Частотные критерии устойчивости сау Михайлова и Найквиста. Запас устойчивости. Определение устойчивости по частотным характеристикам.
Частотные критерии устойчивости стационарных линейных систем были найдены Найквистом и Михайловым. Запишем характеристическое уравнение САУ при s = iw с целью его рассмотрения в частотной области:
B(iw) = bn (iw)n + bn-1 (iw)n-1+...+ bo = A (w) e iY (w) = P(w) + i Q(w) = 0.
При изменении w от 0 до ¥, вектор B(iw) начинает описывать в комплексной плоскости кривую, которую называют кривой Михайлова:
Рис. 1.19. Кривая Михайлова САУ
Михайлов доказал что, для того чтобы САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой B(iw) при w = повернулся, нигде не обращаясь в 0, вокруг начала координат против часовой стрелки на угол (n)/2, где n - степень характеристического уравнения. Отметим, что в неустойчивых системах нарушается последовательность прохождения кривой Михайлова квадрантов комплексной.
В 1932 году Найквистом был опубликован критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике Z() разомкнутой системы, что позволило значительно упростить расчеты. Примем во внимание тот факт, что если система управления в разомкнутом состоянии неустойчива, то ее характеристическое уравнение имеет k корней, лежащих в правой полуплоскости s. Рассмотрим функцию
В числителе этой функции содержится характеристический полином замкнутой системы, в знаменателе – характеристический полином разомкнутой системы. Пусть степень полинома A(s) = a0 sm + a1 sm-1+ ...+ am
не выше степени n полинома B(s)= b0 sn + b1 sn-1+...+ bn. Тогда степени числителя и знаменателя (2.1) одинаковы и равны n. В плоскости s функция 1+ Z(iw) изображается вектором, начало которого находится в точке (-1,0), а конец расположен на амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы.
Для того, чтобы установившееся движение в замкнутой системе было устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы при возрастании w от 0 до ¥ вектор 1+ Z(iw), скользящий своим концом по амплитудно – фазовой характеристике разомкнутой системы, повернулся вокруг точки (-1,) в направлении по часовой стрелке k/2 раз, где k – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы. Под правыми корнями здесь понимаются корни, расположенные в правой полуплоскости комплексной плоскости s.
Запас устойчивости
Для нормального функционирования САР должна быть достаточно удалена от границы устойчивости и иметь достаточный запас устойчивости, что определяется следующими причинами:
- уравнения элементов САР, как правило, идеализированы, т.е. при их составлении не учтены второстепенные факторы;
- при линеаризации уравнений погрешности дополнительно увеличиваются;
- параметры элементов определяются с некоторой погрешностью;
- параметры однотипных элементов имеют технологический разброс;
- при эксплуатации параметры элементов изменяются вследствие старения.
О запасе устойчивости можно судить по расположению корней характеристического уравнения САР на комплексной плоскости корней (рис. 4.12). Чем дальше они отстоят от мнимой оси в левой полуплоскости, тем больше запас устойчивости.
Рис. 4.12. Комплексная плоскость корней
Каждый критерий устойчивости также позволяет определять запас устойчивости системы. Однако, наибольшее применение на практике находит критерий Найквиста. Устойчивость САР зависит от расположения годографа Найквиста относительно критической точки с координатами (-1, j0). Чем ближе эта кривая проходит от критической точки, тем ближе САР к границе устойчивости.
Для устойчивых САР выделяют запасы устойчивости по амплитуде h и по фазе g.
Запас устойчивости по амплитуде h – это минимальный отрезок, характеризующий расстояние между критической точкой и ближайшей точкой пересечения годографом Найквиста вещественной оси на отрезке [0, -1] (рис. 4.13).
Рис.4.13. Определение запасов устойчивости по критерию Найквиста
Запас устойчивости по фазе g - это минимальный угол, образуемый радиусом, проходящим через точку пересечения годографа Найквиста с окружностью единичного радиуса с центром в начале координат и отрицательной вещественной полуосью.
Система обладает необходимым запасом устойчивости, если она удовлетворяет условию устойчивости и имеет значение модуля,
, отличающееся от единицы не менее, чем на заданную величину h (запас устойчивости по амплитуде) и угол поворота или фазу, отличающуюся от (-p) не менее, чем на величину g (запас устойчивости по фазе) (рис. 4.14).
Рис.4.14. Требуемые запасы устойчивости САР
Определение устойчивости по частотным характеристикам
Критерий устойчивости Найквиста позволяет оценивать устойчивость САР по логарифмическим частотным характеристикам ее разомкнутой части. Этот способ используется достаточно широко вследствие простоты построения логарифмических частотных характеристик и определения по ним запасов устойчивости.
Если разомкнутая часть САР устойчива, то для ее устойчивости необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию -180° при положительных значениях ЛАЧХ (L(w)³0) было четным (в частном случае равным 0). Пересечение ЛФЧХ линии -180° снизу вверх считается положительным, а сверху вниз - отрицательным. На рис. 4.10 показаны наиболее характерные ЛФЧХ, где wс – частота среза, определяющая частоту пересечения ЛАЧХ оси частот:
1- САР абсолютно устойчива;
2- САР условно устойчива;
3- САР находится на границе устойчивости;
4- САР неустойчива.
Рис.4.10. Оценка устойчивости САР по логарифмическим частотным характеристикам
Для оценки устойчивости САР сначала строят асимптотическую ЛАЧХ. Затем к ней делают поправки около тех частот, которые ограничивают положительные участки и расположены достаточно близко от сопрягающих частот (особенно от сопрягающих частот, соответствующих колебательным звеньям).
Если разомкнутая часть САР неустойчива, то для ее устойчивости необходимо и достаточно, чтобы при положительных значениях ЛАЧХ разность между числом положительных и отрицательных переходов через линии -180°; -3×180°; -5×180°; … - равнялась l/2, где l – число корней с положительной вещественной частью. Переходы ЛФЧХ через линию -180°, а возможно и через линии -3×180°; -5×180°;… при высоком порядке характеристического полинома подсчитывают не только на начальном, но и на последующих участках положительности ЛАЧХ, что показано на рис. 4.11, где показано, что САР устойчива при неустойчивой ее разомкнутой части, если разность между положительными и отрицательными переходами равна l/2=1, а l=2.
Критерий Найквиста, применяемый в логарифмической системе координат, часто называют логарифмическим критерием устойчивости.
Рис. 4.11. Оценка устойчивости САР по логарифмическим частотным характеристикам, если разомкнутая часть неустойчива.