Цепь с параллельным соединением (резонанс токов)

В зависимости от соотношения проводимостей реактивных элементов возможны три следующих случая:

1. ; следовательно, цепи (напряжение опережает)

2. ; следовательно, цепи (ток опережает)

3. → - условие резонанса токов,

3. Четырехполюсники и их классификация.

Четырехполюсниками наз. электрические цепи, имеющие вид «черного ящика» с двумя парами доступных зажимов, одна из которых служит входом, а другая - выходом сигнала. В рабочем режиме ко входу как правило подключен источник к выходу нагрузка.

Основной задачей теории четырехполюсников является установление соотношений между напряжениями на входе и выходе и токами, протекающими через входные и выходные контакты. Уравнения, дающие такую зависимость, называются уравнениями передачи 4-полюсника.

Кроме того, теория 4-полюсников позволяет решить обратную задачу: по заданным входным и выходным напряжениям и токам найти параметры 4-полюсника и построить его схему, рассчитать элементы, т.е. решить задачу синтеза.

Классификация 4-полюсников

1. Линейные и нелинейные

2. Пассивные и активные: Пассивные не содержат источников энергии, активные – могут содержать зависимые и независимые источники.

3. По структуре: мостовые и лестничные: Г-образные, П-образные, Т-образные, П-образные. Промежуточное положение занимают Т-образные мостовые (или Т-перекрытые) схемы 4-полюсников.

4. Симметричные и несимметричные: в симметричном перемена местами входных и выходных зажимов не изменяет напряжений и токов в цепи, с которой он соединен.

5. Уравновешенные и неуравновешенные: Уравновешенные имеют горизонтальную ось симметрии (мостовая схема.

6. Обратимые и необратимые: обратимые позволяют передавать энергию в обоих направлениях;

9 БИЛЕТ

1. Гармонический анализ непериодических сигналов. Преобразование Фурье.

Пусть такое колебание s(t) задано в виде некоторой функции, отличной от нуля в промежутке (t₁, t₂).

колебание в виде ряда Фурье 0 < t < T, где w₁ = 2p/T, а коэффициенты

спектральная плотность: -называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Таким образом, можно сделать фундаментальный вывод: сигнал s(t) и его спектральная плотность S(w) взаимно-однозначно связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Модуль и аргумент спектральной плотности определяются выражениями:

тригонометрической форме:

2. Энергетический анализ цепей синусоидального тока.

В общем случае среднее за период значение мгновенной мощности для R есть активная мощность:

Для катушки индуктивности и конденсатора реактивной мощностью(Q):Q=UI sin φ

полная мощность (S):S=UI. Активная, реактивная и полная мощности связаны следующим соотношением: .

. баланс мощностей: .

Согласование источника энергии с нагрузкой

· максимум резистивной мощности в нагрузке ;

· максимум КПД: .

3. Системы Y и Н параметров четырехполюсников.

Схема замещения 4-полюсника может быть представлена в системах Y-, Z-, A- и H-параметров.

Y-параметры:

в матричной форме: Y-параметры имеют размерность и физический смысл проводимости: 11 – входная; 12 – передаточная в обратном направлении (обратной передачи); 21 – передаточная; 22 – выходная.

Система Н-параметров определяется из следующих уравнений:

в матричной форме: Н-параметры имеют различные размерности и физический смысл: 11 – входное сопротивление; 22 – выходная проводимость; 12 – коэффициент обратной передачи напряжения и 21 – коэффициент передачи (для активных – усиления) по току – безразмерные величины.

10 БИЛЕТ

1. Свойства преобразования Фурье. Сдвиг сигнала во времени и по частоте.

Между колебанием s(t) и его спектром S(w) существует однозначное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием колебания и соответствующим этому преобразованию изменением спектра.

Пусть колебание s₁(t) произвольной формы существует на интервале времени от t₁ до t₂ и обладает спектральной плотностью S₁(w), т.е. известен закон соответствия s₁(t) «S₁(w).

Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на t₀ секунд позднее. Принимая точку t₀ за новое начало отсчета времени, получим новый смещенный сигнал s₂(t) = s₁(t - t₀). Тогда спектральная плотность смещенного колебания после введения новой переменной t = t - t₀ в соответствии с (2.24) определится как:

Из этого соотношения видно, что сдвиг во времени функции s(t) на величину ±t₀ приводит к изменению фазовой характеристики спектра S(w) на величину ±wt₀.

2. Согласование источника энергии с нагрузкой.

Согласовать источник с нагрузкой – означает выбрать необходимое по одному из двух критериев сопротивление нагрузки, обеспечивающее:

· максимум резистивной мощности в нагрузке , что важно для цепей электросвязи, в которых мощности сигналов малы и при отсутствии согласования источника сигнала и нагрузки маломощные сигналы могут затеряться на фоне помех;

· максимум КПД, который определяется: . Это важно в цепях энергопередачи, в которых необходимо обеспечить минимальные потери полезной активной мощности при передаче большой энергии.

Рассмотрим эти условия согласования для схемы источника напряжения (R_вн=R_i) с комплексной нагрузкой (R=R_н). Здесь:

полное комплексное сопротивление источника – ; нагрузки – .

Тогда, по закону Ома, комплексное действующее значение тока в нагрузке (объединяя действительные и мнимые части):

.

Резистивная мощность в нагрузке определится как: .

По первому критерию, максимум мощности в нагрузке достигается при выполнении двух условий:

1. Мнимая часть должна быть равна нулю (максимальный ток при резонансе): X_i = -X_H;

2. т.е. сопротивления источника и нагрузки должны быть комплексно-сопряженными величинами: .

Тогда максимальная резистивная мощность в нагрузке составит

.

По второму критерию, с точки зрения максимума энергопередачи (КПД), основные потери резистивной мощности происходят на внутреннем сопротивлении источника:

;

т.е., если , то ; и чем больше разница между и , тем выше КПД.

Таким образом, условия для получения максимумов активной мощности в нагрузке и КПД не совпадают. В цепях электросвязи необходимо обеспечить равенство ; в цепях энергопередачи сопротивление нагрузки должно быть много больше сопротивления источника: R_i→0 или

3. Системы Z и А параметров.

Для определения комплексных амплитуд напряжений относительно заданных входного и выходного токов используются следующие уравнения:

или в матричной форме: при этом Z-параметры имеют размерность и физический смысл сопротивления: 11 – входное; 12 – передаточное в обратном направлении (обратной передачи); 21 – передаточное; 22 – выходное (холостого хода).

система А-параметров (или обобщенных параметров) задается относительно известных выходных комплексных амплитуд напряжения и тока:

при этом А-параметры имеют следующий физический смысл и размерность: 11 – коэффициент обратной передачи напряжения (аналог Н₁₂); 12 – сопротивление обратной передачи (аналог Z₁₂); 21 – проводимость обратной передачи (аналог Y₁₂); 22 – коэффициент обратной передачи (усиления) по току.

11 БИЛЕТ

1. Свойства преобразования Фурье. Изменение масштаба времени, дифференцирование и интегрирование колебаний.

Между колебанием s(t) и его спектром S(w) существует однозначное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием колебания и соответствующим этому преобразованию изменением спектра.

Изменение масштаба времени

Предположим, что исходный сигнал s(t) подвергнут преобразованию, связанному с изменением масштаба времени, т.е. роль времени t будет играть новая независимая переменная kt, где k – некоторое вещественное число. Если k > 1, то происходит «сжатие» исходного сигнала во времени; если же 0 < k < 1, то имеет место временное «растяжение» сигнала.

если s(t) «S(w), то s(kt) «(1/k) S(w/k).

Это следует из:

при сжатии колебания в k раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в k раз.

Дифференцирование и интегрирование колебания

Пусть сигнал s(t) и его спектральная плотность S(w) заданы.

При дифференцировании скорость изменения сигнала во времени обычно возрастает. Как следствие, спектр производной имеет большие значения в области высоких частот по сравнению со спектром исходного сигнала.

дифференцирование сигнала во временной области эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной плотности на множитель jw.

Поэтому принято говорить, что мнимое число jw играет роль оператора дифференцирования, действующего в частотной области.

интеграторы – физические системы, работающие по следующему принципу: мгновенное значение сигнала на их выходе равно интегралу от функции, описывающей входное воздействие. Если и_вх и и_вых – соответственно сигналы на входе и выходе идеального интегратора, то

Между спектральной плотностью сигнала s(t) и значением его определенного интеграла с переменным верхним пределом существует связь:

Для доказательства - Таким образом, множитель 1/(jw) выступает как оператор интегрирования в частотной области.

2. Основные параметры цепей с индуктивно-связанными элементами.

· Магнитодвижущая сила МДС = IW – аналог ЭДС в электрическом поле, измеряется в амперах;

· Напряжённость магнитного поля [А/м], при этом произведение напряжённости на длину магнитопровода, равное МДС: есть магнитное напряжение;

· Магнитная индукция [Тл] – интенсивность магнитного поля, где μ_а – абсолютная магнитная проницаемость;

· Магнитный поток [Вб], где S –площадь сечения магнитопровода;

· Потокосцепление [Вб];

· Индуктивность самоиндукции [Гн];

· По закону Фарадея-Максвелла и правилу Ленца в катушке возникает ЭДС самоиндукции, определяемая как скорость изменения потокосцепления во времени:

· Для магнитной цепи, состоящей из n последовательных участков (по аналогии со вторым законом Кирхгофа для электрической цепи) формулируется закон полного тока: МДС магнитной цепи равна сумме магнитных напряжений на последовательных участках этой цепи:

· Аналогично закону Ома для электрической цепи в магнитной цепи можно записать следующее соотношение:

3. Передаточная функция четырехполюсника и ее свойства.

Передаточная функция линейного 4-полюсника является его основной частотной характеристикой и определяется в стационарном режиме как отношение комплексной амплитуды сигнала на выходе к комплексной амплитуде сигнала на входе при гармоническом воздействии. В зависимости от характера входных и выходных сигналов передаточная функция может иметь размерность проводимости: K_Y = I₂ / U₁; сопротивления: K_Z = U₂ / I₁; либо быть безразмерной величиной: K(p) = U₂ / U₁; K(p) = I₂ / I₁ (комплексный коэффициент передачи по напряжению или току). При этом для активных 4-полюсников они будут называться соответственно коэффициентами усиления. Необходимо отметить, что значение передаточной функции K(р) зависит от направления передачи энергии в системе. Если источник и нагрузка меняются местами, то следует ввести коэффициент передачи в обратном направлении:К_обр(р) = U₁/U₂.Коэффициенты прямой и обратной передачи в общем случае не совпадают.

Передаточная функция четырехполюсника обладает всеми свойствами аналогичных функций линейных стационарных систем. Так, линейному четырехполюснику с постоянными параметрами отвечает функция где К₀ - постоянная величина.

Свойства передаточной функции (условия устойчивости и физической реализуемости 4-полюсников):

1. Она является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами, что обусловлено постоянными параметрами элементов схемы 4-полюсника.

2. Чтобы синтезируемая цепь была устойчива, полюсы р₁, р₂,..., р_n должны располагаться в левой полуплоскости, образуя комплексно-сопряженные пары.

3. Число полюсов функции К(р) должно превышать число нулей, т.е. в бесконечно удаленной точке должен существовать не нуль, а полюс передаточной функции. В противном случае в пределе (при стремлении частоты к бесконечности) АЧХ принимала бы бесконечно большое значение, т.е. 4-полюсник обладал бы бесконечно большим усилением.

4. В отличие от входного сопротивления двухполюсника разность числа нулей и полюсов передаточной функции может быть сколь угодно большой. Это связано с тем, что на фазовый угол коэффициента передачи не могут быть наложены какие-либо энергетические ограничения.

5. Расположение нулей передаточной функции. В отличие от полюсов нули функции К(р) устойчивого линейного четырехполюсника могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскости переменной р. Действительно, характеристическое уравнение К(р) = 0 означает, что при некотором входном U₁(p) ¹ 0 изображение выходного напряжения U₂(p) обращается в нуль. Это не противоречит предположению об устойчивости системы.

12 БИЛЕТ

1. Свойства преобразования Фурье. Сумма и произведение двух колебаний.

Между колебанием s(t) и его спектром S(w) существует однозначное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием колебания и соответствующим этому преобразованию изменением спектра.

Так как преобразование Фурье, определяющее спектральную плотность заданной функции времени, является линейным преобразованием, то, очевидно, что при сложении колебаний s₁(t), s₂(t),..., обладающих спектрами S₁(w), S₂(w),..., суммарному колебанию s(t) = s₁(t) + s₂(t) +... соответствует спектр, являющийся их суммой: S(w) = S₁(w) + S₂(w) +....

Однако спектр произведения сигналов не равен произведению спектров, а выражается некоторым специальным интегральным соотношением между спектрами сомножителей.

Пусть v(t), u(t) - два сигнала, для которых установлены соответствия u(t) «U(w), v(t) «V(w). Образуем произведение этих сигналов: s(t) = u(t) v(t) и вычислим его спектральную плотность:

спектр произведения двух сигналов равен: Интеграл в правой части называется сверткой функций U и V. Операция свертки коммутативна, т.е. допускает изменение порядка следования преобразуемых функций: V(w)*U(w) = U(w)*V(w).

2. Индуктивная связь двух катушек.

При подключении первой катушки к источнику в ней создаётся магнитный поток , состоящий из потока рассеяния и потока взаимоиндукции, охватывающего витки второй катушки: .

Соответственно в такой схеме будет три вида потокосцепления:

1. Потокосцепление самоиндукции ;

2. Потокосцепление рассеяния ;

3. Потокосцепление взаимоиндукции .

Аналогично определяются три вида индуктивности:

1. Индуктивность самоиндукции

2. Индуктивность рассеяния

3. Индуктивность взаимоиндукции т.е. 1-я катушка индуцирует ток во 2-й.

Для катушек с линейной индуктивностью соответственно:

Аналогично при подключении второй катушки к источнику получим:

1. Индуктивность самоиндукции

2. Индуктивность рассеяния

3. Индуктивность взаимоиндукции

Согласно принципу взаимности – называется взаимной индуктивностью или индуктивностью взаимоиндукции.

Таким образом, взаимная индуктивность элементов цепи, возникающая при воздействии тока одного элемента на другой, определяет индуктивную связь этих элементов; и индуцируемая при этом ЭДС называется ЭДС взаимной индукции. При этом взаимная индуктивность [Гн] определяет значение потокосцепления одной катушки с магнитным полем другой так же, как индуктивность L определяет значение потокосцепления самоиндукции и собственное реактивное сопротивление катушки:

.

При подключении первой катушки к источнику, а второй к нагрузке в них возникнут следующие общие потокосцепления:

;

;

при этом знак «+» ставится при согласном включении катушек, а «-» при встречном включении катушек.

а) согласное; б) встречное.

Начала катушек или же одноимённые зажимы обозначаются жирными точками и при согласном включении токи в катушках одинаково ориентированы относительно одноимённых зажимов, а при встречном – противоположны. Таким образом, тип включения катушек определяется способом намотки и направлением токов в них. При этом направление магнитного потока Ф противоположно направлению обмотки (правило буравчика, направление силовых линий магнитного поля).

Поскольку напряжение на каждой катушке при отсутствии потерь на резистивных элементах равно по величине и противоположно по знаку ЭДС, то их можно определить следующим образом:

поскольку ;

и аналогично:

где называются вносимыми напряжениями (возникающими в одной катушке за счет влияния другой). Их знак также зависит от направления обмотки, и при одинаковых направлениях (при согласном включении) вносимые напряжения будут складываться с собственными напряжениями катушек.

Степень связи двух индуктивно связанных катушек называется коэффициентом индуктивной связи и обозначается:

К_М = 0 – означает отсутствие связи между катушками;

К_М = 1 – означает жёсткую связь между катушками.

Иногда степень связи также оценивают коэффициентом рассеивания :

.

3. Минимально-фазовые и неминимально-фазовые цепи. Коэффициент передачи мощности четырехполюсника.

Четырехполюсники, не имеющие нулей передаточной функции в правой полуплоскости, называют минимально-фазовыми цепями. Если же нули в правой полуплоскости имеются, то такие четырехполюсники называют неминимально-фазовыми цепями. При одинаковом числе нулей и полюсов неминимально-фазовая цепь обеспечивает большее по абсолютной величине изменение фазы коэффициента передачи по сравнению с минимально-фазовой цепью.

Расположение нулей функции К(р) связано с топологической структурой цепи. В теории цепей показывается, что минимально-фазовым будет любой четырехполюсник со следующим свойством: передача сигнала со входа на выход может быть полностью прекращена путем разрыва единственной ветви. В частности, минимально-фазовыми оказываются любые четырехполюсники лестничной структуры.

Неминимально-фазовые цепи имеют, как правило, структуру мостовых (скрещенных) схем, в которых сигнал на выход проходит по двум каналам или более. Простейший пример неминимально-фазовой цепи – симметричный мостовой четырехполюсник, образованный элементами R и С. Здесь, как легко убедиться,K(p) = (pRC - 1)/(pRC + 1).

Данная функция имеет нуль передаточной функции в точке p = 1/(RC), т.е. в правой полуплоскости.

Однако мостовая структура не гарантирует автоматически принадлежность цепи к минимально-фазовому классу и в каждом отдельном случае следует проверять наличие или отсутствие нулей в правой полуплоскости.

Коэффициент передачи мощности. Как известно, коэффициент передачи мощности – это квадрат модуля частотного коэффициента передачи четырехполюсника: K_p(w) = K(iw) K*(iw) = K(iw) K(-iw). (1)

В отличие от самого коэффициента передачи K(iw) функция K_p(w) вещественна и положительна (по определению квадрата модуля) и поэтому особенно удобна для задания исходных данных к синтезу четырехполюсника. Однако она не содержит сведений о ФЧХ системы. Как видно из (1), коэффициент передачи мощности – четная функция частоты с вещественными коэффициентами, и поэтому он всегда может быть представлен в виде отношения двух многочленов по степеням w²: K_p(w) = M(w²) / N(w²).

И в предельном случае при стремлении частоты к бесконечности не будет принимать бесконечного значения, т.к. m ≤ n.

При замене переменной p = iw функция К_р(w) аналитически продолжается с мнимой оси jw на всю плоскость комплексных частот: К_р(р) = К(р) К(-р). (2). Формула (2) устанавливает принципиальный факт: если a + jb – особая точка (нуль или полюс) функции К(р), то К_р(р) будет иметь такую же особую точку как при p = a + jb, так и при p = - a - jb. Принято говорить, что особые точки частотного коэффициента передачи мощности имеют квадрантную симметрию, т.е. располагаются на комплексной плоскости, имея центр симметрии в начале координат. Это свойство имеет большое значение для задач синтеза четырехполюсников, поскольку оно дает возможность восстанавливать частотный коэффициент передачи по известной функции К_р(р).

13 БИЛЕТ

1. Свойства преобразования Фурье. Взаимная заменяемость частоты и времени в преобразованиях Фурье.

Между колебанием s(t) и его спектром S(w) существует однозначное соответствие. Для практических приложений важно установить связь между преобразованием колебания и соответствующим этому преобразованию изменением спектра.

1)Пусть s(t) есть функция, четная относительно t.

при четности s(t) второй интеграл равен нулю, так как произведение s(t)sinwt является функцией, нечетной относительно t, а пределы интегрирования симметричны. Таким образом, при s(t), четной относительно t, функция S(w), определяемая первым интегралом, есть функция вещественная и четная относительно w.

2)Если s(t) нечетна относительно t, то в нуль обращается первый интеграл и В этом случае S(w) – нечетная и чисто мнимая функция w.

3. Если s(t) не является четной или нечетной функцией относительно t, то ее можно разложить на две функции: четную s₁(t) и нечетную s₂(t). причем действительная ее часть четна, а мнимая нечетная относительно w.

переменные w и t в преобразованиях Фурье взаимно заменимы: если колебанию (четному) s(t) соответствует спектр S(w), то колебанию S(t) соответствует спектр 2ps(w).

2. Вариометры.

Рассмотрим символическийанализ последовательного согласного соединения индуктивно связанных катушек с собственными сопротивлениями потерь R₁, R₂.

Тогда по второму закону Кирхгофа с учетом согласного включения катушек для комплексных амплитуд тока и напряжений получим:

.

Полное комплексное сопротивление такой цепи определится как: , тогда величина полной эквивалентной индуктивности при согласном включении: ;

аналогично при встречном: .

Если между двумя последовательно соединенными индуктивно связанными катушками обеспечить возможность вращения одной катушки относительно другой, то можно получить устройство переменной индуктивности – вариометр, индуктивность которого определяется выражением ,где α – угол поворота между осями катушек.

3. Фильтры и их общая классификация.

«Фильтр» в обобщенном смысле слова представляет собой устройство или систему, которое преобразует заданным образом проходящий через него входной сигнал. По существу фильтр преобразует входные сигналы таким образом, что определённые особенности входного сигнала сохраняются в выходном сигнале, а нежелательные свойства подавляются.

Электрический фильтр проектируется для выделения и пропускания требуемого сигнала из смеси полезных и нежелательных сигналов. Телевизионные и радиофильтры – типичные представители сложных электрических фильтров. В более узком смысле слова фильтры – это основные компоненты многих систем связи, таких, как телефония, телевидение, радиовещание, радио- и звуколокация. Электрические фильтры также можно найти в цепях преобразования мощности и системах питания. Фактически электрические фильтры так распространены в современной технике, что невозможно представить любой электронный прибор средней сложности, в котором не использовался бы фильтр в том или ином виде.

Электрическим фильтром называется четырехполюсник, устанавливаемый между источником питания и нагрузкой и служащий для беспрепятственного (с малым затуханием) пропускания токов одних частот и задержки (или пропускания с большим затуханием) токов других частот.

Диапазон частот, пропускаемых фильтром без затухания (с малым затуханием), называется полосой пропускания или полосой прозрачности; диапазон частот, пропускаемых с большим затуханием, называется полосой затухания или полосой задерживания. Качество фильтра считается тем выше, чем ярче выражены его фильтрующие свойства, т.е. чем сильнее возрастает затухание в полосе задерживания.

Электрические фильтры относятся к частотно–избирательным устройствам, в которых ослабление сигнала в некоторой области частот мало по сравнению с другими участками частотного диапазона.

Электрические фильтры можно классифицировать по разным признакам.

По элементной базе фильтры делят на:

· пассивные, состоящие из резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности;

· активные, имеющие кроме пассивных элементов еще и активные, например, транзисторы или микросхемы.

По функциональному назначению различают:

· сглаживающие фильтры;

· разделительные межкаскадные фильтры;

· фильтры для разделения частотного диапазона на полосы и изменения коэффициента усиления частот полос;

· разделительные фильтры в акустических системах и др.

По полосе пропускания их делят на:

· низкочастотные (пропускают низкие и подавляют высокие частоты);

· высокочастотные (пропускают высокие и подавляют низкие частоты);

· полосовые пропускающие (пропускают сигнал в некоторой полосе частот);

· полосовые заградительные или фильтры-пробки (подавляют сигнал в некоторой полосе частот);

Разновидностью полосовых фильтров являются гребенчатые фильтры, которые представляют набор полосовых фильтров с резонансными частотами, отстоящими друг от друга на равные расстояния.

В зависимости от вида обрабатываемого сигнала делятся на:

· аналоговые фильтры для обработки аналоговых или непрерывных по времени сигналов;

· цифровые фильтры для обработки дискретных по времени и квантованных по уровню сигналов (цифровых).

В зависимости от частотного диапазона аналоговые фильтры делятся на сосредоточенные и распределённые.

14 БИЛЕТ

1. Распределение энергии в спектрах периодических сигналов.

Пусть колебание s(t) (ток, напряжение) представляет собой сложную периодическую функцию времени с периодом Т. Энергия такого колебания, длящегося от t = -¥ до t = ¥, бесконечно велика, поэтому основной интерес представляет средняя мощность периодического колебания и распределение этой мощности между отдельными гармониками. Очевидно, что средняя мощность колебания, рассматриваемого на всей оси времени, совпадает с мощностью, средней за один период Т. Поэтому можно использовать формулу средней за период мощности , тригонометрический ортогональный базис и с учетом того, что c₀ = a₀/2 =А₀; c_n= A_n/2; интервал ортогональности – Т и норма базисных функций - Т^1/2, можно получить:

Если s(t) представляет собой ток i(t), то при прохождении его через сопротивление r выделяется мощность (средняя): где I₀ = a₀/2 – постоянная составляющая, а I_n = A_n – амплитуда n-й гармоники тока i(t).

Итак, полная мощность равна сумме средних мощностей, выделяемых отдельно постоянной составляющей I₀ и гармониками с амплитудами I₁, I₂,.... При этом можно определить мощность каждой из них в отдельности:

Это означает, что средняя мощность не зависит от фаз отдельных гармоник. Тогда энергия сигнала за период определится как Е = Р_ср *Т.

Для получения выражения, определяющего распределение энергии в спектре непериодического колебания, целесообразно воспользоваться результатами, полученными для произведения двух сигналов, а именно выражением (2.39.1). Если u(t) и v(t) представляют собой одно и то же колебание u(t) = v(t) = s(t), то интеграл, определяющий спектральную плотность произведения двух сигналов (2.37)

представляет собой полную энергию колебания s(t), а произведение спектральных плотностей (в частном случае при w = 0, поскольку сдвиг между сигналами по частоте в силу их идентичности равен нулю) из интеграла свертки (2.38)

где S(w) – модуль спектра колебания s(t).

Таким образом, можно получить окончательный результат:

(2.41)

Это важное соотношение, устанавливающее связь между энергией колебания (при сопротивлении 1 Ом) и модулем его спектральной плотности, известно под названием равенства Парсеваля. Между выражениями (2.40) и (2.41) имеется существенное различие. В первом случае речь идет о средней мощности периодического колебания, где усреднение осуществляется делением энергии отрезка колебания за один период на величину Т. В случае же непериодического колебания конечной длительности усреднение энергии за бесконечно большой период дает нуль, и, следовательно, средняя мощность такого колебания равна нулю. Из выражения (2.41) видно, что величину S²(w), имеющую смысл энергии, приходящейся на единицу полосы частот, можно рассматривать как спектральную плотность энергии колебания.

2. Идеальный трансформатор.

Индуктивно связанные катушки без потерь (R₁=R₂=0) при коэффициенте индуктивной связи К_М=1 () называют совершенным (идеальным) трансформатором.

Трансформатор в общем смысле – это статическое электромагнитное устройство, предназначенное для преобразования посредством магнитного поля электрической энергии переменного тока одного напряжения в электрическую энергию переменного тока другого напряжения при неизменной частоте.

Полная взаимосвязь катушек () достигается при отсутствии внутренних потерь, отсутствии потоков рассеяния (), т.е. полной передаче магнитного потока от одной катушки к другой. Тогда магнитные потоки самоиндукции равны магнитным потокам взаимоиндукции: Ф₁₁ = Ф₁₂ и Ф₂₂ = Ф₂₁; т.е. создаваемые в катушках магнитные потоки одинаковы (взаимно компенсируются) и равны общему потоку: Ф₁₁ + Ф₂₁ = Ф₂₂ + Ф₁₂ = Ф.

<