Статически определимые системы

Пара сил. Свойства пары сил

Парой сил (или просто парой) называются две силы, равные по величине, параллельные и направленные в противоположные стороны (рис. 4.1). Очевидно, , и .

Несмотря на то, что векторная сумма сил равна нулю, эти силы не уравновешиваются. Под действием этих сил, пары сил, тело начнет вращаться. И вращательный эффект будет определяться моментом пары

.

Кратчайшее расстояние a между параллельными линиями действия сил называется плечом пары.

Если пара вращает тело против часовой стрелки, момент ее считается положительным (см. рис. 4.1), если по часовой стрелке – отрицательным.

Для того чтобы момент пары указывал и плоскость, в которой происходит вращение, его представляют вектором.

Вектор момента пары направляется перпендикулярно плоскости, в которой расположена пара, в такую сторону, что если посмотреть оттуда, увидим вращение тела против часовой стрелки (см. рис. 4.2).

Нетрудно доказать, что вектор момента пары есть вектор векторного произведения (см. рис. 4.2). И заметим, что он равен вектору момента силы относительно точки А, точки приложения второй силы: .

О точке приложения вектора будет сказано ниже. Пока приложим его к точке А.

Свойства пар сил

1. Проекция пары сил на любую ось равна нулю. Это следует из определения пары.

2. Найдем сумму моментов сил и , составляющих пару, относительно какой-либо точки О
(рис. 4.3).

Покажем радиусы-векторы точек А₁ и А₂ и вектор , соединяющий эти точки. Тогда момент пары сил относительно точки О

.

Но . Поэтому . Но , а . Значит,

.

Момент пары сил относительно любой точки равен моменту этой пары.

Отсюда следует, что, во-первых, где бы не находилась точка О и, во-вторых, где бы не располагалась эта пара в теле и как бы она не была повернута в своей плоскости, действие ее на тело будет одинаково. Так как момент сил, составляющих пару, в этих случаях один и тот же, равный моменту этой пары .

Поэтому можно сформулировать еще два свойства.

3. Пару можно перемещать в пределах тела по плоскости действия и переносить в любую другую параллельную плоскость.

4. Так как действие на тело сил, составляющих пару, определяется лишь величиной момента, произведением одной из сил на плечо, то у пары можно изменять силы и плечо, но так, чтобы момент пары остался прежним. Например, при силах F ₁ = F ₂ = 5 H и плече а = 4 см момент пары m = 20 H×см. Можно силы сделать равными 2 Н, а плечо а = 10 см. При этом момент останется прежним 20 Н×см и действие пары на тело не изменится.

Все эти свойства можно объединить и сделать вывод, что пары с одинаковыми векторами момента и неважно где расположенные на теле, оказывают на него равное действие. То есть такие пары эквивалентны.

Поэтому на расчётных схемах пару можно изображать в виде дуги со стрелкой, указывающей направление вращения, и рядом написать величину момента m. Или, если это пространственная конструкция, показывать только вектор момента этой пары. И вектор момента пары можно прикладывать к любой точке тела. Значит, вектор момента пары – свободный вектор.

И еще одно дополнительное замечание. Так как момент пары равен вектору момента одной из сил ее относительно точки приложения второй силы, то по аналогии с III, §3 момент пары сил относительно какой-либо оси z есть проекция вектора момента пары на эту ось:

,

где – угол между вектором и направлением оси z.

Распределенная нагрузка

Ранее мы рассматривали действие на тело лишь сосредоточенных сил, сил приложенных к одной точке. Но можно привести ряд примеров, когда силы распределяются по всему объёму тела, по площади или по длине. Кстати, вес тела, сила тяжести, это тоже распределённая сила, распределённая по объёму тела, потому что на каждую точку его действует сила, её вес. А при решении задач мы вес тела показываем в виде сосредоточенной силы , равнодействующей всех сил, приложенной к центру тяжести.

Можно встретить силы распределённые по плоскости, по поверхности (например, снег, лежащий на крыше; давление газа или жидкости на поверхность сосуда). И силы, которые распределяются по линии.

Все эти распределённые силы характеризуются их интенсивностью – силой q, действующей на единицу объёма, площади или длины тела. Размерность интенсивности - Н·м^-3, Н·м^-2, Н·м^-1, соответственно.

Статически определимые системы

Статическая система называется статически определимой, если число неизвестных опорных реакций или внутренних усилий соответствует числу уравнений статики. Количество степеней свободы такой системы равно нулю степеней свободы. Величины опорных реакций и внутренних усилий по принципу механического равновесия можно определить из величин внешних нагрузок.

Статически определимой называется система, внутренние усилия которой можно определить только из уравнений статики (равновесия).

Статически определимые системы (СОС) имеют свои особенности:

1) их внутренние усилия не зависят от упругих характеристик материала, форм сечений и площадей элементов;

2) воздействие температуры, осадки опор, неточность изготовления элементов не вызывают внутренних усилий;

3) если нет внешних нагрузок, все внутренние усилия равны нулю;

4) замена нагрузки на одном из дисков статически ей эквивалентной не приводит к изменению усилий в остальной части системы;

5) изменение конфигурации какого-либо диска при сохранении связей его с остальной частью системы и с основанием не вызывает усилий в остальной части системы;

6) нагрузка, приложенная к основной части стержневой сис­темы, не вызывает усилий в прикрепленных частях, но загружение прикрепленных частей приводит к возникновению внутренних усилий и в основной части сооружения.

Cиcтемы c одной cтепенью изменяемоcти называютcя меха­низмами; c неcколькими cтепенями изменяемоcти - кинемати­чеcкими цепями. Cиcтемы cнyлевой cтепенью изменяемоcти называютcя cтатичеcки опpеделимыми. Итак, в cтатичеcки опpеделимых cиcтемах n = 0. Заметим, что n = 0 для систем, находящихся в равновесном состоянии, является необходимым, а n = 0 и W = 0 необходимым и достаточным усло­вием статической определимости и геометрической неизменяемос­ти системы. Поcколькy ypавнения pавновеcия вcегдалинейные, то для опpеделения внyтpенних cил в cтатичеcки опpеделимых cиcте­мах можно пользоватьcя пpинципом незавиcимоcти дейcтвия cил. В cтатичеcкиопpеделимых cиcтемах значения усилий можно одно­значно определить методом сечений с применением уравнений равновесия статики.

Статичеcки опpеделимые cиcтемы имеют и cвои недоcтатки, главным из котоpых являетcя отcyтcтвие pезеpвиpования. В cлyчае pазpyшения одного из элементов заданной системы, она превраща­ется в геометрически изменяемую. Данное обстоятельство снижает надежноcть и безопаcноcть статически определимых систем в экс­плуатационных режимах. В этом отношении пpеимyщеcтво имеют cиcтемы c “лишними” cвязями,т.е.c отpицательной cтепенью изменяемоcти,полyчившие название cтатичеcки неопpедели­мых cиcтем.