Раздел 3.1. Методика изучения величин в начальном курсе математики
Тема 3.1.6. Методика формирования понятия площади и навыков ее измерения
Задачи изучения темы
1. Сформировать конкретные представления о площади плоской фигуры и ее измерении.
2. Научить вычислять площадь различных плоских фигур при помощи палетки.
3. Научить вычислять площадь прямоугольника.
4. Сформировать умения решать практические задания на нахождение площадей.
Подготовительная работа к изучению данной темы проводится еще в дошкольном возрасте, когда дети сравнивают предметы по площади (не называя само слово «площадь») и правильно устанавливают отношения «больше», «меньше», «равно» («одинаково»), если сравниваемые предметы очень резко отличаются друг от друга или совершенно одинаковые. При этом дети пользуются наложением предметов или сравнивают их на глаз, сопоставляя предметы по занимаемому месту на столе, на земле, на листе бумаги и т. п. Например, лист березы меньше, чем лист клена, каток у школы больше, чем у нашего дома, все блины одинаковые - не больше и не меньше и т. п.
В процессе изучения геометрического материала сначала у детей уточняются представления о площади как о свойстве плоских геометрических фигур. Более четким становится понимание того, что фигуры могут быть различными и одинаковыми по площади. Этому способствуют упражнения на вырезывание фигур из бумаги, черчение и раскрашивание их в тетрадях и т. п. В процессе решения задач с геометрическим содержанием (например, составление фигур из заданных частей, вычленение различных фигур на сложном чертеже и т. п.) учащиеся знакомятся с некоторыми свойствами площади. Они убеждаются, что площадь не изменяется при изменении положения фигуры на плоскости (фигура не становится ни больше, ни меньше).
Последовательность изучения площади в учебнике Моро М.И. «Математика»
(УМК «Школа России»)
| Класс | Часть | Страница | Тема |
| Площадь. Единицы площади. | |||
| Квадратный сантиметр. | |||
| Площадь прямоугольника. | |||
| Квадратный дециметр. | |||
| Квадратный метр. | |||
| Единицы площади. Квадратный километр. Квадратный миллиметр. | |||
| Ар. Гектар. | |||
| Таблица единиц площади. | |||
| Палетка. |
Ввести и закрепить понятие площади можно при помощи фронтальной и индивидуальной работы с учебниками. На доске размещаются геометрические фигуры различные по форме и размеру. У детей на партах соответствующий раздаточный материал, и проводится сравнение.
 | |||||||||
 | |||||||||
 | |||||||||
 | |||||||||
 | |||||||||
Знакомство с понятием площади как с величиной, которая показывает сколько места занимает фигура на плоскости, можно провести следующим образом.
Беседа:
− Посмотрите на фигуры, прикрепленные на доске, и скажите, какая из них занимает больше всех места на доске (синий квадрат занимает места больше всех фигур). В этом случае говорят, что площадь квадрата больше, чем площадь каждой другой фигуры, расположенной на доске. Сравните площадь зеленого треугольника и синего квадрата (площадь треугольника меньше площади квадрата). Посмотрите, я сравню эти фигуры наложением – треугольник занимает только часть квадрата, значит, действительно площадь его меньше площади квадрата. Сравните на глаз площадь зеленого и площадь коричневого треугольника (у них площади одинаковые, они занимают одинаковое место на доске, хотя расположены по-разному). Проверьте наложением.
Представления о площади закрепляются у детей аналогичной практической работой, а обобщение проводят по учебнику.
Следующим шагом будет практическая работа над фигурами, которые не вмещаются одна в другую. При выполнении этого задания нужно познакомить детей со сравнением фигур при помощи их разбиения на отдельные квадраты.
Упражнения на сравнение площади фигур, составленных из одинаковых квадратов, выполняются по учебнику, а также по чертежам, данным на доске. Дети убеждаются в том, что если фигуры состоят из одинаковых квадратов, то площадь той фигуры больше (меньше), которая содержит больше (меньше) квадратов. Полезно на этом же уроке рассмотреть такой случай, когда разные по форме фигуры имеют одинаковую площадь, так как содержат одинаковое число квадратов (например, квадрат – 16 кв. ед. и прямоугольник – 16 кв. ед.).
На последующих уроках включаются упражнения на подсчет квадратов, содержащихся в заданных фигурах, предлагается начертить в тетрадях фигуры, которые состоят из заданного числа квадратов (клеточек тетради). В процессе таких упражнений начинает формироваться понятие о площади как о числе квадратных единиц, содержащихся в геометрической фигуре.
На следующем этапе учащихся знакомят с первой единицей площади – квадратным сантиметром.
Беседа:
|
|
 | |||
 | |||
|
1 
Используя бумажные модели квадратного сантиметра, дети составляют из них различные геометрические фигуры и находят подсчетом их площадь. Сравнивая площади составленных фигур, дети еще раз убеждаются, что площадь той фигуры больше (меньше), которая содержит больше (меньше) квадратных сантиметров. Площади фигур, содержащих одинаковое число квадратных сантиметров, равны, хотя фигуры могут не совмещаться при наложении.
Эффективен на этом этапе прием сопоставления знакомых детям величин – длины отрезка и площади фигуры, который помогает предупредить смещение этих величин. Выполняя конкретные упражнения, обнаруживают некоторое сходство и существенное различие этих величин: сантиметр – единица длины; квадратный сантиметр – единица площади; длина отрезка – число сантиметров, которые содержатся в данном отрезке; площадь фигуры – число квадратных сантиметров, содержащихся в этой фигуре.
На следующем этапе учащиеся знакомятся с приемом вычисления площади прямоугольника (квадрата).
Сначала рассматривают прямоугольники, которые уже разделены на квадратные сантиметры. Их площадь находят путем подсчета квадратных сантиметров в одном ряду, а затем полученное число умножают на число рядов. Например, если в одном ряду 5 кв. см, а таких рядов 2, то площадь равна 5∙2, т. е. 10 кв. см. Очень важно при этом установить соответствие между длиной прямоугольника и числом квадратных сантиметров, прилегающих к длине; шириной прямоугольника и числом рядов. Например, если в ряду 5 кв. см, то длина прямоугольника 5 см, а если рядов 2, то ширина прямоугольника 2 см
Затем дети чертят прямоугольник по заданным длинам сторон, разбивают его на ряды, а один ряд на квадраты и снова убеждаются в соответствии: если длина 4 см, то в одном ряду, прилегающем к этой стороне, содержится 4 кв. см, если ширина 3 см, то таких рядов оказывается 3. Число квадратных сантиметров равно произведению чисел 4 и 3. Делается вывод: чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно знать его длину и ширину (в одинаковых единицах) и найти произведение этих чисел.
Сравнив разные способы нахождения площади, дети сами могут решить вопрос, что легче: измерить длину и ширину прямоугольника и полученные числа перемножить или разбить прямоугольник на квадратные сантиметры и сосчитать их.
Частая ошибка учащихся – это подмена понятий периметра и площади фигур. Поэтому, задания по нахождению площади и периметра фигур дают вместе, противопоставляя их и сравнивая.
Важно, чтобы дети понимали, что фигуры с одинаковыми периметрами могут иметь разные площади и наоборот.
Далее учащиеся знакомятся с квадратным дециметром. Как и при введении квадратного сантиметра, прежде всего формируется наглядный образ новой единицы: дети чертят на клетчатой бумаге квадрат со сторонами 1 дм, вычисляют площадь данного квадрата в квадратных сантиметрах и записывают: 1 кв.дм =100 кв.см. Затем дети учатся заменять мелкие единицы крупными и наоборот. С учащимися необходимо вырезать модели и 
. Решаются задачи на вычисление площади прямоугольников (квадратов) и фигур, составленных из прямоугольников, стороны которых заданы в дециметрах либо в дециметрах и сантиметрах.
| 1 кв.м = 100 кв.дм |
| 1 кв.дм = 100 кв.см |
| 1 кв. м = 10 000 кв.см |
На следующем этапе аналогично рассматривается квадратный метр. Модель квадратного метра следует разбить на квадратные дециметры, а один из квадратных дециметров – на квадратные сантиметры. Модель квадратного метра может быть использована учителем для вывода таблицы.
Наиболее трудными для восприятия являются единицы измерения площади – ар и гектар. Следует показать учащимся, что измерения площади земельных участков используют более крупные единицы. Формирование представлений о них должно носить наглядный характер. Для этой цели следует провести экскурсию на местность. Для выполнения разметки необходимо подготовить несколько кольев, рулетку (10м), веревку. Совместно оградить участок, равный 1 ару. Ар – это квадрат со стороной 10м, гектар – 100 таких квадратов. Далее определяют соотношение: 1ар=10м∙10м=100м², 1 га= 100 м∙100 м = 10 000 
.
При таком подходе к изучению площади и единиц измерения площади у младших школьников получаются сначала конкретные представления об этих мерах, затем они используют их в вычислениях.
Для определения площади фигур, имеющих форму, отличную от прямоугольника, используется палетка. Палетка – это прозрачная пластинка, разбитая на равные квадраты.
До введения палетки можно провести практическую работу по определению площади прямоугольников, начерченных на миллиметровой бумаге. Учитель обращает внимание детей на то, что одни неполные квадраты можно «сложить» с другими так, что они образуют квадратный сантиметр. Учащиеся убеждаются в возможности замены неполных квадратов полными: число полных квадратов составляет примерно половину числа неполных.
Следует также ознакомить учащихся с нахождением приближенной площади фигуры таким способом: сосчитать все нецелые квадратные сантиметры и общее число их разделить на два, затем полученное число сложить с числом целых квадратных сантиметров, которые содержатся в данной фигуре.
В начальной школе используют палетку, каждое деление которой равно квадратному сантиметру. Наложив палетку па геометрическую фигуру, подсчитывают число целых и нецелых квадратных сантиметров, которые в ней содержатся.
Правила применения палетки:
1) разместить палетку поверх фигуры так, чтобы в ней поместилось максимальное количество целых клеточек – кв. см.;
2) отдельно пересчитать количество полностью заполненных фигурой клеток и тех, которые заняты только частично;
3) умножить количество неполных клеток на 2 и сложить результат с количеством целых клеток;
4) полученный результат и будет показывать, сколько квадратных сантиметров содержится в данной фигуре, т.е. ее площадь.
Детям необходимо объяснить, что измерение площади произвольной фигуры при помощи палетки дает приближенные результаты.
После работы можно предложить учащимся сделать альбом различных плоских геометрических фигур (на стандартные листы формата А5 наклеиваются плоские фигуры различной формы – многоугольники, ограниченные кривыми линиями, вырезанные из цветной бумаги) и определить площадь каждой из них.
Если потом учащиеся, сидящие за одной партой, поменяются своими альбомами и измерят площади фигур в альбомах друг друга, то можно сравнить полученные каждым учеником при измерении площади одной и той же фигуры результаты. Дальше проанализировать с учениками, почему полученные результаты могут быть разными. Причины различия в результатах могут быть не только в ошибке в подсчете клеточек, но и просто в другом расположении палетки, что ошибкой не является.
Обязательно практиковать определение площади плоских фигур, начерченных как на линованной, так и нелинованной бумаге.