1. Высшая математика для экономистов: учебник / под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 1997.
2. Кириллов, А.Л. Введение в математический анализ элементарных функций: курс лекций / А.Л. Кириллов. – СПб., 1998.
3. Турецкий, В.Я. Математика и информатика: учеб. пособие для вузов / В.Я. Турецкий. – М.: ИНФРА-М, 2005.
Составитель – В.Г. Антонов,
канд. физ.-мат. наук, проф. кафедры
информационных систем, математики
и естественнонаучных дисциплин ГОУ ВО КРАГСиУ
Для направлений “Юриспруденция”,
“Документоведение и архивоведение”
ПРОГРАММА КУРСА
Раздел I. Аксиоматический метод в математике
Тема 1. Сущность аксиоматического метода.
Принципы построения аксиоматической теории. Геометрия Евклида. Идея неевклидовых геометрий. История вопроса.
Тема 2. Алгебра высказываний.
Понятие высказывания. Операции над высказываниями. Формулы алгебры высказываний. Тавтологии. Основные законы алгебры высказываний. Правильные рассуждения. Примеры.
Тема 3. Элементы теории множеств.
Понятие множества. Операции над множествами. Бинарные отношения на множестве.
Тема 4. Элементы логики предикатов.
Основные понятия и примеры логики предикатов. Кванторы. Использование логической символики в записи рассуждений.
Раздел II. Основные и составные алгебраические структуры
Тема 5. Алгебраические структуры.
Алгебраическая операция на множестве. Группа. Кольцо. Поле. Векторное пространство. Основные примеры.
Тема 6. Функции.
Определение функции. Способы задания функции. Свойства функции. График функции. Монотонные функции. Четные и нечетные функции.
Тема 7. Идея предела в математике.
Предел в метрическом пространстве. Предел последовательно-сти. Основные теоремы о пределах.
Тема 8. Дифференциальное исчисление.
Определение производной. Геометрический смысл производной. Правила дифференцирования. Применение производной к исследованию функций.
Тема 9. Интегральное исчисление.
Неопределенный интеграл, его свойства. Методы интегрирования Определенный интеграл. Применение определенного интеграла к решению практических задач.
Раздел III. Теория вероятностей и математическая статистика
Тема 10. Комбинаторика.
Основные понятия. Правила суммы и произведения. Формула включений и исключений. Сочетания, размещения, перестановки (с повторениями и без повторений).
Тема 11. Основные понятия теории вероятностей.
Случайные события. Классическое определение вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Независимые испытания, формула Бернулли. Асимптотические формулы.
Случайные величины (дискретные и непрерывные), их числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение). Законы распределения случайных величин.
Тема 12. Элементы математической статистики.
Выборочный метод. Интервальные оценки параметров. Оценка закона распределения. Общая схема проверки гипотез.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Таблица выбора варианта
| Буквы фамилии, имени, отчества | Номера задач варианта контрольной работы | ||||||||||
| А, Б, В | |||||||||||
| Г, Д, Е, Ё | |||||||||||
| Ж, З, И, Й | |||||||||||
| К | |||||||||||
| Л, М | |||||||||||
| Н, О | |||||||||||
| П, Р | |||||||||||
| С, Т, У | |||||||||||
| Ф, Х, Ц, Ч | |||||||||||
| Ш, Щ, Ы, Ь, Ъ, Э, Ю, Я |
Например, студент Лесь Игорь Петрович. Его первое задание определяется первой буквой фамилии “Л” – задание № 5, второе – второй буквой – № 12, третье – № 28, четвертое – № 40, пятое определяется первой буквой имени – № 43 и т.д. В результате у данного студента вариант контрольной работы имеет задания: 5, 12, 28, 40, 43, 52, 66, 77, 80, 97.
Задание 1. Проверьте правильность рассуждения, применяя математические методы:
1. Если Василий победит на выборах, то он будет доволен. А если он будет доволен, то он плохой борец в предвыборной кампании. Но если он провалится на выборах, то он потеряет доверие партии. Он плохой борец в предвыборной кампании, если он потеряет доверие партии. Если он плохой борец в предвыборной кампании, ему следует выйти из партии. Василий либо победит на выборах, либо провалится. Следовательно, ему нужно выйти из партии.
2. Я выхожу из дома либо поздно, либо вовремя. Если я выхожу из дома вовремя, то сразу же сажусь в автобус. Если я выхожу из дома поздно, то я не смогу сесть в переполненный автобус. Если я сажусь в автобус сразу же, то успеваю на занятия. Следовательно, я успеваю на занятия только тогда, когда выхожу из дома вовремя.
3. Если завтра будет холодно и рукав будет почищен, то я надену теплое пальто. Завтра будет холодно, а рукав не будет почищен. Следовательно, я не надену теплое пальто.
4. Если Иван переутомился или болен, то он раздражается и у него болит голова. Иван сегодня не принимал лекарство от головной боли. Следовательно, Иван не болен.
5. Если Иван приходит домой не поздно и в хорошем настроении, то он смотрит телевизор. Когда он смотрит телевизор, то всегда что-нибудь ест. Иван пришел домой не поздно и ничего не ест. Следовательно, он пришел домой в плохом настроении.
6. Если он обладает большими знаниями, или удачлив, то он добьется цели. Если он не будет обладать большими знаниями, то он не сможет быть удачливым. Следовательно, если он не обладает большими знаниями, то он не добьется цели.
7. Если он будет обладать большими знаниями и будет удачливым, то он добьется цели. Если он будет удачливым, то он не сможет обладать большими знаниями. Следовательно, если он не добьется цели, то он не обладает большими знаниями.
8. Если в результате эксперимента получен неверный результат, то либо в теоретических расчетах есть ошибка, либо эксперимент был поставлен неправильно. Не могут быть одновременно и ошибка в теоретических расчетах и неправильно поставленный эксперимент. Если в теоретических расчетах нет ошибки, то эксперимент поставлен правильно. Следовательно, в результате эксперимента получен верный результат.
9. Если цены высоки, то заработная плата высока. Цены высоки или применяется регулирование цен. Если применяется регулирование цен, то нет инфляции. Инфляция наблюдается. Следовательно, заработная плата высока.
10. Я продам свои акции только тогда, когда буду уверен в себе и будет согласна жена. Жена согласна продать мои акции, но я не сделал этого, а решил повременить. Следовательно, я не уверен в себе.
Задание 2. Задано бинарное отношение r на множестве М = {1,2,3,4}. Является ли оно рефлексивным, симметричным, антисимметричным, транзитивным. Ответ обоснуйте (см. табл. 1).
Т а б л и ц а 1
| Номер задачи | Отношение r |
| {(1,1), (1,2), (1,3), (2,3), (3,3), (4,1), (4,4)} | |
| {(1,1), (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,3), (4,4)} | |
| {(1,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} | |
| {(1,1), (1,2), (1,4), (2,2), (2,3), (3,3), (4,4)} | |
| {(1,1), (1,3), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} | |
| {(1,1), (1,2), (3,1), (3,2), (3,3), (4,4)} | |
| {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,4), (4,4)} | |
| {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3), (4,3)} | |
| {(1,4), (2,3), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3)} | |
| {(2,1), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1)} |
Задание 3. На множестве Е рассмотрите операции: сложение, вычитание, умножение. Являются ли они бинарными на Е? Ответ обоснуйте (см. табл. 2).
Т а б л и ц а 2
| Номер задачи | Множество Е |
| Множество всех отрицательных целых чисел | |
| Множество всех четных натуральных чисел: Е = {2 n ½ n ÎN} | |
| Множество всех отрицательных рациональных чисел | |
| Множество всех целых чисел, кратных трем: Е = {3 n ½ n ÎZ} | |
| Множество всех целых чисел, кратных четырем: Е = {4 n ½ n ÎZ} | |
| Множество всех целых чисел, кратных пяти: Е = {5 n ½ n ÎZ} | |
| Множество всех целых чисел, кратных шести: Е = {6 n ½ n ÎZ} | |
| Множество всех целых чисел, кратных семи: Е = {7 n ½ n ÎZ} | |
| Множество всех целых чисел, кратных восьми: Е = {8 n ½ n ÎZ} | |
| Множество всех целых чисел, кратных девяти: Е = {9 n ½ n ÎZ} |
Задание 4. Докажите, что в метрическом пространстве с метрикой r(М1,М2) пределом последовательности {Мn} является точка М0 (см. табл. 3).
Т а б л и ц а 3
| Номер задачи | r(М1, М2) | М n | М0 |
| ( , ,  )
| (0,0,1) | |
|
| (, , )
| (0,1,1) | |
| ô x 1- x 2ô+ô y 1- y 2ô+ô z 1- z 2ô | (, ,  )
| (0,0,1) | |
| ( ,  )
| (0,2) | |
| ( ,  )
| (1,0) | |
| ô x 1- x 2ô+ô y 1- y 2ô | ( , )
| (2,0) | |
|
| ( ,  ,  )
| (0,-1,1) | |
|
| ( ,  ,  )
| (0,  ,1)
| |
| ô x 1- x 2ô+ô y 1- y 2ô+ô z 1- z 2ô | ( ,  ,  )
| (0,-2,1) | |
|
| ( ,  ,  )
| (0,0,0) |
Задание 5. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули n карт. Сколькими различными способами это можно сделать? В скольких случаях окажется ровно k тузов (см. табл. 4)?
Т а б л и ц а 4
| Номер задачи | n | k |
Задание 6. Сколько чисел во множестве чисел от 1 до N не делится на k, m, p (см. табл. 5)?
Указания:
а) число чисел во множестве N = {1,2,3, …, N }, не делящихся на t, равно целой части числа, т.е. n(t) = [ ];
б) для решения задачи воспользуйтесь формулой включения и исключения.
Т а б л и ц а 5
| Номер задачи | N | K | m | p |
Задание 7. Найдите вероятность указанного события (см. табл. 6).
Т а б л и ц а 6
| Номер задачи | Условие задачи |
| На базе находятся лампы, изготовленные двумя заводами. Среди них 70% изготовлены первым заводом, 30% – вторым. Известно, что из каждых 100 ламп, произведенных первым заводом, 90 удовлетворяют стандарту, а из каждых 100 ламп, произведенных вторым заводом, удовлетворяют стандарту 80. Найти вероятность того, что взятая наудачу стандартная лампа произведена на первом заводе | |
| Пассажир может купить билет в одной из трех касс. Вероятности обращения к каждой кассе равны соответственно 0,5, 0,2 и 0,3. Вероятности того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся билеты в кассе будут распроданы, для каждой кассы равны 0,3, 0,6 и 0,1 соответственно. Пассажир купил билет в одной из касс. Найти вероятность того, что билет куплен в первой кассе | |
| В группе 5 отличников, 12 хорошо успевающих и 9 занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только оценку “5”, хорошо успевающие с равной вероятностью могут получить оценку “4” или “5”, слабо успевающие с равной вероятностью могут получить оценки “4”, “3” и “2”. Для сдачи экзамена наугад вызывается один студент и он сдает экзамен на оценку “4”. Найти вероятность того, что вызванный студент из занимающихся слабо | |
| В первой из двух урн находятся 3 белых шара и 1 черный, во второй – 2 белых и 2 черных. Из одной наудачу выбранных урн наудачу извлечены 2 шара. Ими оказались 1 белый и 1 черный. Найти вероятность того, что эти шары извлечены из второй урны | |
| На базе находятся лампы, изготовленные двумя заводами. Среди них 60% изготовлены первым заводом, 40% – вторым. Известно, что из каждых 100 ламп, произведенных первым заводом, 90 удовлетворяют стандарту, а из каждых 100 ламп, произведенных вторым заводом, удовлетворяют стандарту 80. Найти вероятность того, что: взятая наудачу стандартная лампа произведена на втором заводе | |
| В первой из двух урн находятся 3 белых шара и 1 черный, во второй – 2 белых и 2 черных. Из одной наудачу выбранных урн наудачу извлечены 2 шара. Ими оказались 1 белый и 1 черный. Найти вероятность того, что эти шары извлечены из первой урны | |
| В группе 8 отличников, 10 хорошо успевающих и 5 занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только оценку “5”, хорошо успевающие с равной вероятностью могут получить оценку “4” или “5”, слабо успевающие с равной вероятностью могут получить оценки “4”, “3” и “2”. Для сдачи экзамена наугад вызывается один студент и он сдает экзамен на оценку “4”. Найти вероятность того, что вызванный студент из занимающихся слабо | |
| Пассажир может купить билет в одной из трех касс. Вероятности обращения к каждой кассе равны соответственно 0,6, 0,1 и 0,3. Вероятности того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся билеты в кассе будут распроданы, для каждой кассы равны 0,3, 0,6 и 0,1 соответственно. Пассажир купил билет в одной из касс. Найти вероятность того, что билет куплен во второй кассе | |
| В первой из двух урн находятся 2 белых шара и 2 черных, во второй – 2 белых и 3 черных. Из одной наудачу выбранных урн наудачу извлечены 2 шара. Ими оказались 1 белый и 1 черный. Найти вероятность того, что эти шары извлечены из первой урны | |
| В группе 5 отличников, 12 хорошо успевающих и 9 занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только оценку “5”, хорошо успевающие с равной вероятностью могут получить оценку “4” или “5”, слабо успевающие с равной вероятностью могут получить оценки “4”, “3” и “2”. Для сдачи экзамена наугад вызывается один студент и он сдает экзамен на оценку “5”. Найти вероятность того, что вызванный студент из отличников |
Задание 8. В результате обследования бюджета 150 семей горо-да были получены следующие данные (см. табл. 7). Задание: а) найдите вероятность того, что средний доход на члена семьи в городе отклоняется от среднего дохода, полученного в выборке, не более, чем на 400 руб. (по абсолютной величине), если число семей в городе достаточно велико по сравнению с объемом выборки; б) используя c2-критерий Пирсона на уровне значимости a = 0,05, проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – доход на одного члена семьи в месяц – распределена по нормальному закону; построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.
Т а б л и ц а 7
| Номер задачи | Условие задачи | ||||||
| Доход на одного члена семьи в месяц, тыс. руб. | 6–7 | 7–8 | 8–9 | 9–10 | 10–11 | 11–12 | |
| Число семей | |||||||
| Число семей | |||||||
| Число семей | |||||||
| Число семей | |||||||
| Число семей | |||||||
| Число семей | |||||||
| Число семей | |||||||
| Число семей | |||||||
| Число семей | |||||||
| Число семей |