Классификация плоских кривых

В этом параграфе рассмотрим классификацию плоских кривых.

Так как характерные особенности формы кривой и её свойства определяются особенностями и свойствами соответствующего ей уравнения, то естественно положить в основу классификации кривых природу их уравнений – подразделение уравнений на алгебраические и трансцндентные. Здесь, однако, возникает затруднение, заключающееся в том, что природа уравнения кривой зависит не только от природы самой кривой, но и от той системы координат, к которой отнесена кривая. Одна и та же кривая в одной системе координат может выражаться алгебраическим уравнением, а в другой – трансцендентным. Более того иногда достаточно изменить положение системы и уравнение кривой, которое было алгебраическим, становится трансцендентным. Так, например, в полярной системе координат уравнение окружности с центром в полюсе имеет вид и является, как видно, алгебраическим: но достаточно поместить полюс в какую-либо точку , как уравнение принимает вид и становится, таким образом, трансцендентным.

Указанный недостаток отсутствует, однако, у прямоугольной декартовой системы координат. Параллельное смещение и поворот этой системы не меняют не только природу уравнения этой кривой, но и степень этого уравнения, если оно было алгебраическим. Естественно поэтому подразделить все кривые на алгебраические и трансцендентные соответственно тому, будут ли их уравнения алгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат.

а) Алгебраические кривые

Внутри обширного семейства алгебраических линий в свою очередь производят подразделение кривых, в основу которого полагается понятие порядка кривой, определяемого степенью её уравнения.

Соответственно этому алгебраической кривой n-го порядка называется кривая, уравнение которой, после освобождения его от дробей и радикалов, записывается в декартовой системе координатв виде

Очевидно, число членов уравнения равно . Разумеется, в частном случае некоторые коэффициенты могут быть нулями.

Если левая часть уравнения кривой разлагается на множители то такому уравнению будет соответствовать система кривых В этом случае кривую n-го порядка называют распадающейся или приводимой.

В частности, когда левая часть уравнения кривой, которую мы обозначим через f (x, y), является однородной функцией n-го измерения, кривая вырождается в систему прямых линий. Действительно, по известному свойству однородных функций, мы, полагая , будем иметь , и если a₁, a₂, …,a_n – корни уравнения , то

Приравнивая к нулю каждый множитель, получим систему n прямых (среди которых могут быть и мнимые).

Рассмотрим разновидности алгебраических кривых.

Класс алгебраической кривой. Формулы Плюккера.

Алгебраические кривые классифицируются не только по их порядку, но и по их классу и роду (жанру).

Класс алгебраической кривой определяется степенью её уравнения в тангенциальных координатах – так называются коэффициенты u и v в уравнениях прямых , касающихся данной алгебраической кривой.

класс кривой может быть также определён числом касательных, действительных и мнимых, которые можно провести к этой кривой из произвольной точки, не лежащей на ней.

Для получения тангенциального уравнения кривой и, следовательно, для определения её класса, представим себе, что данная кривая пересечена прямой . Условие того. что две точки её пересечения с кривой совпадают между собой, записанное в форме равенства, связывающего u и v, и будет искомым тангенциальным уравнением кривой.

Так, например, желая найти тангенциальное уравнение окружности x²+y²=1, пересечём её прямой . Исключая у из уравнения этой прямой и окружности, получим (u²+v²) x²+2ux+(1-v²)=0. Условием касания прямой и окружности будет совпадение корней этого квадратного уравнения, что приводит к равенству v²(1-u²-v²)=0. Подобным же образом получим равенство u²(1-u²-v²)=0. Очевидно, полученные равенства будут удовлетворяться, если 1-u²-v²=0. Это и есть тангенциальное уравнение заданной окружности.

Если, наоборот, необходимо перейти от тангенциального уравнения f (u, v)=0 кривой к её обычному уравнению, то следует присоединить к этому уравнению уравнение пучка всех касательных к кривой, проходящих через точку М (х, у). Условие того, что эта точка будет точкой касания, выразится равенством, определяющим условие совпадения двух касательных в одну (так как в тангенциальных координатах каждая точка кривой определяется как точка пересечения двух бесконечно близких касательных). Это равенство и будет искомым уравнением кривой в исходной системе.

Так, например, если дана в тангенциальных координатах кривая u+v+uv=0, то, желая иметь её обычное уравнение, рассмотрим пучок прямых , проходящих через произвольную точку М (х, у). Найдём те прямые этого пучка, которые касаются кривой. Исключая u из заданного уравнения кривой и уравнения пучка, получим: v²y+v (1+y-x)+1=0. Для того, чтобы две прямые, определяемые двумя значениями v в этом равенстве, совпали в одну, необходимо, чтобы эти значения v были равны между собой, а последнее произойдёт, если будет справедливым равенство (1+y-x)²-4y=0, которое и представляет собой обычное уравнение заданной кривой.

Порядок и класс линии, вообще говоря не совпадают, за исключением кривых второго порядка, которые одновременно являются кривыми второго класса. В общем случае при определении класса кривой приходится принимать во внимание не только её порядок, но и ряд её характерных особенностей – наличие у неё двойных точек, точек перегиба, двойных касательных и т.д. Именно, если n – порядок кривой, k – класс кривой, d – число двойных точек (узловых и изолированных), r – число точек возврата, t – число двойных касательных (т.е. прямых, касающихся кривой в двух точках), w – число точек перегиба кривой, то между всеми этими величинами существуют следующие соотношения:

k=n (n – 1) – 2d – 3r, n=k (k – 1) – 2t – 3w,

w=3n (n – 2) – 6d – 8r, r=3k (k – 2) – 6t – 8w.

Эти равенства называются формулами Плюккера и были приведены им впервые в его «Системе аналитической геометрии на плоскости» в 1834 году.