Предисловие
В течение нескольких десятилетий кафедра высшей математики каждый год организует и проводит внутривузовскую олимпиаду по математике для студентов 1 и 2-го курсов технических и экономических специальностей.
В последние годы кафедра проводит командные олимпиады (команда до 5-ти человек), при этом студенты организуют свои команды сами, как правило, по специальностям. Ежегодно в олимпиаде участвуют 250-350 студентов младших курсов.
В изложенных в работе олимпиадных заданиях (2005-2009 гг) задачи имеют различную степень трудности, но их содержания и решения в любом случае не выходят за рамки изучаемого в ОмГТУ общего курса математики. Мы стремились изложить решение задач так, чтобы студенты могли разобраться в них самостоятельно.
Методические указания могут быть использованы как преподавателями, готовящими студентов к различным математическим олимпиадам, так и студентами при подготовке к участию в них.
Задания
ОЛИМПИАДА -2005 год
Й курс
Найти все тройки действительных чисел для которых , где - некоторое натуральное число, - единичная матрица. | |
Найти все действительные корни уравнения . | |
Пусть . Показать, что существует число из такое, что . | |
Две вершины треугольника зафиксированы, а третья движется по плоскости так, что один из углов при основании треугольника остается вдвое больше другого. Какую линию описывает третья вершина? | |
Пусть - четыре точки пространства, , , и . Показать, что точки лежат на одной прямой. | |
Вычислить . | |
В произвольном выпуклом шестиугольнике соединены середины противоположных сторон. Всегда ли из полученных отрезков можно сложить треугольник? | |
Вычислить . | |
Найти значение производной 2005-го порядка функции в точке . | |
Функция дважды дифференцируема и удовлетворяет равенству , где на всей числовой оси. Доказать, что и - ограничены на всей числовой оси. |
Й курс
Найти все тройки действительных чисел для которых , где - некоторое натуральное число, - единичная матрица. | |
Вычислить , где ограничена линиями: , , . | |
Пусть . Показать, что существует число из такое, что . | |
Две вершины треугольника зафиксированы, а третья движется по плоскости так, что один из углов при основании треугольника остается вдвое больше другого. Какую линию описывает третья вершина? | |
Функция непрерывна на . Показать, что . | |
Показать, что . | |
Найти значение производной 2005-го порядка функции в точке . | |
Функция дважды дифференцируема и удовлетворяет равенству , где на всей числовой оси. Доказать, что и - ограничены на всей числовой оси. | |
Доказать равенство . | |
Сколько положительных корней имеет многочлен , если - положительные числа? |
ОЛИМПИАДА -2006 год
Й курс
Вычислить . | |
Можно ли через прямые провести плоскость? | |
Вычислить . | |
Построить линию . | |
Решить уравнение , . | |
Координаты всех вершин многоугольника на плоскости – рациональные числа. Доказать, что площадь многоугольника – рациональное число. | |
Найти все ограниченные в окрестности нуля функции , удовлетворяющие тождеству . | |
Через точку (0,0,1) проведены все прямые с направляющими векторами , где – любое действительное число. По каким линиям пересекается полученная поверхность с плоскостями, перпендикулярными осям координат? | |
Все элементы квадратной матрицы порядка – числа 0; 1 или -1, причем каждая строка и столбец содержат ровно один ненулевой элемент. Доказать, что , где – единичная матрица, а – некоторое натуральное число. | |
Вертолет должен пролететь 25 км на север, затем 200 км на восток при постоянном по направлению и величине векторе скорости, причем скорость ветра равна собственной скорости вертолета. При каком направлении ветра на полет уйдет минимальное время? |
Й курс
Вычислить . | |
Можно ли через прямые провести плоскость? | |
При каких значениях действительного числа сходится ряд ? | |
Решить уравнение . | |
Координаты всех вершин многоугольника на плоскости – рациональные числа. Доказать, что площадь многоугольника – рациональное число. | |
Найти площадь эллипса, образованного пересечением цилиндра и плоскости . | |
Найти все ограниченные в окрестности нуля функции , удовлетворяющие тождеству . | |
Вычислить . | |
Все элементы квадратной матрицы порядка – числа 0; 1 или -1, причем, каждая строка и столбец содержит ровно один ненулевой элемент. Доказать, что , где – единичная матрица, а – некоторое натуральное число. | |
Функция – дифференцируема и удовлетворяет тождеству . Доказать, что при . |
ОЛИМПИАДА -2007 год
Й курс
Построить график функции . | |
Вычислить . | |
Составить уравнения всех окружностей, проходящих через точки и . | |
Пусть - вершины правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Вычислить . | |
Функция удовлетворяет условиям , . Доказать, что нельзя представить в виде отношения двух многочленов. | |
Изобразить множество точек плоскости, для которых выполнено неравенство . | |
Вычислить . | |
Действительная функция определена на всей числовой оси и удовлетворяет тождеству , где – заданная постоянная, . Доказать, что – периодическая и привести пример непостоянной функции с указанными свойствами. | |
На маленьком острове стоит прожектор, освещающий отрезок моря длиной 1 км. Прожектор вращается равномерно вокруг вертикальной оси, делая один оборот в минуту. Сможет ли подплыть к острову незаметно катер, имеющий скорость 0,9 км/мин? | |
В невырожденной квадратной матрице порядка сумма элементов любой строки равна 1. Найти сумму всех элементов обратной матрицы . |
Й курс
Найти все функции, у которых вторая производная совпадает с пятой. | |
Доказать, что касательные плоскости к поверхности отсекают на осях координат отрезки, сумма длин которых не зависит от выбора точки касания. | |
Составить уравнения всех окружностей, проходящих через точки и . | |
Привести пример такого сходящегося знакоположительного ряда , что ряд расходится. | |
Построить интегральную кривую (график решения) задачи Коши . | |
Изобразить множество точек плоскости, для которых выполнено неравенство . | |
Вычислить . | |
Действительная функция определена на всей числовой оси и удовлетворяет тождеству , где – заданная постоянная, . Доказать, что – периодическая и привести пример непостоянной функции с указанными свойствами. | |
На маленьком острове стоит прожектор, освещающий отрезок моря длиной 1 км. Прожектор вращается равномерно вокруг вертикальной оси, делая один оборот в минуту. Сможет ли подплыть к острову незаметно катер, имеющий скорость 0,9 км/мин? | |
В невырожденной квадратной матрице порядка сумма элементов любой строки равна 1. Найти сумму всех элементов обратной матрицы . |
ОЛИМПИАДА -2008 год
Й курс
У студента стал «глючить» его любимый калькулятор. Он может только складывать и вычитать данные числа и вычислять обратное к данному числу , т.е. . Как ему, используя только этот калькулятор, для данного числа вычислить ? | |
Существует ли , при котором определитель порядка 2008, в котором , равен нулю? | |
Построить график функции . | |
Доказать, что уравнение имеет хотя бы одно решение в интервале . | |
Вычислить . | |
В треугольной пирамиде - площадь -ой грани, - единичная внешняя нормаль -ой грани . Доказать, что . | |
Решить уравнение . | |
Доказать, что на плоскости существует единственный равносторонний треугольник, координаты всех вершин которого удовлетворяют уравнению и найти его площадь. |
Й курс
У студента стал «глючить» его любимый калькулятор. Он может только складывать и вычитать данные числа и вычислять обратное к данному числу , т.е. . Как ему, используя только этот калькулятор, для данного числа вычислить ? | |
Существует ли , при котором определитель порядка 2008, в котором , равен нулю? | |
Могут ли функции быть решением на дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами ? | |
Доказать, что уравнение имеет хотя бы одно решение в интервале . | |
Пусть на и , . Найти . | |
Найти сумму ряда . | |
Решить уравнение . | |
Вычислить , где . |
ОЛИМПИАДА -2009 год
Й курс
Найти уравнения всех общих касательных к окружностям радиусов 3 и 4 с центрами в точках (0,5) и (5,0) соответственно. | |
Найти площадь четырехугольника, стороны которого лежат на прямых , , , . | |
Сколько действительных решений имеет уравнение ? | |
Найти максимальное значение определителя , где - квадратная матрица, в каждой строке и столбце которой одна единица, а остальные элементы – нули. | |
Построить график функции . | |
Вычислить . | |
При каких система имеет решение? | |
Найти наибольшее значение функции на ( - любое натуральное число). | |
Найти все такие, что для любых выполняется . | |
При каком абсцисса точки перегиба функции имеет наименьшее натуральное значение? |
Й курс
Записать уравнение круговой цилиндрической поверхности радиуса 1, ось которой проходит через точки (0, 0, 0) и (1, 1, 1) | |
Решить задачу Коши . | |
Вычислить | |
Найти все решения матричного уравнения , где , - единичная матрица. | |
Исследовать сходимость ряда , где - сумма ряда , а - его частичные суммы. | |
Вычислить предел | |
При каких система имеет решение? | |
Найти наибольшее значение функции на ( - любое натуральное число). | |
Найти все такие, что для любых выполняется . | |
При каком абсцисса точки перегиба функции имеет наименьшее натуральное значение? |
Решения
ОЛИМПИАДА -2005 год
Й курс
1. Индукцией по степени легко проверяется, что
,
где
, . (*)
По условию при некотором , первое из этих равенств возможно только при .
Если , то из (*) следует и , т.е. тройки и удовлетворяют условию при любых .
Если , (*) запишется в виде , и возможно только при , а при .
Если , то , только при , а при .
Ответ: , ; , .
2. при . Следовательно левая часть уравнения строго возрастает.
- единственный корень.
3. т.к. третья строка определителя становится пропорциональной первой;
т.к. вторая строка определителя становится пропорциональной первой.
Так как , то утверждение следует из теоремы Ролля.
4. Введем систему координат и необходимые обозначения
По теореме синусов . |
Т.к. , то . Далее с учетом получаем
- уравнение гиперболы.
5. Зададим векторную функцию четырех точек пространства равенством
лежат на одной прямой.
6.
7.
Ответ: да, всегда.
8. Пусть - искомый предел. Тогда
9. Функция преобразуется по тригонометрическим формулам в сумму:
10. Умножим дифференциальное уравнение на :
или
функция не убывает при и не возрастает при т.е. ч.т.д.
Й курс
1. см. 2005, 1 курс, №1.
2. Область имеет вид
.
3. см. 2005, 1 курс, №3.
4. см. 2005, 1 курс, №4.
5.
ч.т.д.
6. Исследуем и используем неравенство .
, т.е. при , и при .
Тогда ч.т.д.
7. см. 2005, 1 курс, №9.
8. см. 2005, 1 курс, №10.
9. , где .
Имеем , а при
по индукции ч.т.д.
10. Очевидно, что
один раз меняет знак с – на + на , один раз меняет знак с – на + на ,…, один раз меняет знак с – на + на , т.е. имеет ровно 1 положительный корень.
ОЛИМПИАДА -2006 год
Й курс
1. .
2. Через прямые и можно провести плоскость в двух случаях: 1) 2) .
В данной задаче и не параллельны, т.к. их направляющие векторы , . Ищем точку пересечения и ( и - обозначения параметров в уравнениях и ):
Ответ: можно, т.к. .
3. а)
б) (правило Лопиталя) .
Ответ: .
4.
или
(гипербола) или (эллипс)
5.
,
(сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии). Матричное равенство из условия эквивалентно системе уравнений:
.
6. Для треугольника с вершинами , , :
рациональное.
Площадь многоугольника равна сумме площадей треугольников, т.е. сумме рациональных чисел.
7. По условию для любого .
В частности,
. Отсюда последовательно получаем
;
;
………………………………………………………………………
(*)
При имеем , и в силу ограниченности в окрестности
.
Теперь из (*) при и формулы суммы геометрической прогрессии получаем
.
8. Параметрические уравнения прямых имеют вид:
- уравнение поверхности из условия задачи.
1) - пара перпендикулярных прямых (), гипербола ().
2) - прямая (), парабола ().
3) - прямая (), парабола ().
9. Пусть - множество всех матриц указанного вида. Тогда
1) , т.к. для любой строки (любого столбца ) существует ровно один столбец (строка ) такие, что произведение строки на столбец не равно 0 (и равно ).
2) Число различных матриц в конечно () т.к. число различных первых строк равно , для каждого выбора первой строки выборов второй и т.д.
Из 1) и 2) следует, что при в последовательности есть по крайней мере две совпадающие . Т.к. - невырожденная матрица (), то . Ч.т.д.
10. Введем систему координат, в которой OX направлена на восток, OY – на север. Пусть - собственная скорость вертолета, - угол вектора скорости ветра с направлением на север. Очевидно, что для минимального времени полета и (т.к. ).
Пусть - вектор собственной скорости вертолета при полете на север. Тогда , и время полета на север .
Аналогично, - время полета на восток. Общие затраты времени и времени достигается при .
Й курс
1. см. 2006, 1 курс, №1.
2. см. 2006, 1 курс, №2.
3. 1) - расходится по необходимому признаку.
2) -расходится по признаку сравнения т.к. - расходится при .
3) При положим и сравним наш ряд со сходящимся рядом (обобщенный гармонический ряд):
(правило Лопиталя) для любого начиная с некоторого номера - сходится.
Замечание. При функция положительна (при ), убывает (при и тем более при ) и ; для сходимости исследуемого ряда можно использовать интегральный признак.
Ответ: .
4. Введем новую неизвестную функцию