Контрольная работа содержит 5 контрольных заданий.
Дадим 2 примера контрольного задания №1.
Пример 1: Исследовать сходимость числового ряда
Решение. Применим признак сравнения 1.4.1.4)
. Возьмем , тогда . Рассмотрим ряд . Применим интегральный признак 1.4.2) , – монотонно убывает. . Интеграл сходится, следовательно по 1.4.2), ряд сходится, а, значит, ряд сходится по 1.4.1.4)
Пример 2. Исследовать сходимость числового ряда .
Решение. Применим признак Даламбера 1.7) ; .
По определению ; ; .
q = 0, q < 1 следовательно, ряд сходится.
Пример контрольного задания № 2. Найти интервал сходимости степенного ряда ;
Решение. Применим план нахождения интервала сходимости 2.3)
1. Составим ряд из абсолютных величин членов ряда
, .
2. Применим признак Даламбера к полученному ряду
, .
Ряд сходится при , т.е. , или . Радиус сходимости .
3. Исследуем сходимость числового ряда на границах интервала при и .
а) Получим числовой ряд . Общий член этого ряда . Применим необходимый признак сходимости 1.3.1). Þ ряд расходится.
б) . Получим числовой ряд . Это знакочередующийся ряд. Абсолютная величина общего члена ряда . По необходимому признаку сходимости 1.3.1) ряд расходится.
Итак, на границах интервала исходный ряд расходится.
Вывод. Интервал сходимости степенного ряда .
Пример контрольного задания № 3. Вычислить определенный интеграл , , с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и проинтегрировав почленно.
Решение: Разложим в ряд по таблице 3.2) для .
;
Мы получили знакочередующийся ряд. Если ограничиться четырьмя членами, то по следствию 1.5.2) из признака Лейбница остаток ряда , т.е. точность .
Итак, с точностью .
Пример контрольного задания № 4. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .
Ищем решение в виде ряда Маклорена в окрестности
Продифференцируем уравнение несколько раз подряд, рассматривая у как функцию от х.
, и т.д. Возьмем в самом уравнении и во всех равенствах и принимая во внимание , найдем , , , подставив эти коэффициенты в ряд Маклорена, получим решение
Пример контрольного задания № 5.
Разложить в ряд Фурье в интервале .
;
;
;
.
Тогда .
Задания к контрольной работе № 10 для ЗРФ
1. Исследовать сходимость числового ряда .
2. Найти интервал сходимости степенного ряда .
3. Вычислить определенный интеграл , с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд, а затем проинтегрировав его почленно.
4. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .
5. Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале .
№ вар-та | Задания |
1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5) | |
1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5) | |
1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5) | |
1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5) | |
1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5) | |
1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5) | |
1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5) | |
1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5) | |
1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5) | |
1) ; 2) ; 3) , ; 4) ; 5) |
Литература
- Щипачев В.П. Высшая математика. М. Высшая школа. 1982-2003 гг.
- Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Курс высшей математики. М. Наука. 1975-1992 гг.
- Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. I часть. Айрис Пресс Рольф. М. 2000 г.
- Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. Высшая школа. 1980-2006 гг.
- Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М. Высшая математика. 1964 г.
- Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Наука. 1970-2000 гг.
- Методические указания к контрольным работам кафедры ВМ и ММ РГГРУ.
Номер варианта каждой контрольной работы совпадает с последней цифрой учебного номера студента (номера зачетной книжки).