Построение эпюр для балки.
Эпюры с точки зрения математики - это просто графики соответствующих функций, поэтому и правила построения эпюр ни чем не отличаются от общих правил построения графиков функций. Для этого достаточно иметь соответствующее функциональное или дифференциальное уравнение.
В частности именно для этого нас, начиная со средних классов школы, подгружали такими достаточно абстрактными математическими понятиями как переменные, функция, аргумент функции, график функции, производная и дифференциал функции.
При этом школьнику, особенно мечтающему стать писателем или водителем, труднее всего объяснить, зачем эти самые функции, графики и прочие абстракции ему нужны, если после экзаменов он больше никогда в жизни о них не вспомнит? Во всяком случае до тех пор, пока у него самого не появятся дети, которым снова нужно будет выучить эти понятия и термины.
Между тем с инженерами, физиками и представителями прочих точных наук дело обстоит иначе. Так например студенты строительных специальностей на втором году обучения с удивлением узнают, что у абстрактных функций и их графиков, а также производных и дифференциалов есть вполне конкретный смысл. А в чем этот смысл заключается, мы ниже и рассмотрим на примере балок.
Примечание: перед продолжением чтения данной статьи настоятельно рекомендую ознакомиться с основами теориисопротивления материалов.
Эпюры распределенной нагрузки
Это может показаться странным, но когда мы изображаем равномерно распределенную нагрузку, действующую по всей длине балки, например такую:
Рисунок 545.1. Равномерно распределенная нагрузка, а) общепринятое изображение, б) график функции - равномерно распределенной нагрузки
То это с одной стороны вроде бы просто нагрузка q = 3 кг/м, равномерно распределенная по всей длине балки (рис.545.1.а)), а с другой стороны - это график функции у, показывающий изменение значения функции в зависимости от изменения значения аргумента х (рис.545.1.б)). Соответственно функциональное уравнение в данном случае будет иметь вид:
у = - 3 = const (545.1)
или
q = - 3 = const (545.1.2)
А смысл этих достаточно простых уравнений в том, что значение нагрузки является постоянной величиной и не зависит от значения аргумента функции, в данном случае от положения рассматриваемого поперечного сечения.
Примечание: В данном случае знак "-" используется потому, что нагрузка направлена вниз.
Вроде бы ничего сложного, но это и есть основные принципы построения эпюр для распределенной нагрузки.
Конечно же распределенная нагрузка может быть не только равномерно распределенной, действующей по всей длине балки, но и линейно или нелинейно изменяющейся, или действующей не по всей длине балки, а также может быть направлена не вниз, а вверх. Некоторые возможные варианты распределенных нагрузок показаны на рисунке 545.2:
Рисунок 545.2. Распределенные нагрузки: а) линейно изменяющаяся, б) линейно изменяющаяся, действующая не по всей длине балки, в) линейно изменяющаяся, описываемая двумя уравнениями, г) нелинейно изменяющаяся.
Но общего принципа построения эпюр нагрузок и составления соответствующего уравнения или уравнений это ни как не меняет.
Так функциональное уравнение для нагрузки, показанной на рисунке 545.2.а):
y = - x/2 (545.2)
По той простой причине, что максимальное значение нагрузки q = 2 кг/м будет в конце балки длиной l = 4 м. Другими словами значение функции у = 2 при аргументе функции х = 4.
Для нагрузки, показанной на рисунке 545.2.в) на участке от начала балки до середины:
y = x (545.3.1)
на участке от середины до конца балки:
у = 2 - х (545.3.2)
Одним словом почти для любой распределенной нагрузки можно составить уравнение, описывающее характер изменения этой нагрузки. А если нагрузка уж слишком мудреная или на балку действуют несколько распределенных нагрузок, то можно воспользоваться принципом суперпозиции, но об этом чуть позже.
Все это хорошо, скажете вы, но зачем нам строить эпюры нагрузки, ведь они у нас и так как бы есть? Действительно от студентов строительных вузов не требуют строить эпюры нагрузок. Считается, что это и так понятно. Не спорю, для тех, кому и так понятно, могут эту часть статьи пропустить (хотя уже поздно), а всем остальным это новое знание должно пригодиться, так как дальше мы будем работать именно с уравнениями функций.