Декабря 2021 года
Тема Вычисление производной
Разобраться в решении приведенных примеров и записать их решения в тетради для индивидуального обучения.
Пошаговые примеры - как найти производную
Пример 1. Найти производную функции
.
Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители - суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:
Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, "икс" у нас превращается в единицу, а минус 5 - в ноль. Во втором выражении "икс" умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную "икса". Получаем следующие значения производных:
Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:
Ответ: 4х-15
Пример 2. Найти производную функции
Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Применяем 3 правило дифференцирования
Получаем:
Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:
Ответ: 
Пример 3. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых - квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:
Ответ:. 
Пример 4. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим частное, делимое которого - квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 2 и табличному значению производной квадратного корня получаем:
Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на 
:
Ответ:. 
Найти производные самостоятельно
Пример А. Найти производную функции
.
Решение примера А на производные
Пример А. Найти производную функции
.
Решение. Представляем искомую производную как производную суммы (в данном случае - разности) двух степенных функций. При этом в первом слагаемом множитель 3 следует вынести за знак производной, а во втором слагаемом нужно преобразовать корень в степень. Учитывая вышеописанное, получаем:
Ответ:
.
Пример Б. Найти производную функции
.