Определение, примеры и основные свойства.
Полукольцо S с 1 называется положительным, если для любого элемента а 
S элемент а+1 обратим в S, т.е. 
.
Примерами положительных полуколец служат следующие алгебраические системы:
1. ограниченные дистрибутивные решетки;
2. полукольца непрерывных R+ - значных функций;
3. множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.
Полукольцо S называется ограниченым, если для любого 
выполняется 
. Ограниченное полукольцо – частный случай положительного полукольца.
Примеры ограниченных полуколец:
1. ограниченные дистрибутивные решетки;
2. множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.
2.1.Основные свойства положительных и ограниченных полуколец:
I. Для полукольца S следующие условия равносильны:
1. S – положительное полукольцо;
2. для любого максимального одностороннего идеала M в S и любых a и b 
S
(a+b M) 
(a M & b M).
Доказательство:
1 
2. Пусть 
для произвольных 
и максимального правого идеала M. Предположим, что 
, тогда 
и 
для некоторых 
и 
. Имеем:
.
В левой части последнего равенства – элемент из M, тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.
2 1. Пусть выполнено 2 и с – произвольный элемент из S. Элемент 1+с не лежит ни в одном максимальном одностороннем идеале полукольца S (т.к. в противном случае в силу условия 2 в идеале должен лежать элемент 1, противоречие), значит, 1+с обратим.
II. В положительном полукольце S справедливы импликации:
Доказательство. Пусть 
. Поскольку S положительно, то для x+1 найдется некоторый 
, такой что 
. Тогда
,т.к. 
. Получили y=1 и значит 
.
Таким образом мы доказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оно ограниченно,
Теперь, пусть 
, тогда 
,т.е. такое полукольцо еще и аддитивно идемпотентно.
Поскольку 
выполняется для 
, то для x=1, также выполняется. Обратно, 1+1=1, помножим обе части на x и получим необходимое равенство.
III. Полукольцо S положительно тогда и только тогда, когда для любого элемента 
и любого обратимого элемента 
элемент 
обратим.
Доказательство.
Полукольцо положительно, следовательно, элемент 
- обратим. Умножим обратимый элемент на обратимый, получим обратимый.
В левой части обратимый элемент, значит и в правой элемент тоже обратим.
и 
– обратимы, тогда их произведение также обратимо 
, значит 
обратим.
IV. Для коммутативного положительного полукольца S равносильны следующие условия:
1. S – дистрибутивная решетка.
2. 
Доказательство.
. Очевидно.
. По свойству 2 следует 
, тогда:
и 
.
Эти условия наряду с ассоциативностью, коммутативностью и идемпотентными законами определяют дистрибутивную решетку.
V. В ограниченном полукольце единица 1 – единственный обратимый элемент.
Доказательство.
Пусть есть некоторый обратимый элемент u,
и 
VI. Пусть a – фиксированный элемент полукольца S, тогда каждое из утверждений влечет следующее утверждение:
1. a+1=1;
2. 
3. 
Доказательство.
. Докажем методом математической индукции по числу n.
I. База. к=1. (выполняется по условию).
II. Индуктивное предположение. Пусть для к<n условие выполняется, т.е. 
Рассмотрим для k=n
и a+1=1 
Из I и II Следует 
.
. 
.
Можно выбрать из всего количества N, некоторое число, для которого тоже данное выражение будет верно.
Примером того, что условие 3 не влечет условие 1 является полукольцо матриц 
. Зафиксируем элемент 
, где 
. Для n=2
верно, но 
совсем неверно.
VII. Если S – полукольцо с мультипликативным сокращением и аддитивно идемпотентно, то все утверждения предыдущего свойства равносильны.
Доказательство.
Осталось доказать 
.
Имеем 
. Добавим к правой и левой части выражения равные элементы 
:
В силу аддитивной идемпотентности мы можем подбирать коэффициенты перед 
. В соответствии с биномом Ньютона, подберем коэффициенты и получим:
Используя мультипликативную сократимость, получим a+1=1. Что и доказывает равносильность условий 1 – 3.
VIII. Пусть S – ограниченное полукольцо, и существует такое 
, что 
для всех 
. Тогда:
1. 
для всех 
;
2. 
- коммутативное ограниченное полукольцо с 1, где I – множество всех мультипликативных идемпотентов из S, а операция 
определяется так:
.
Доказательство.
1. Возьмем 
.
Тогда 
, т.к. 
.
Для доказательства понадобится
Лемма: В ограниченном полукольце
.
Доказательство: ММИ по числу n в 
.
I. База. n=1. Из условия ограниченности
II. И.П. n=i-1.
Из условия II и ограниченности:
.
По ИП:
Из условий I,II получили, что данное равенство верно для 
, лемма доказана.
Рассмотрим 
:
Поскольку степень равна 2n-1, то в каждом из составляющих сумму слагаемых, либо 
(1 группа), либо 
(2 группа), и только так.
Среди слагаемых 1 группы имеется член 
. Этот член в сумме с каждым слагаемым 1 группы будет давать самого себя, при условии 
и лемме 1. из группы 1 останется только элемент 
Аналогично с элементами группы 2, в которой имеется элемент 
, который и останется. Получаем
2.Прежде всего проверим замкнутость операций и + на множестве I.
(1) Поскольку в качестве аддитивной операции выбрано сложение, и все элементы из полукольца, значит (I,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0.
(2) Докажем, что 
- коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1:
a). Ассоциативность:
Рассмотрим элемент 
Элемент X состоит из таких слагаемых, которые получены при умножении, кроме тех которые получены при произведении со всеми 1, или со всеми с. Элемент 
имеется в качестве сомножителя в каждом слагаемом X, т.е.
С другой стороны 
Таким образом, правые части рассматриваемых тождеств равны, значит ассоциативность доказана. 
b). 1 – нейтральный элемент:
с). Коммутативность:
, 
1. 
2. 
Из 1 и 2 следует 
, по причине равенств правых частей каждого, а значит следует равенство 
. Коммутативность доказана. 
- коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1.
(3) Дистрибутивность:
(4) 
Все аксиомы полукольца доказаны, а значит 
- коммутативное полукольцо и его элементы – элементы ограниченного полукольца, значит полукольцо – ограничено.
IX. Если в положительном полукольце S выполняется равенство
,
то S – аддитивно идемпотентно.
Доказательство.
Рассмотрим t>1
Рассмотрим t=1, 
…
т.к. полукольцо положительно, то в обеих частях обратимые элементы, домножим на обратный и получим 1+1=1, умножим обе части на u, получим u+u=u, что и означает аддитивную идемпотентность.
X. В положительном полукольце S 
справедливо следующее тождество:
Доказательство.
Домножим на обратный к 
: 
Получим:
Что и требовалось доказать.