Пример оформления решения заданий.

1.Вычислите значение выражения:

а) 2log ₃9; б) 3*125^1/3 +30

Решение: а) 2log ₃9 =log ₃9² =log ₃81=4; б) 3*125^1/3 +30 = 3* +1= 3*5 +1=16

2. Решите уравнение:

а)sin2х=1; б) √х−1= х-3; в) cos ²х + 2cosх-3=0

а) sin2х=1; Решение: 2х= 𝜋/2 +2 πn, n∈𝑍; разделим обе части на 2. Получаем х= 𝜋/4 + πn, n∈𝑍

Ответ: х= 𝜋/4 + πn, n∈𝑍

б) √х−1= х-3

Решение:

Возведем обе части уравнения во вторую степень. Получаем

х -1 = (х−3)²

х -1=х ² -6х +9

х² -6х +9-х+1 =0

х² -7х +10= 0

D =b² - 4ac= (-7)² -4*1*10 =9

Х1 = (7+3):2 =5; Х2 = (7−3):2 = 2.

Проверка: √5−1=5−3

2 =2 (верно); √2−1 =2-3

1 = -1 (неверно)

Ответ: 5

в) cos ²х + 2cosх-3=0

Решение: Пусть cosх=𝑦, тогда решаем уравнение 𝑦² + 2𝑦−3=0

D =b² - 4ac= 2² -4* (-3)*1 =16

У1 =(−2+4):2 =1; У2 = (−2−4):2 = -3

cosх =1 или cosх =-3

Х=2 πn, n∈𝑍 решений нет

Ответ: Х=2 πn, n∈𝑍

3.Вычислите координаты вектора 5а⃗ +2в⃗, если а⃗ (1;3;2) и в⃗ (2;-1;4)

Решение: 5а⃗ +2в⃗ = 5(1;3;2) + 2(2;-1;4) = (5+4; 15-2; 10+8) =(9; 13; 18)

Ответ:(9; 13; 18)

4.Упростите выражение: t𝑔2хsin2х +sin2х

Решение: t𝑔 ²хsin ²х +sin ²х =sin ²хcos ²х *1/sin ²х +sin ²х = cos ²х+ sin ²х =1

Ответ:1

5. Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 13000 рублей. Какую сумму он получит после вычета налога на доходы? Ответ дайте в рублях.

Решение:13000 *0,13 = 1690 (руб)- 13% от заработной платы,

13000-1690 = 11310 (руб)

Ответ: 11310 рублей.

6. Найдите: sinα и cos2α, если cosα = 15/17; 3π/2<α<2π

Решение: из основного тригонометрического тождества cos ²𝛼+ sin ²𝛼 =1, получаем sin ²𝛼 = 1-cos ²𝛼 = 1 – (15/17)² = 1- 225/289 = 289/289 – 225/289 = 64/289;

sin𝛼=√64/289 = 8/17 или sin𝛼=-√64/289 = − 8/17; т.к. 3π/2<α<2π (4 четверть), то sin𝛼= − 8/17;

cos2α = cos ²𝛼− sin ²𝛼= (15/17)² – (− 8/17)² = 225/289 – 64/289 = 161/289

Ответ: sin𝛼= − 8/17; cos2α = 161/289.

7. Найдите область определения функции:

y = √64−х²

Решение:

Т.К. функция представлена в виде квадратного корня, который имеет смысл для неотрицательных чисел, то 64−х ²≥0; (8-х) (8+х) ≥0; х1 = 8 или x2 = -8 По методу интервалов находим, что x принадлежит промежутку [-8; 8]

Ответ: х∈ [−8;8]

8. Решите уравнение: 4^х+3-4^х =255

Решение:

Т.к. а^х * а^у = а^х+у (по свойству степени), то 4^х *4³ – 4^х =255

4^х (256-1) =255; 4^х (255) =255; 4^х =1; 4^х = 4⁰ по свойству монотонности функции, получаем:

Х=0. Ответ: 0

Ответ:0

9. Исследуйте функцию на возрастание и убывание, точки экстремума: f(x)=x³ – 3x + 2

Решение:

1. Область определения – любые числа, т.к. функция представлена в виде многочлена.
2. f’(x)=(x³ – 3x + 2)’ = 3x² – 3.
3. Чтобы найти критические точки необходимо решить уравнение f’(x)=0/

3x² – 3 = 0

x² = 1

x₁ = 1 и x₂ = -1

1. Отметим эти точки на координатной прямой.

+

–

+

-1

f’(x)

f(x)

x

 

 

х (- ;-1), f’(-2)=3(-2)² – 3 = 9 > 0 функция возрастает.

x (-1;1), f’(0) = 3 · 0² – 3 = -3 > 0 функция убывает.

x (1;+ ), f’(2) = 3 · 2² – 3 = 9 > 0 функция возрастает на этом промежутке.

В точке х=-1 производная поменяла знак с плюса на минус – значит это точка максимума;

В точке х=1 производная поменяла знак с минуса на плюс – значит это точка минимума.

Ответ: функция возрастает при x (- ;-1] [1;+ ); убывает при х [-1;1].

x=-1 – max

x=1 – min

10. Вычислить производные

1. 

Воспользуемся правилами вычисления и таблицей производных:

1. y=3^tgx

Это сложная функция

3. y=arcsin e^x

11.Вычислить определенный интеграл .

Решение: по формуле Ньютона – Лейбница:

12. В правильной треугольной призме стороны основания 5 см, высота-10 см Найдите объем.

Дано: АВСС1В1А1 треугольная призма, прямая, правильная АВ=ВС=АС = 5 см, Н = 10 см Найти: V Решение: Формула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, в, c: Sосн = где p — полупериметр треугольника: р = (а+в+с):2, р = 15:2 =7,5 Sосн= √7,5(7,5-5)(7,5-5)(7,5-5)= 7,7 (см2) V= Sосн.•H = 7,7•10=77 (см3)

13. В четырехугольной пирамиде SАВСД основание прямоугольник со сторонами-3 и 6 см, высота-10см. Найдите объем.

	Дано: SАВСД – пирамида, АВ=3см, ВС= 6см, пирамида неправильная, Н=10см, Найти: . V   Решение: V = 1/3•Sосн.•Н
Sосн.= АВ·ВС=3·6=18(см2), V=1/3· Sосн·Н = 1/3·18·10 = 60(см3).

14. Решить неравенство.

Решение.

ОДЗ: откуда имеем x [-1; 5) (5; + )

Решим уравнение Числитель дроби равен 0 при x = -1, это и есть корень уравнения. Отметим найденный корень на чертеже (черным кружком, т.к. неравенство нестрогое), предварительно отметив ОДЗ:

Чтобы определить знак на промежутке (-1; 5) возьмем число 0, Чтобы определить знак на втором промежутке возьмем число 8,

Точки 0 и 8 выбирались произвольно, но так, чтобы упростить процесс вычисления каждого значения функции.

Ответ: (-5; + ).

15. Решить неравенство (2x - 6)(3x + 12)(5x + 1)<0.

Решение.

Нули функции: - 4; - 0,2; 3.

Функция в левой части неравенства представляет собой произведение не повторяющихся множителей, значит знаки этой функции чередуются cправа на лево с "+" на "-"....

Решение данного неравенства x (- ; -4) (-0,2; 3).

16.

Решить неравенство:

Решение

Представим обе части неравенства как степени с основанием 2:

17. Вычислить значение производной функции у=(3х-1)⁴ в точке х=1

Решение: Найдем производную у ^/ =(3х-1)^/ 4(3х-1)³=3*4(3х-1)³= 12(3х-1)³ Подставим х=1 в полученное выражение у^/(1) = 12(3-1)³ =12*2³=12*8=96

Выполните задание и отправьте фотоочет (всех страниц по порядку) на адрес: popova_marine63@mail.ru в этот же день через 4 часа от начала экзамена. Работа будет оцениваться после того, как будут сданы все долги (список прилагается):

Акжолов -п/з№ 27 и 2 лекции

Дмитриев-3 лекции

Долгополов-контрольную и 3 лекции

Гнездилов- п/з №26, 27, 28.контрольную и 3 лекции

Ионашку- п/з №26, 27, 28.контрольную и 3 лекции

Пастухов- п/з 27, 28.контрольную и 3 лекции

Рыгин- контрольную и 3 лекции

Савушкин- 3 лекции

Стрельников- п/з 27, 28. контрольную и 3 лекции

Шаталов- п/з №27, 28. контрольную и 3 лекции