Производная
Задачи, приводящие к понятию производной. Производная, ее геометрический, механический и экономический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой; Дифференцируемость функции. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (необходимый признак дифференцируемости). Основные правила и основные формулы дифференцирования. Производная сложной функции Производные высших порядков. (1, гл. 7, § 7.1 – 7.7, с. 176 – 205); (2, гл. 7).
Необходимо изучить задачи, приводящие к понятию производной: задачи о касательной и задачи о скорости движения (1, с.176, 177), задачи о производительности труда (экономический смысл производной).
После этого нужно усвоить определение производной как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю. Нужно знать обозначение производной, алгоритм ее вычисления, основываясь на теории пределов.
Студент обязан понимать геометрический и механический смысл производной (1,с.178, 181), уметь решать простейшие задачи по вычислению производной на основе алгоритма ее вычисления; знать и уметь применять основные правила дифференцирования, вычислять производную сложной и обратной функций. При этом нужно знать четко правила вычисления элементарных функций (1,с. 188,193), знать наизусть таблицу производных (1, с.192). Это позволит усвоить дифференцирование сложных функций, обратных функций, неявно заданных функций (1, с.193), находить производные от произведения, суммы, разности, а также вычислять производные высших порядков. Нужно знать использование понятия производной в экономике, понятие эластичности функции, свойства эластичности функции.
Изучая материал этой темы, студенты знакомятся с необходимым условием дифференцируемости функции. Необходимо четко уяснить, что из дифференцируемости функции в некоторой точке следует ее непрерывность в этой точке. Обратная теорема несправедлива, так как существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках могут не иметь производной (1, с. 179, 180).
Рекомендуется разобрать задачи с решениями N 7.1–7.8, 7.10, 7.13, 1.15–7.17 и задачи для самостоятельной работы N 7.20–7.29, 7.35, 7 42, 7.43, 7.46–7. 49 по учебнику (1) и аналогичные задачи по практикуму (2).
Для усвоения темы нужно решить задачи контрольной работы, ответить письменно на теоретические вопросы в контрольной работе.
Приложения производной
Правило Лопиталя ('без вывода), Теорема Ролля и Лагранжа (с нестрогими геометрическими доказательствами). Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимые и достаточные признаки экстремума (второй достаточный признак – без доказательства). Исследование функции (область определения, четность и нечетность, интервалы монотонности и точки экстремума, поведение функции при х ®±¥ и в точках разрыва, горизонтальные и вертикальные асимптоты, точки пересечения графика с осями координат) и построние ее графика. Квадратичная функция у = ax2+bx+c и ее график. Дробно-линейная функция у = 
и ее график. (1,гл. 8, § 8.1 – 8.5, 8.7 – 8.9; с. 205–21, 225–236); (2, гл. 8).
Нужно уяснить, что правило Лопиталя является эффективным средством вычисления пределов. При этом нужно понимать, что предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций заменяется вычислением отношения их производных. Это правило можно использовать для вычисления целого ряда неопределенностей.
С помощью производных можно эффективно исследовать функции на возрастание и убывание, определять экстремумы функций (1,с.216, 217), наибольшее и наименьшее значение. Для этого необходимо знать теоремы о достаточных условиях возрастания и убывания функции, определения точек минимума и максимума, первое и второе достаточное условие экстремума, определение выпуклости и вогнутости функции (выпуклости вниз). Необходимо знать общую схему исследования функции, кроме п.6,7 (1, с.232).
В учебном пособии приведена схема исследования функции для нахождения характерных точек и особенностей, по которым можно построить ее график (1, с. 232). Выполнение пункта 6' этой схемы, связанного с нахождением интервалов выпуклости функции и точек перегиба, в программу не входит.
Рекомендуется разобрать задачи с решениями е 8.1–8.3, 8.4–8.7; 8.9, 8.11–8.15, 8.17 и задачи для самостоятельной работы N 8.19–8.31, 8.32–8.34, 8 41–8.53 по учебнику (1) и аналогичные задачи по практикуму (2), обратив особое внимание на исследование функций и построение их графиков.
Раздел 3ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИCЧИЛЕНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Неопределенный интеграл
Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла (с доказательством). Таблица основных интегралов. Интегрирование методом разложения, замены переменной и по частям. Понятие о «неберущихся» интегралах.
Студенту необходимо, прежде всего, разобраться в принципиальном вопросе: интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по ее производной. Эта задача является более сложной по сравнению с задачей дифференцирования.
òf(x)dx=F(x)+C,
f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, F(x) – первообразная функция, ò – знак интеграла, С – константа.
Следует изучить свойства неопределенного интеграла, знать табличные интегралы. Обратить внимание на свойство: дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению d(òf(x)dx)=f(x)dx, то есть операции интегрирования и дифференцирования взаимно обратны (знаки d и ò взаимно уничтожают друг друга).
Непосредственное интегрирование предполагает сведение интегралов к табличным за счет тождественных преобразований и основных правил интегрирования.
Для вычисления интегралов применяют линейную подстановку t=kx+b, а также другие подстановки:
а) переменная интегрирования х заменяется функцией переменной t: x=j(t), а dx=j¢(t)dt; òf(x)dx=òf(j(t))j¢(t)dt;
б) новая переменная t вводится как функция переменной интегрирования x: t=j(x), dt=j¢(x)dx; òf(j(x))j¢(x)dx=òf(t)dt.
Последнюю подстановку удобно применять, если подынтегральное выражение содержит дифференциал (производную) функции j(х) с точностью до постоянного множителя.
Если интеграл, полученный после замены переменной, стал «проще» данного (преобразован в табличный или приводящийся к табличному), то цель подстановки достигнута.
После интегрирования функции по переменной t необходимо вернуться к прежней переменной х, выразив t через хпо формуле, применявшейся при подстановке.
Практическое применение формулы интегрирования по частям
òu dv=uv - òv du,
если оно целесообразно, связано с проблемой правильного разбиения подынтегральноговыражения на сомножители u и dv. Отметим, что формулу интегрирования по частям, как правило, удобно применять, если подынтегральная функция является произведением многочлена на тригонометрическую, показательную или логарифмическую функцию.
Определенный интеграл
Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Формула Ньютона – Лейбница. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла методом замены переменной и по частям. Понятие о несобственных интегралах с бесконечными пределами интегрирования. Вычисление площадей плоских фигур. Приближенное вычисление определенного интеграла по формуле трапеций.
Студенту необходимо рассмотреть задачу о площади криволинейной трапеции и разобраться в том, что площадь криволинейной трапеции есть предел площади S под ломанной при неограниченном приближении ломанной к заданной кривой.
Необходимо разобраться с понятием интегральной суммы, ее геометрическим смыслом и перейти к понятию определенного интеграла
Студент должен знать, что в отличие от неопределенного интеграла, который является семейством кривых, определенный интеграл является числом и определенный интеграл вычисляется формулой Ньютона-Лейбница.
,
Благодаря этой формуле, интеграл вычисляется путем нахождения приращения первообразной для данной функции на отрезке интегрирования.
Достаточное условие интегрируемости функции на отрезке – непрерывность подынтегральной функции на этом отрезке.
Студент должен разобраться в методах интегрирования, изучив для этого свойства определенного интеграла и теорему о среднем.
Метод интегрирования по частям позволяет расширить класс интегрируемых функций за пределы табличных интегралов. При этом необходимо использовать приемы интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
Метод подстановки также расширяет класс интегрируемых функций. При этом нужно помнить, что при введении новой переменной изменяются пределы интегрирования. После их изменения можно рассчитать определенный интеграл, не возвращаясь к старой переменной.
Несобственный интеграл вычисляется как интеграл с одним или с двумя неограниченными пределами. Подынтегральная функция определена и непрерывна на одном из промежутков [a;+¥), (-¥;b], [-¥;+¥].
Если несобственный интеграл сходится, то он имеет конечный предел, если не сходится, то предел его равен бесконечности или не существует.
Для вычисления площадей плоских фигур необходимо уметь определять пределы интегрирования, если они не заданы и если площадь фигуры представляется в виде сумм или разностей криволинейных трапеций. Поэтому нужно построить кривые, ограничивающие плоские фигуры, определяют граничные условия (пределы интегрирования).