Глава 3. Интегрирование ФКП
Определение интеграла от ФКП, вычисление и свойства
Пусть l – дуга направленной кусочно–гладкой кривой, уравнение которой где , лежащей в плоскости (z). Пусть на l лежат точки А и В. Кривая направлена, значит на ней задано направление: при возрастании t точка перемещается от т. А к т. В. Пусть на кривой задана однозначная и непрерывная ФКП . Разобьем дугу АВ произвольным образом точками на n элементарных дуг, , соответствующим значениям параметра: . Обозначим . Выберем на каждой элементарной дуге по точке , и составим интегральную сумму: .
Определение 44. Если существует конечный предел интегральной суммы при , который не зависит ни от способа разбиения дуги на элементарные дуги, ни от выбора на них точек , то он называется интегралом от функции по дуге кривой l и обозначается .
Теорема 9 (существования). Если функция непрерывна на l, то интеграл от нее по дуге l существует.
Рассмотрим функцию , где Отсюда Тогда интегральная сумма запишется в виде: .
Перейдем к пределу при и получим формулу для вычисления интеграла:
. (18)
В результате получили полную аналогию между криволинейными интегралами 2-го рода и интегралами от ФКП. Таким образом, вычисление интеграла от ФКП сводится к вычислению двух криволинейных интегралов.
Свойства
1. .
2. .
3. .
4. , .
5. .
6. Если – аналитическая функция, то интеграл не зависит от пути интегрирования l.
Замечание. Если дуга l задана параметрическим уравнением , где , то . Если дуга – окружность с центром в начале координат или часть окружности, то удобнее представить ее уравнение в виде .
Пример 1. Вычислить , где l – верхняя полуокружность с обходом против часовой стрелки (рис. 30).
Решение.
, тогда , .
, тогда .
Подставим в формулу (18) для вычисления интеграла.
.
Если в примере окружность задать параметрическим уравнением: , где , а , то интеграл преобразуется к виду:
.
Замечание. При интегрировании многозначной функции необходимо выделять ее однозначную ветвь. Это достигается обычно заданием значения многозначной функции в некоторой точке контура интегрирования.
Пример 2. Вычислить по заданному контуру , где одно из значений корня .
Решение.
– многозначная функция. Представим ее в показательной форме: .
В условии задачи рассматривается , причем , следовательно, . Тогда имеем, что , (*)
где
Для интегрирования необходимо выделить однозначную ветвь заданной функции , т.е. найти значение k. Для этого применим заданное значение многозначной функции в точке z = 1: (**)
Найдем значение корня в тригонометрической форме: .
следовательно, . Тогда получим, что . (***)
Сравним выражения (**) и (***):
условию (**) удовлетворяет та однозначная ветвь функции, для которой k = 1. Подставим k = 1 в (*):
.
Запишем переменную z в показательной форме: , а так как по условию , то . Найдем дифференциал dz: .
Пределы интегрирования даны в условии задачи: .
Подставим найденные , z, dz в исходный интеграл:
.
Теорема Коши. Интегральная формула Коши
Теорема 10 (теорема Коши). Если функция однозначная аналитическая функция в односвязной области D, ограниченной контуром L и l – замкнутый контур в области D (рис. 31), то
(19)
Если, дополнительно, функция – непрерывна в замкнутой области , то
(20)
Доказательство (19).
По формуле (18) . В силу аналитичности функции функции u (x, y) и v (x, y) образуют гармоническую пару, для которой справедлива теорема 6: . Следовательно, , что и требовалось доказать.