Касательная к окружности, эллипсу, гиперболе, параболе.
До этого момента мы занимались нахождением уравнений касательных к графикам однозначных функций вида y = f(x) в различных точках. Канонические уравнения кривых второго порядка не являются однозначными функциями. Но окружность, эллипс, гиперболу и параболу мы можем представить комбинацией двух однозначных функций и уже после этого составлять уравнения касательных по известной схеме.
Касательная к окружности.
Окружность с центром в точке 
и радиусом R задается равенством 
.
Запишем это равенство в виде объединения двух функций:
Здесь первая функция соответствует верхней полуокружности, вторая - нижней.
Таким образом, чтобы составить уравнение касательной к окружности в точке 
, принадлежащей верхней (или нижней) полуокружности, мы находим уравнение касательной к графику функции 
(или 
) в указанной точке.
Легко показать, что в точках окружности с координатами 
и 
касательные параллельны оси абсцисс и задаются уравнениями 
и 
соответственно (на рисунке ниже они показаны синими точками и синими прямыми), а в точках 
и 
- параллельны оси ординат и имеют уравнения 
и 
соответственно (на рисунке ниже они отмечены красными точками и красными прямыми).
Касательная к эллипсу.
Эллипс с центром в точке с полуосями a и b задается уравнением 
.
Эллипс также как и окружность можно задать объединением двух функций - верхнего и нижнего полуэллипса:
Касательные в вершинах эллипса параллельны либо оси абсцисс (на рисунке ниже изображены синими прямыми), либо оси ординат (на рисунке ниже изображены красными прямыми).
Пример.
Написать уравнения касательных к эллипсу 
в точках с абсциссами x=2.
Решение.
Найдем сначала ординаты точек касания, соответствующих абсциссам x=2. Для этого подставим значение x=2 в уравнение эллипса и решим полученное уравнение относительно y:
Таким образом, получаем две точки касания 
и 
, принадлежащие верхнему и нижнему полуэллипсу соответственно.
Найдем уравнения полуэллипсов, для этого разрешим уравнение эллипса относительно y:
То есть, верхний полуэллипс задается функцией 
, а нижний - 
.
Теперь можем действовать по стандартному алгоритму для составления уравнения касательной к графику функции в точке.
Первая касательная в точке :
Вторая касательная в точке :
Графическая иллюстрация.
Касательная к гиперболе.
Гипербола с центром в точке и вершинами 
и 
задается равенством 
(рисунок ниже слева), а с вершинами 
и 
- равенством 
(рисунок ниже справа).
В виде объединения двух функций гипербола представима как
или 
.
В вершинах гиперболы касательные параллельны оси Оу для первого случая и параллельны оси Ох для второго.
Таким образом, для нахождения уравнения касательной к гиперболе, выясняем какой функции принадлежит точка касания, и действуем обычным образом.
Возникает логичный вопрос, как определить какой из функций принадлежит точка. Для ответа на него подставляем координаты в каждое уравнение и смотрим, какое из равенств обращается в тождество. Рассмотрим это на примере.
Пример.
Составьте уравнение касательной к гиперболе 
в точке 
.
Решение.
Запишем гиперболу в виде двух функций:
Выясним к какой функции принадлежит точка касания .
Для первой функции 
, следовательно, точка не принадлежит графику этой функции.
Для второй функции 
, следовательно, точка принадлежит графику этой функции.
Находим угловой коэффициент касательной:
Таким образом, уравнение касательной имеет вид 
.
Графическая иллюстрация.
Касательная к параболе.
Для составления уравнения касательной к параболе вида 
в точке 
пользуемся стандартной схемой, и уравнение касательной записываем как 
. Касательная к графику такой параболы в вершине параллельна оси Ох.
Параболу 
сначала зададим объединением двух функций. Для этого разрешим это уравнение относительно y:
Теперь выясняем к какой из функций принадлежит точка касания и действуем по стандартной схеме.
Касательная к графику такой параболы в вершине параллельна оси Оу.
Пример.
Написать уравнение касательной к графику параболы 
, если угол наклона касательной равен 
.
Решение.
Представим параболу через две функции:
Мы знаем, что угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке 
и равен тангенсу угла наклона: 
. Из этого равенства мы можем найти абсциссу точки касания.
Для первой функции:
Полученное уравнение действительных корней не имеет, следовательно, к этой функции не существует касательной с углом наклона .
Для второй функции:
Получаем точку касания 
.
Таким образом, уравнение искомой касательной имеет вид 
.