Моделирование разогрева жала паяльника с учетом потерь тепла на излучение
Введение
В технологии ЭА (электронной аппаратуры) поддержание на заданном уровне температуры жала паяльника является весьма важной задачей, поскольку при формировании электромонтажных соединений на печатных платах с использованием микросхем, полупроводниковых приборов и функциональных элементов, термочувствительных и критичных к нагреву, возможны выход из строя дорогих и дефицитных элементов, снижение надежности изделия. Особенно критична к температурному режиму ручная пайка паяльником, которая имеет следующие параметры: температура жала паяльника 280 - 320°С, время пайки не более 3 с. Однако из-за интенсивной теплоотдачи сначала в припой, набираемый на жало, а затем в паяемые элементы температура рабочей части жала паяльника снижается на 30-110°С и может выйти из оптимального температурного интервала пайки. В связи с этим становится актуальным моделирование разогрева жала паяльника.
Процесс создания математических моделей трудоемок, длителен и требует использования труда специалистов достаточно высокого уровня, имеющих хорошую подготовку как в предметной области, связанной с объектом моделирования, так и в области прикладной математики, современных математических методов, программирования, знающих возможности и специфику современной вычислительной техники. Необходимость построения таких моделей требует разработки системы правил и подходов, позволяющих снизить затраты на разработку модели и уменьшить вероятность появления трудноустранимых впоследствии ошибок.
В связи с этим возникает роль «простого», доступного моделирования, которое смог бы осуществить специалист, студент имеющий не высокий уровень подготовки как в предметной области, связанной с объектом моделирования, так и в области прикладной математики, современных математических методов, программирования.
Решением данной проблемы является среда программирования MathCAD, которая является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Пользователи Mathcad - это студенты, ученые, инженеры, разнообразные технические специалисты. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов (графики самых разных типов, мощных средств подготовки печатных документов и Web-страниц), Mathcad стал наиболее популярным математическим приложением.
Таким образом, цель данной работы заключается в моделировании разогрева жала паяльника с учётом потерь тепла на излучение. Для решения данной задачи воспользуемся системой MathCAD.
Теоретическое описание разогрева жала паяльника с учётом потерь тепла на излучение
Рассмотрим однородный стержень длины L, теплоизолированный с боков и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой. Если концы стержня поддерживать при постоянных температурах u1 и u2, то, как хорошо известно, вдоль стержня устанавливается линейное распределение температуры (рис. 36)
(1)
При этом от более нагретого к менее нагретому концу стержня будет перетекает тепло. Количество тепла, протекающего через сечения стержня площади S за единицу времени, даётся экспериментальной формулой:
(2)
где k - коэффициент теплопроводности, зависящий от материала стержня.
Величина теплового потока считается положительной, если тепло течёт в сторону возрастания х.
Рассмотрим процесс распространения температуры в стержне. Этот процесс может быть описан функцией u (x, t), представляющей температуру в сечении х в момент времени t. Найдём уравнение, которому должна удовлетворять функция u (x, t). Для этого сформулируем физические закономерности, определяющие процессы, связанные с распространением тепла.
. Закон Фурье. Если температура тела неравномерна, то в нём возникают тепловые потоки, направленные из мест с более высокой температурой в места с более низкой температурой.
Количество тепла, протекающего через сечение х за промежуток времени (t, t+dt), равно:
(3)
(4)
плотность теплового потока, равная количеству тепла, протекшего в единицу времени через площадь в 1 см2. Этот закон представляет обобщение формулы (2). Ему так же можно придать интегральную форму:
(5)
где Q - количество тепла, протекающего за промежуток времени (t1, t2) через сечение х. Если стержень неоднороден, то k является функцией от х.
. Количество тепла, которое необходимо сообщить однородному телу, чтобы повысить его температуру на ∆u, равно:
(6)
где с - удельная теплоёмкость, m - маса тела, ρ - его плотность, V - объём.
Если изменение температуры имеет различную величину на разных участках стержня или если стержень неоднороден, то:
(7)
. Внутри стержня может возникать или поглощаться тепло (например, при прохождении тока, вследствие химической реакции и т.д.). Выделение тепла может быть характеризовано плотностью тепловых источников F (x, t) в точке х в момент t1). В результате действия этих источников на участке стержня (х, х+dx) за промежуток времени (t, t+dt) выделится количество тепла:
(8)
или в интегральной форме:
(9)
где Q - количество тепла, выделяющегося на участке стержня (х1, х2) за промежуток времени (t1, t2).
Уравнение теплопроводности получается при подсчёте баланса тепла на некотором отрезке (х1, х2) за некоторый промежуток времени (t1, t2). Применяя закон сохранения энергии и пользуясь формулами (5), (7) и (9), можно написать равенство:
(10)
которое представляет уравнение теплопроводности в интегральной форме.
Чтобы получить уравнение теплопроводности в дифференциальной форме, предположим, что функция u (x, t) имеет непрерывные производные uxx и ut2).
Пользуясь теоремой о среднем, получаем равенство:
(11)
которое при помощи теоремы о конечных приращениях можно преобразовать к виду:
(12)
где t3, t4, t5 и х3, х4, х5 - промежуточные точки интервалов (t1, t2) и (х1, х2).
Отсюда, после сокращения на произведение ∆x∆t, находим:
(13)
Все эти рассуждения относятся к произвольным промежуткам (х1, х2) и (t1, t2). Переходя к приделу при х1, х2→х и t1, t2→t, получим уравнение:
(14)
называемое уравнением теплопроводности.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
. Если стержень однороден, то k, c, ρ можно считать постоянными, и уравнение обычно записывают в виде:
где 
- постоянная, называемая коэффициентом температуропроводности. Если источники отсутствуют, т.е. 
то уравнение теплопроводности принимает простой вид:
(14΄)
. Плотность тепловых источников может зависеть от температуры. В случае теплообмена с окружающей средой, подчиняющегося закону Ньютона, количество тепла, теряемого стержнем, рассчитанное на единицу длины и времени, равно:
где 
- температура окружающей среды, h - коэффициент теплообмена. Таким образом, плотность тепловых источников в точке x в момент времени t равна:
(15)
где 
- плотность других источников тепла.
Если стержень однороден, то уравнение теплопроводности с боковым теплообменом имеет следующий вид:
где 
- известная функция.
Перепишем последнее уравнение в более привычном для нас виде:
(16)
Будем считать, что температура жала не зависит от координаты х, тогда уравнение (16) примет вид:
(16΄)
Так как 
,
то уравнение будет иметь вид:
Преобразуя данное уравнение получим:
(17)
С учётом, что: 
и потерь тепла на излучение 
, уравнение (17) примет вид:
Данное дифференциальное уравнение решим с помощью программы MathCAD. Для решения дифференциальных уравнений программа MathCAD содержит ряд функций таких как: rkfixed, rkadapt, оdesolve и алгоритм Эйлера.