Примеры для решения контрольной работы № 10




Контрольная работа содержит 5 контрольных заданий.

Дадим 2 примера контрольного задания №1.

Пример 1: Исследовать сходимость числового ряда

Решение. Применим признак сравнения 1.4.1.4)

. Возьмем , тогда . Рассмотрим ряд . Применим интегральный признак 1.4.2) , – монотонно убывает. . Интеграл сходится, следовательно по 1.4.2), ряд сходится, а, значит, ряд сходится по 1.4.1.4)

Пример 2. Исследовать сходимость числового ряда .

Решение. Применим признак Даламбера 1.7) ; .

По определению ; ; .

q = 0, q < 1 следовательно, ряд сходится.

 

Пример контрольного задания № 2. Найти интервал сходимости степенного ряда ;

Решение. Применим план нахождения интервала сходимости 2.3)

1. Составим ряд из абсолютных величин членов ряда

, .

2. Применим признак Даламбера к полученному ряду

, .

Ряд сходится при , т.е. , или . Радиус сходимости .

3. Исследуем сходимость числового ряда на границах интервала при и .

а) Получим числовой ряд . Общий член этого ряда . Применим необходимый признак сходимости 1.3.1). Þ ряд расходится.

б) . Получим числовой ряд . Это знакочередующийся ряд. Абсолютная величина общего члена ряда . По необходимому признаку сходимости 1.3.1) ряд расходится.

Итак, на границах интервала исходный ряд расходится.

Вывод. Интервал сходимости степенного ряда .

Пример контрольного задания № 3. Вычислить определенный интеграл , , с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав почленно.

Решение: Разложим в ряд по таблице 3.2) для .

;

Мы получили знакочередующийся ряд. Если ограничиться четырьмя членами, то по следствию 1.5.2) из признака Лейбница остаток ряда , т.е. точность .

Итак, с точностью .

 

Пример контрольного задания № 4. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

Ищем решение в виде ряда Маклорена в окрестности

Продифференцируем уравнение несколько раз подряд, рассматривая у как функцию от х.

, и т.д. Возьмем в самом уравнении и во всех равенствах и принимая во внимание , найдем , , , подставив эти коэффициенты в ряд Маклорена, получим решение

Пример контрольного задания № 5.

Разложить в ряд Фурье в интервале .

;

;

;

.

Тогда .

 

 

Задания к контрольной работе № 10 для ЗРФ

1. Исследовать сходимость числового ряда .

2. Найти интервал сходимости степенного ряда .

3. Вычислить определенный интеграл , с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд, а затем проинтегрировав его почленно.

4. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

5. Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале .

 

вар-та Задания
  1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5)
  1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5)
  1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5)
  1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5)
  1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5)
  1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5)
  1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5)
  1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5)
  1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5)
  1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5)

Литература

  1. Щипачев В.П. Высшая математика. М. Высшая школа. 1982-2003 гг.
  2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Курс высшей математики. М. Наука. 1975-1992 гг.
  3. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. I часть. Айрис Пресс Рольф. М. 2000 г.
  4. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. Высшая школа. 1980-2006 гг.
  5. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М. Высшая математика. 1964 г.
  6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Наука. 1970-2000 гг.
  7. Методические указания к контрольным работам кафедры ВМ и ММ РГГРУ.

 

Номер варианта каждой контрольной работы совпадает с последней цифрой учебного номера студента (номера зачетной книжки).

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-06-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: