Тема урока: «Теорема о трёх перпендикулярах».
Цели урока:
обучающие:
· знать теорему о трех перпендикулярах и уметь применять ее при решении задач;
развивающие:
· уметь логически мыслить, точно выражать свои мысли, творчески подойти к поставленной задаче;
воспитательные:
· воспитать точность, аккуратность, любовь к предмету; показать красоту предмета.
Тип урока: урок усвоения новых знаний.
Ход урока:
Организационный момент.
Включает в себя приветствие учителем класса, подготовку помещения к уроку, проверку отсутствующих.
Постановка цели урока.
Сегодня мы с вами узнаем теорему о трех перпендикулярах и научимся решать и доказывать задачи в пространстве с помощью это теоремы.
Актуализация опорных знаний.
Проводится в форме фронтальной работы с классом.
· Способы задания плоскости;
· Какие прямые в пространстве называются параллельными?
· Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?
· Определение перпендикулярности прямой и плоскости;
· Признак перпендикулярности прямой и плоскости;
· Как проверить перпендикулярность прямой и плоскости с помощью строительного угольника?
· Сформулируйте теорему о перпендикулярности плоскости одной из параллельных прямых;
· Что называется перпендикуляром к плоскости?
· Что называется наклонной к плоскости?
· Что называется проекцией наклонной на плоскость?
Изучение нового материала.
Теорема 1. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
Доказательство:
Рассмотрим плоскость. Прямая перпендикулярна к этой плоскости, так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым и, лежащим в плоскости (по условию и, так как. Отсюда следует, что прямая перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости, в частности. ЧТД.
Обратная теорема: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
2) Решение примеров на доске:
Задача 1. В треугольнике угол прямой, а - перпендикуляр к плоскости. Доказать, что - прямоугольный.
Доказательство: Сделаем рисунок (рисунок 2).
Пусть треугольник лежит в плоскости. Так как перпендикулярна плоскости, то. Прямую рассмотрим как наклонную к плоскости, тогда будет проекцией на плоскость. По условию, так как в, то. Таким образом по теореме о трех перпендикулярах из того что и, следует, что. Получаем, что в угол прямой, а значит - прямоугольный. ЧТД
Задача 2. Из вершины квадрата со стороной 16 см восстановлен перпендикуляр длиной 12 см. Доказать, что треугольник - прямоугольный и найти его площадь.
Решение: Сделаем рисунок (рисунок 3).
Обозначим - плоскость, в которой лежит квадрат. По условию, тогда. Если рассмотреть как наклонную к плоскости, то является её проекцией на эту плоскость. Так как - квадрат,. С другой стороны можно рассматривать как прямую, проведенную в плоскости через основание наклонной перпендикулярную ее проекции. Тогда по теореме о трех перпендикулярах и. Таким образом, - прямоугольный.
Площадь прямоугольного треугольника можно найти как полупроизведение катетов и. Для нахождения, рассмотрим. Он прямоугольный,, в этом треугольнике является гипотенузой. Запишем для этого треугольника теорему Пифагора:. По условию см и см. Подставляя эти значения в последнее равенство, получим:(см)
Формула для нахождения площади запишется следующим образом:
Подставляя в это равенство заданное значение см и найденное значение см, получим: (см2)