравнения
Решить уравнение 
, 
.
Метод простой итерации для нелинейного уравнения
Решить уравнение 
, ,
где 
.
Метод Ньютона для нелинейного уравнения
Решить уравнение 
, .
Метод секущих для нелинейного уравнения
Решить уравнение , .
Метод хорд для нелинейного уравнения
Решить уравнение , .
Упрощенный метод Ньютона для нелинейного уравнения
Решить уравнение 
, 
.
М етод Ньютона решения системы нелинейных уравнений
Решить систему n нелинейных уравнений с n неизвестными вида
Считаем, что матрица Якоби 
вычислима:
.
Модифицированный метод Ньютона
Решения системы нелинейных уравнений
Решить систему n нелинейных уравнений с n неизвестными вида
Считаем известной матрицу Якоби 
:
.
Схема Горнера
Найти значение полинома 
в точке 
.
Выполнить и оформить в виде отчета следующее задание:
1. Реализовать в виде отдельной процедуры один из следующих методов (в соответствии с номером варианта):
1. Метод дихотомии
2. Метод простой итерации для нелинейных уравнений
3. Метод Ньютона для нелинейных уравнений
4. Метод секущих для нелинейных уравнений
5. Метод хорд для нелинейных уравнений
6. Упрощенный метод Ньютона для нелинейных уравнений
2. В процессе решения необходимо выводить последовательные приближения независимой переменной 
в следующем виде:
| Итерация k | Значения независимой переменной  на k -том шаге
| Значение 
или
|
3. Проверить полученный результат, решив исходную задачу другим методом из указанного выше списка. Результат вывести в аналогичной таблице.
4. Сравнить количество итераций, необходимых для достижения заданной точности решения e.
Значение e для всех вариантов равно 0,001.
Варианты:
Решить следующее нелинейное уравнение
на интервале 
, где w – номер варианта. В качестве начального приближения следует использовать 
(кроме метода дихотомии).