Паспорт
Фонда оценочных средств
По дисциплине «Приложения дифференциальных уравнений»
Таблица 1
| № п/п | Наименование раздела дисциплины | Код контролируемой компетенции (или ее части) | Наименование оценочного средства |
| Приложение дифференциальных уравнений к решению физических задач | ОК-5, ПК-10 | Собеседование. Задачи контрольной работы. Зачет. | |
| Приложение дифференциальных уравнений к решению геометрических задач | ОК-5, ПК-10 | Собеседование. Задачи контрольной работы. Зачет. | |
| Математические модели в экономике | ОК-5, ПК-10 | Собеседование. Задачи контрольной работы. Зачет. |
Формируемые компетенции
Таблица 2
| Перечень формируемых компетенций | Формируемые элементы компетенций |
| способность работать в команде, толерантно воспринимать социальные, культурные и личностные различия (ОК-5) | Знает: –основные понятия, касающиеся теории дифференциальных уравнений и их приложений Умеет: – производить отбор материала для последующего решения поставленной задачи совместно с одним или несколькими членами группы Владеет: – навыками совместной работы для выполнения заданий. |
| способность проектировать траектории своего профессионального роста и личностного развития (ПК-10) | Знает: –основные понятия, касающиеся теории дифференциальных уравнений и их приложений Умеет: – производить отбор материала для самостоятельного изучения и критически его оценивать Владеет: – навыками самоорганизации и самостоятельной работы по выполнению задач, направленных на профессиональное и личностное самосовершенствование |
Шкала оценивания
В соответствии с балльно-рейтинговой системой ГОУ ВО МО «ГСГУ» в каждом семестре обучающийся может набрать за работу в семестре максимум 70 баллов и может получить на зачете максимум 30 баллов.
В таблице 3 приведены критерии оценивания зачета:
Таблица 3
| Сумма всех баллов, набранных обучающимся по дисциплине | Рейтинговая шкала (оценка) |
| ≤ 50 | не зачтено |
| ³ 51 | зачтено |
Уровень сформированности компетенции
Таблица 4
| № п/п | Уровень сформированности компетенции или ее части данной дисциплиной | Cумма всех баллов |
| Пороговый | 51 – 66 | |
| Средний | 67 – 84 | |
| Повышенный | ³ 85 |
Накопление баллов за работу в течение семестра
Таблица 5
| № п/п | Вид работы (общее количество) | Максимальный балл (за одну единицу) | Максимум баллов |
| Посещение занятий (12). | 15/12 | ||
| Работа на практических занятиях (12). | 15/12 | ||
| Контрольные работы (1). | |||
| Зачет (1) | |||
| Всего баллов |
По итогам семестра баллы по каждому виду работы округляются до целого значения по избытку.
Типовые задания или иные материалы, необходимые для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности
Комплект заданий для контрольной работы
1. Тело охладилось за 10 мин от 100° до 60°. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20°. Когда тело остынет до 25°?
2. Сосуд объемом в 20 л содержит воздух (80% азота и 20% кислорода). В сосуд втекает 0,1 л азота в секунду, который непрерывно перемешивается, и вытекает такое же количество смеси. Через сколько времени в сосуде будет 99% азота?
3. Начальная масса изотопа йода составляла 200г. Определить массу йода спустя 30 дней, если период полураспада данного изотопа 8 дней.
4. Струна, закрепленная на концах x=0, x=l, имеет в начальный момент форму параболы 
. Определить смещение точек струны от оси абсцисс, если начальные скорости отсутствуют.
Критерии оценивания
Каждое верно выполненное задание оценивается максимум в 10 баллов.
10 баллов — задание решено абсолютно правильно.
9 баллов — задание решено правильно, но имеется один недостаточно обоснованный момент.
8 баллов — задание решено правильно, но имеются несколько недостаточно обоснованных моментов.
7 баллов — задание решено правильно, но получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
6 баллов — задание решено правильно, но получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, и имеется один недостаточно обоснованный момент.
5 баллов — задание решено правильно, но получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, и имеются несколько недостаточно обоснованных моментов.
4 балла — ход решениязадания правильный, но имеются существенные недочеты, решение может быть не доведено до конечного ответа.
3 балла — ход решениязадания неправильный, но в решении содержатся верные отсылки к необходимым свойствам и/или соотношениям, решение может быть не доведено до конечного ответа.
2 балла — ход решениязадания неправильный, в решении содержатся отсылки к необходимым для решения свойствам и/или соотношениям, но приведенные формулировки являются неточными, решение может быть не доведено до конечного ответа.
1 балл — решенияпрактически отсутствует, но содержатся отсылки к необходимым для решения свойствам и/или соотношениям, но приведенные формулировки являются неточными.
0 баллов — задание решено абсолютно неправильно или решение отсутствует вовсе.
Ответы и решения
Задание 1. Тело охладилось за 10 мин от 100° до 60°. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20°. Когда тело остынет до 25°?
Решение.
Скорость остывания (или нагревания) тела пропорциональна разности температур тела и окружающей среды, поэтому
, где T – температура тела, T 0 – температура окружающего воздуха (в нашем случае T 0 =20°), k – коэффициент пропорциональности.
Решая полученное уравнение получим
Получаем уравнение определяющее температуру тела
Задание 2. Сосуд объемом в 20 л содержит воздух (80% азота и 20% кислорода). В сосуд втекает 0,1 л азота в секунду, который непрерывно перемешивается, и вытекает такое же количество смеси. Через сколько времени в сосуде будет 99% азота?
Решение.
Пусть Q(t) – количество литров азота в сосуде в момент времени t. Тогда в 0,1dt литрах смеси содержится 
литров азота. В сосуд за время dt поступит 0,1dt литра азота, а вытечет литров смеси. Поэтому количество dQ азота, которое втекает в сосуд за время dt и остается в нем, равно 
литров. Получаем дифференциальное уравнение
Откуда
Получаем уравнение определяющее Qв нашей задаче
Так как 99% от общего объема составляет 19,8 литра, то подставляя получим
Задание 3. Начальная масса изотопа йода составляла 200г. Определить массу йода спустя 30 дней, если период полураспада данного изотопа T=8 дней.
Решение.
Скорость распада вещества пропорциональна наличному количеству, поэтому, обозначив N – массу вещества в момент времени t, N0 – начальная масса в момент времени t=0, k – коэффициент пропорциональности, получим
Коэффициент пропорциональности равен 
.
Подставляя его в уравнение, можем вычислить массу вещества через t=30 дней
Задание 4. Струна, закрепленная на концах x=0, x=l, имеет в начальный момент форму параболы 
. Определить смещение точек струны от оси абсцисс, если начальные скорости отсутствуют.
Решение.
Так как начальные скорости отсутствуют, то мы имеем F(x)=0/
Окончательно получаем решение
.
Вопросы для обсуждения (собеседования) на практических занятиях
№№ 1-3. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (задача о теплообмене, задача о смесях, задача о размножении бактерий, задача о распаде радия, задача об истечении жидкости).
№№ 4-6. Линейный осциллятор (вывод дифференциального уравнения задач, приводящих к колебательным системам: шарик под действием пружины, математический маятник, колебательный контур; разбор различных случаев: отсутствие вынуждающей силы, вынуждающая сила действует с частотой, отличной от собственной частоты колебания системы, совпадение частот вынуждающей силы и собственных колебаний системы; явление резонанса).
№ 7. Уравнение свободного колебания струны (вывод уравнения свободного колебания струны, решение уравнения Ж. Даламбером и Л. Эйлером). Свободные колебания бесконечной струны (зависимость решения от начальных данных, бегущая волна, перемещение струны за счет начальной скорости).
№ 8. Свободные колебания конечной струны (метод Фурье разделения переменных, стоячие волны, точки пучности, собственные частоты колебания струны, частота основного тона, обертона). Уравнения математической физики (уравнения колебания мембраны, уравнение теплопроводности, оператор Лапласа, уравнения математической физики, корректность задачи математической физики).
№ 9. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (обратные задачи на касательные: задачи Ф. Дебона, задача об изохроне, задача о цепной линии).
№№ 10-11. Семейство кривых, зависящих от набора параметров. Системы кривых, отвечающих данному обыкновенному ДУ. Ортогональные направления.
№ 12. Экономические задачи, приводящие к линейным дифференциальным уравнениям. Экономические задачи, приводящие к системам дифференциальных уравнений.
Критерии оценивания
Содержание ответа и активность обучающихся на каждом практическом занятии оценивается максимум в 15/12 балла. По итогам семестра баллы за работу на практических занятиях округляются до целого значения по избытку. Если обучающийся не участвовал в решении практических заданий и в обсуждении теоретических вопросов, то за данное практическое занятие он получает 0 баллов.
Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности на итоговом
контроле (промежуточной аттестации)
Задания к зачету (6-й семестр)
ТЕСТ
Вариант 1
1. Найти общее решение уравнения у ¢ = х 2.
Варианты ответа: а) у = х + С; б) у = x 3; в) у = x 3 + C; г) у = x 3/3 + C.
2. Сколько постоянных содержит общее решение уравнения у ¢¢¢ + у¢ = ху?
Варианты ответа: а) 3; б) 2; в) 1; г) ни одной.
3. Если при падении тела массой m кроме силы тяжести на него действует только сила сопротивления воздуха прямо пропорциональная скорости падения (коэффициент пропорциональности k>0), то ДУ, описывающее падение тела имеет вид:
Варианты ответа: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
4. Найти общее решение уравнения у ¢¢+ у = 0.
Варианты ответа:
а) у = х 2 + С; б) у = С 1 ех + С 2 е–х;
в) у = С 1 cosx + C 2 sinx; г) y = ex (С 1 cosx + C 2 sinx).
5. Решение задачи Коши дифференциального уравнения содержит постоянных
Варианты ответа: а) ни одной; б) 2; в) 1; г) 3.
6. ДУ, описывающее свободное гармоническое колебание имеет вид:
Варианты ответа: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
7. Найти общее решение уравнения у ¢ = 
+ 2.
Варианты ответа:
а) у = Сх; б) у = х (С + 2 lnx); в) y = С + 2 lnx; г) у = х (С + 2 x –2).
8. К какому типу относится уравнение у ¢ + 
= 0?
Варианты ответа:
а) с разделяющимися переменными; б) однородное;
в) линейное; г) в полных дифференциалах.
9. Пусть a – начальная концентрация вещества А, х – количество молей на литр, прореагировавших за время t от начала реакции, тогда химическая реакция первого порядка описывается уравнением:
Варианты ответа:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
10. К какому типу относится уравнение (6 x 2 y 2 + y) dx+ (4 x 3 y + x) dy =0?
Варианты ответа:
а) с разделяющимися переменными; б) однородное;
в) линейное; г) в полных дифференциалах.
11. Cоставить характеристическое уравнение для уравнения
у ¢¢ + 2 у ¢ + 3 у = х 2 + х – 10.
Варианты ответа:
а) l2 + 2l = 0; б) l2 + 2l + 3 = х 2 + х + 10;
в) l2 + 2l + 3 = 0; г) l2 + 2l + 3 = х 2 + х.
12. Уравнение теплопроводности имеет вид:
Варианты ответа:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
13. Общим решением уравнения у = ху ¢ + 
является
Варианты ответа:
а) у = х 2 – С; б) х = Су + 
; в) у = Сх + 
; г) у = Сх + 
.
14. Найти общий вид частного решения уравнения у ¢¢ – 4 у ¢ + 4 у = е2 х .
Варианты ответа:
а) у = Ах 2 е 2 х ; б) у = Ахе 2 х ; в) у = Ае 2 х ; г) у = (х 2 – 4 х +4) е 2 х .
15. Уравнение Лапласа имеет вид:
Варианты ответа:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
16. Сколько постоянных содержит общее решение уравнения у V + 3 у¢¢¢ = ln (ху)?
Варианты ответа: а) 3; б) 4; в) 5; г) 2.
17. Для уравнения у ¢¢ + 2 у ¢ + 3 у = е 2 х составить характеристическое.
Варианты ответа:
а) l2 + 2l = е 2 х ; б) l2 + 2l + 3 = е 2 х ;
в) l2 + 2l + 3 е 2 х = 0; г) l2 + 2l + 3 = 0.
18. Общим решением уравнения у ¢¢ + 2 у ¢ + 5 у = 0 является
Варианты ответа:
а) у = С 1 ех + С 2 е 4 х ; б) у = е –х (С 1 cos 2 x + С 2 sin 2 x);
в) у = С 1(cos 2 x + С 2 sin 2 x) г) у = С 1 е–х + С 2 е– 4 х ;
19. Какая система уравнений называется динамической?
Варианты ответа: а) любая система уравнений 2 порядка; б) любая система уравнений 1 порядка; в) любая система уравнений от n переменных; г) система уравнений, содержащих временной параметр.
20. Уравнение, описывающее колебание струны, имеет вид
Варианты ответа:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
21. Решение Даламбера уравнения колебания струны имеет вид
Варианты ответа:
а) u (x, t) = j (x + t) + y (x – t); б) u (x, t) = j (ax + t) + y (ax –t);
в) u (x, t) = j (x + at) – y (x – at); г) u (x, t) = j (x + at) + y (x – at).
22. Решение Эйлера уравнения колебания бесконечной струны, зависящее только от начального положения струны u (x, 0) = f (x), имеет вид
Варианты ответа:
а) u (x, t) = f (x+ at) – f (x – at); б) u (x, t) = f (x+ t) + f (x – t);
в) u (x, t) = 
; г) u (x, t) = 
.
23. Решение Эйлера уравнения колебания бесконечной струны, зависящее только от начальной скорости струны u t¢(x, 0) = F (x), имеет вид
Варианты ответа:
а) u (x, t) = 
; б) u (x, t) = 
;
в) u (x, t) = 
; г) u (x, t) = 
.
24. Метод Фурье разделения переменных заключается в том, что функция u (x, t) представляется в виде
Варианты ответа: а) Х (х)∙ T (t); б) g (x / y); в) g (xy); г) Х (х)/ T (t).
25. Задача математической физики называется устойчивой, если
Варианты ответа:
а) решение не зависит от координат точек;
б) решение не зависит от времени;
в) решение ни от чего не зависит;
г) малое изменение начальных данных приводит к малому изменению решения.
Вариант 2
1. Найти общее решение уравнения у ¢ = х.
Варианты ответа: а) у = х + С; б) у = x 2; в) у = x 2 + C; г) у = x 2/2 + C.
2. Сколько постоянных содержит общее решение уравнения у ¢¢ + ху¢ = хlnу?
Варианты ответа: а) 1; б) 2; в) ни одной; г) 1.
3. Если при падении тела массой m кроме силы тяжести на него действует только сила сопротивления воздуха прямо пропорциональная скорости падения (коэффициент пропорциональности k>0), то ДУ, описывающее падение тела имеет вид:
Варианты ответа: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
4. Найти общее решение уравнения у ¢¢+ у¢ = 0.
Варианты ответа:
а) у =C 1 х 2 + С 2; б) у = С 1 ех + С 2 е–х; в) у = С 1+ C 2e–x; г) y = = С 1+ C 2ex.
5. Решение задачи Коши дифференциального уравнения содержит постоянных
Варианты ответа: а) 2; б) ни одной; в) 1; г) 3.
6. ДУ, описывающее свободное гармоническое колебание имеет вид:
Варианты ответа:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
7. Найти общее решение уравнения у ¢ = 2 
+ 1.
Варианты ответа:
а) у = Сх 2; б) у = х (С + lnx); в) y = С + lnx; г) у = х (Сx– 1).
8. К какому типу относится уравнение у ¢ + 
= 0?
Варианты ответа:
а) с разделяющимися переменными; б) однородное;
в) линейное; г) в полных дифференциалах.
9. Пусть a – начальная концентрация вещества А, х – количество молей на литр, прореагировавших за время t от начала реакции, тогда химическая реакция первого порядка описывается уравнением:
Варианты ответа:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
10. К какому типу относится уравнение yexydx+ xexydy =0?
Варианты ответа:
а) с разделяющимися переменными; б) однородное;
в) линейное; г) в полных дифференциалах.
11. Для уравнения у ¢¢ + 4 у ¢ – 3 у = lnх – х 2 составить характеристическое.
Варианты ответа:
а) l2 + 4l = 0; б) l2 + 4l – 3 = – х 2; в) l2 + 4l – 3 = 0; г) l2 + 4l – 3 = lnх – х 2.
12. Уравнение теплопроводности имеет вид:
Варианты ответа:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
13. Общим решением уравнения у = ху ¢ + ln (y¢ – 1) является
Варианты ответа:
а) у = ln (C – 1); б) х = Су + ln (C – 1); в) у = Сх; г) у = Сх + ln (C – 1).
14. Найти общий вид частного решения уравнения у ¢¢ – 6 у ¢ + 9 у = е3 х .
Варианты ответа:
а) у = Ах 2 е 3 х ; б) у = Ахе 3 х ; в) у = Ае 3 х ; г) у = (х 2 – 4 х +4) е 3 х .
15. Уравнение Лапласа имеет вид:
Варианты ответа:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
16. Сколько постоянных содержит общее решение уравнения 3 у V + 2 у¢¢ = cos (ху)?
Варианты ответа: а) 2; б) 3; в) 5; г) 4.
17. Для уравнения у ¢¢ + 5 у ¢ + 7 у = е 2 х составить характеристическое.
Варианты ответа:
а); l2 + 5l + 7 = 0; б) l2 + 5l + 7 = е 2 х ; в) l2 + 5l – е 2 х = 0; г) l2 + 5l = е 2 х .
18. Общим решением уравнения у ¢¢¢ – 2 у ¢¢ = 0 является
Варианты ответа:
а) у = С 1 ех + С 2 е 2 х ; б) у = С 1 +C 2 x+ С 3e2 x;
в) у = С 1 +C 2 x+ С 3e–2 x; г) у = С 1 е–х + С 2 е– 2 х ;
19. Решением задачи Коши уравнения ху ¢ = 2 + у при у (1) = 1 является
Варианты ответа: а) у = ln х; б) у = ln х –1; в) у = ln х –2; г) у = 3 х –2.
20. Уравнение, описывающее колебание струны, имеет вид
Варианты ответа:
а) 
; б) 
; в) ; г) .
21. Решение Даламбера уравнения колебания струны имеет вид
Варианты ответа:
а) u (x, t) = j (x + t) – y (x – t); б) u (x, t) = j (ax + t) – y (ax –t);
в) u (x, t) = j (ax + t) + y (ax – t); г) u (x, t) = j (x + at) + y (x – at).
22. Решение Эйлера уравнения колебания бесконечной струны, зависящее только от начального положения струны u (x, 0) = f (x), имеет вид
Варианты ответа:
а) u (x, t) = f (x+ at) – f (x – at); б) u (x, t) = f (x+ t) + f (x – t);
в) u (x, t) = ; г) u (x, t) = .
23. Решение Эйлера уравнения колебания бесконечной струны, зависящее только от начальной скорости струны u t¢(x, 0) = F (x), имеет вид
Варианты ответа:
а) u (x, t) = 
; б) u (x, t) = ;
в) u (x, t) = ; г) u (x, t) = F (x + at).
24. Метод Фурье разделения переменных заключается в том, что функция u (x, t) представляется в виде
Варианты ответа: а) Х (х)∙ T (t); б) g (xy); в) Х (х)/ T (t); г) g (x / y).
25. Задача математической физики называется устойчивой, если
Варианты ответа:
а) решение не зависит от времени;
б) решение не зависит от координат точек;
в) решение ни от чего не зависит;
г) малое изменение начальных данных приводит к малому изменению решения.
Вариант 3
1. Найти общее решение уравнения у ¢ = 2 х +1.
Варианты ответа: а) у = х 2 + С; б) у = x 2; в) у = x 2 + х + C; г) у = x 2 + х.
2. Сколько постоянных содержит общее решение уравнения уIV – у¢¢ = lnу?
Варианты ответа: а) 2; б) 4; в) 1; г) 3.
3. Если при падении тела массой m кроме силы тяжести на него действует только сила сопротивления воздуха прямо пропорциональная скорости падения (коэффициент пропорциональности k>0), то ДУ, описывающее падение тела имеет вид:
Варианты ответа: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
4. Найти общее решение уравнения у ¢¢¢– у¢ = 0.
Варианты ответа:
а) у =C 1 х 2 + C2 x + С 3; б) у = C 2ex + C 2e–x;
в) у = С 1+ C 2e–x; г) y = С 1 ех + С 2 е–х + C 3.
5. Решение задачи Коши дифференциального уравнения содержит постоянных
Варианты ответа: а) 1; б) ни одной; в) 2; г) 3.
6. ДУ, описывающее свободное гармоническое колебание имеет вид:
Варианты ответа:
а) ; б) 
; в) ; г) 
.
7. Найти общее решение уравнения у ¢ = – 1.
Варианты ответа:
а) у = х (С – lnx); б) у = Сх 2; в) y = С – lnx; г) у = х (Сx– 1).
8. К какому типу относится уравнение у ¢ + 
= 0?
Варианты ответа:
а) в полных дифференциалах; б) однородное;
в) линейное; г) с разделяющимися переменными.
9. Пусть a – начальная концентрация вещества А, х – количество молей на литр, прореагировавших за время t от начала реакции, тогда химическая реакция первого порядка описывается уравнением:
Варианты ответа:
а) ; б) ; в) 
; г) 
.
10. К какому типу относится уравнение (3 x 2 y 2 – 2 y) dx + 2(x 3 y–x) dy =0?
Варианты ответа:
а) с разделяющимися переменными; б) линейное;
в) однородное; г) в полных дифференциалах.
11. Для уравнения у ¢¢ – 5 у ¢ – 3 у = 2 lnх – х составить характеристическое.
Варианты ответа:
а) l2 – 5l = 0; б) l2 – 5l – 3 = lnх – х 2;
в) l2 – 5l – 3 = 0; г) l2 + 4l – 3 = – х.
12. Уравнение теплопроводности имеет вид:
Варианты ответа:
а) 
; б) ; в) ; г) 
.
13. Общим решением уравнения у = ху ¢ + cos (y¢ + 2) является
Варианты ответа:
а) у = cos (C + 2); б) х = Су + cos (C + 2); в) у = Сх; г) у = Сх + cos (C + 2).
14. Найти общий вид частного решения уравнения у ¢¢ – 2 у ¢ + 9 у = x 3.
Варианты ответа:
а) у = Ах 3 + Bx 2 + Cx + D; б) у = Ах 3; в) у = Аx 3 + Bx 2 + Cx; г) у = (х 2 – 2 х + 9) x 3.
15. Уравнение Лапласа имеет вид:
Варианты ответа:
а) ; б) ;
в) ; г) .
16. Сколько постоянных содержит общее решение уравнения 2 у VI + у¢¢ = sin (х + у)?
Варианты ответа: а) 2; б) 4; в) 6; г) 5.
17. Для уравнения у ¢¢ – 2 у ¢ + 5 у = x +3 составить характеристическое.
Варианты ответа:
а) l2 – 2l + 5 = 0; б) l2 – 2l + 5 = x + 3; в) l2 – 2l – x = 0; г) l2 – 2l + 5 + x = 0.
18. Решением задачи Коши уравнения eyу ¢ = 2 x при у (0) = 0 является
Варианты ответа:
а) y = ln (1 + x 2); б) y = 2 ln ï x ï; в) у = ln (2 + x 2); г) у = ln (x 2 – 1).
19. Какая система уравнений называется динамической?
Варианты ответа: а) любая система уравнений первого порядка; б) любая система уравнений второго порядка; в) система уравнений от n переменных; г) система уравнений, содержащих временной параметр.
20. Уравнение, описывающее колебание струны, имеет вид
Варианты ответа:
а) ; б) ; в) 
; г) 
.
21. Решение Даламбера уравнения колебания струны имеет вид
Варианты ответа:
а) u (x, t) = j (x + t) – y (x – t); б) u (x, t) = j (ax + t) + y (ax –t);
в) u (x, t) = j (x + at) + y (x – at); г) u (x, t) = j (x + at) – y (x – at).
22. Решение Эйлера уравнения колебания бесконечной струны, зависящее только от начального положения струны u (x, 0) = f (x), имеет вид
Варианты ответа:
а) u (x, t) = f (x+ at) – f (x – at); б) u (x, t) = f (x+ t) + f (x – t);
в) u (x, t) = 
; г) u (x, t) = 
.
23. Решение Эйлера уравнения колебания бесконечной струны, зависящее только от начальной скорости струны u t¢(x, 0) = F (x), имеет вид
Варианты ответа:
а) u (x, t) = F (x + at); б) u (x, t) = ;
в) u (x, t) = ; г) u (x, t) = 
.
24. Метод Фурье разделения переменных заключается в том, что функция u (x, t) представляется в виде
Варианты ответа: а) Х (х)∙ T (t); б) Х (х)/ T (t); в) g (xy); г) g (x / y).
25. Задача математической физики называется устойчивой, если
Варианты ответа:
а) решение ни от чего не зависит;
б) решение не зависит от координат точек;
в) решение не зависит от времени;
г) малое изменение начальных данных приводит к малому изменению решения.
Вариант 4
1. К какому типу относится уравнение х 2 уdx = (х + 1) dy?
Варианты ответа:
а) с разделяющимися переменными; б) однородное;
в) линейное; г) в полных дифференциалах.
2. Найти общее решение уравнения у ¢ = х.
Варианты ответа: а) у = х + С; б) у = x 2; в) у = x 2 + C; г) у = x 2/2 + C.
3. Если при падении тела массой m кроме силы тяжести на него действует только сила сопротивления воздуха прямо пропорциональная скорости падения (коэффициент пропорциональности k>0), то ДУ, описывающее падение тела имеет вид:
Варианты ответа: а) 
; б) 
; в) 
; г) .
4. Найти общее решение уравнения у ¢¢+ у¢ = 0.
Варианты ответа:
а) у =C 1 х 2 + С 2; б) у = С 1 ех + С 2 е–х; в) у = С 1+ C 2e–x; г) y = С 1+ C 2ex.
5. Решение задачи Коши дифференциального уравнения содержит постоянных
Варианты ответа: а) ни одной; б) 2; в) 1; г) 3.
6. ДУ, описывающее свободное гармоническое колебание имеет вид:
Варианты ответа:
а) ; б) 
; в) ; г) 
.
7. Найти общее решение уравнения у ¢ = 
+ 2.
Варианты ответа:
а) у = Сх; б) у = х (С + 2 lnx); в) y = С + 2 lnx; г) у = х (С + 2 x –2).
8. К какому типу относится уравнение у ¢ + = 0?
Варианты ответа:
а) в полных дифференциалах; б) однородное;
в) линейное; г) с разделяющимися переменными.
9. Пусть a и b – начальные концентрация веществ А и В, х – количество молей вещества А и вещества В, прореагировавших за время t от начала реакции, тогда химическая реакция второго порядка описывается уравнением:
Варианты ответа:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
10. К какому типу относится уравнение (3 x 2 y 2 – 2 y) dx + 2(x 3 y–x) dy =0?
Варианты ответа:
а) с разделяющимися переменными; б) линейное;
в) однородное; г) в полных дифференциалах.
11. Для уравнения у ¢¢ + 4 у ¢ – 3 у = lnх – х 2 составить характеристическое.
Варианты ответа:
а) l2 + 4l = 0; б) l2 + 4l – 3 = – х 2;
в) l2 + 4l – 3 = 0; г) l2 + 4l – 3 = lnх – х 2.
12. Уравнение теплопроводности имеет вид:
Варианты ответа:
а) ; б) ; в) ; г) .
13. Общим решением уравнения у = ху ¢ + ln (y¢ – 1) является
Варианты ответа:
а) у = ln (C – 1); б) х = Су + ln (C – 1); в) у = Сх; г) у = Сх + ln (C – 1).
14. Найти общий вид частного решения уравнения у ¢¢ – 2 у ¢ + 9 у = x 3.
Варианты ответа:
а) у = Ах 3 + Bx 2 + Cx + D; б) у = Ах 3;
в) у = Аx 3 + Bx 2 + Cx; г) у = (х 2 – 2 х + 9) x 3.
15. Уравнение Лапласа имеет вид:
Варианты ответа:
а) 
; б)