Построение потенциальной диаграммы.

РАСЧЕТ РАЗВЕТВЛЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ постоянного тока

 

Задание 1:

 

Рис. 1.1 - Исходная схема для расчёта

 

Дано: R₁= 15 Ом; R₂=12 Ом; R₃=9 Ом; R₄=10 Ом; R₅=7 Ом; E₁=9 В;

E₂=7 В; E₃=10 В; J=1,5 А.

Определить: токи во всех ветвях.

 

Решение:

 

1.1 Расчет токов в ветвях по законам Кирхгофа

 

Для упрощения дальнейших расчётов преобразуем источник тока в схеме на рис 1.1. в источник Э.Д.С.

Источник тока (рис.1.2 а) преобразуется в источник Э.Д.С (рис.1.2 б), где R₅ − в обоих случаях остаётся одним и тем же, а Э.Д.С может быть определена как

E₄ = J*R₁; E₄ =1,5*15 = 22,5В.

Сделав необходимые обозначения и произведя эквивалентную замену источника тока источником Э.Д.С., получим расчётную схему (рис.1.2).

 

 

Рис 1.2 - Расчетная схема после эквивалентной замены источника тока источником Э.Д.С.

 

2. Произвольно выбираем и обозначим на расчетной схеме (рис. 1.2) положительное направление токов в ветвях, направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

3. Определим количество уравнений, которые необходимо составить по первому и второму закону Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа количество уравнений определяем из выражения:

,	(1.1)
где	- число узлов.

Узлов в схеме – 3 (0, 2, 3), .

Значит, необходимо по первому закону Кирхгофа составить два уравнения. При составлении уравнений учитываем, что положительными считаются токи, направленные к узлу.

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 2, 3:

узел 2: I1 - I2 + I3 - I4=0; узел 3: I2 – I3 – I5=0.

(1.2)

По второму закону Кирхгофа количество уравнений определяем из выражения:

,	(1.1)
где	- число ветвей; - число ветвей содержащих источники тока.

Ветвей в схеме - 5, ветвей содержащих источники тока - 0,

Значит, для рассмотренной цепи, необходимо по второму закону Кирхгофа составить три уравнения.

При составлении уравнений учитываем, падение напряжения считается положительным, если направление тока в сопротивлении совпадает с направлением обхода контура; ЭДС считается положительной, если она действует по направлению обхода контура.

Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа:

Для контура I: I1(R1 + R2) + I4R5 = E1 + E2 + E4; Для контура II: I2R3 + I3R4 =0; Для контура III: -I3R4 – I4R5 = – E2 + E3.

(1.2)

По первому и второму законам Кирхгофа записаны пять уравнений с пятью неизвестными токами и при решении этой системы уравнений, можно определить все неизвестные токи.

(1.3)

Решение этой системы уравнений достаточно трудоемко, поэтому решим её в программе MathCAD 7.0 pro

Для решения системы уравнений в программе MathCAD используем встроенный оператор Given, Find.

1. Вводим исходные значения.

2. Вводим первичное приближение для неизвестных системы уравнений.

3. Вводим оператор Given.

4. Вводим систему уравнений.

5. Решим систему уравнений, используя, оператор Find.

 

 

 

 

6. Запишем ответ, полученный в результате вычислений.

Ответ: А; А; А; А; А.

 

Задание 2а: Определить токи ветвей в схеме методом контурных токов, приведенной на рис. 1.3.

 

Рис. 1.3

 

Решение.

Выбираем произвольно направления трех контурных токов.

В общем виде составляем систему уравнений относительно трех неизвестных контурных токов:

I₁₁R₁₁+I₂₂R₁₂+I₃₃R₁₃ = E₁₁;

I₁₁R₂₁+I₂₂R₂₂+I₃₃R₂₃ = E₂₂;

I₁₁R₃₁+I₂₂R₃₂+I₃₃R₃₃ = E₃₃;

 

где: R11 = R4+R5; R11 = 17 Ом;

 

R22 = R1+R2+R5; R22 = 34 Ом;

 

R33 = R3+R4; R33 = 19 Ом;

 

R12 = R21 = -R5 = 7 Ом; R13 = R31 = -R4=-10 Ом;

 

R32 = R23 = 0 Ом;

 

E11 = E3 - E2=3 В;

 

E22 = E1 + E2+E4 = 38,5 В;

 

E33 = 0 В.

 

После подстановки система уравнений принимает вид:

I₁₁17–I₂₂7-I₃₃10 = 3;

I₁₁(–7)+I₂₂34= 38,5;

-I₁₁10 +I₃₃19 = 0;

 

 

Решим её в программе MathCAD 7.0 pro. Для решения системы уравнений в программе MathCAD используем встроенный оператор Given, Find.

По правилу Крамера:

;

где:

 

 

 

 

 

Получили: I₁₁ = 1,061 A; I₂₂ = 1,351 A; I₃₃ = 0,559 A.

 

В итоге токи ветвей:

I₁ = I₂₂; I1 = 0.839 A;

I₂ = I₃₃; I2 = 0,559 A;

I₃ = I₃₃ – I₁₁; I3 = -0,502 A;

I₄ = I₂₂ – I₁₁; I4 = 0,29 A;

I₅ = I₁₁; I5 = 1,061 A;

 

 

Знак "минус" у тока I ₃указывает на то, что в действительности эти токи имеют направления, противоположные указанным на схеме.

 

Задание 2б: Определить токи ветвей в схеме методом узловых потенциалов.

Рис. 1.4

 

 

Решение.

 

Заземляем узел 0 (φ ₀ = 0). Кроме того, ветвь между узлами 3 и 0 содержит только источник ЭДС, следовательно, независимо от величины протекающего тока I ₅ величина φ ₃ также известна: φ ₃ = - E ₂ (направление E ₂ от узла 3). Таким образом, в задаче неизвестным является потенциал одного узла: φ ₂ . Достаточно составить одно уравнение, где должны быть учтены связи с потенциалом φ ₃:

 

 

Используем Mathcad:

1. Вводим исходные значения.

 

 

 

2. Вводим первичное приближение для неизвестных системы уравнений

 

3. Вводим оператор Given.

4. Вводим систему уравнений:

 

 

5. Решим систему уравнений, используя, оператор Find.

 

 

Получили: ,

Рассчитаем токи ветвей в Mathcad, используя полученные результаты:

1. Вводим исходные значения.

 

2. Вводим первичное приближение для неизвестных системы уравнений

3. Вводим оператор Given.

4. Вводим систему уравнений:

5. Решим систему уравнений, используя оператор Find.

I₅ найдем по первому закону Кирхгофа:

Из узла 3:

 

 

Составление баланса мощностей для схемы (Рис. 1.1)

Решение.

(E₁+E₄)I₁+E₂I₄ +E₃I₅=I₁²(R₁+R₂) +I₂²R₃+I₃²R₄+I₄²R₅

Подставляя значения E, R из данных задач, а также токи, рассчитанные любым методом, получаем:

 

Расхождение составляет:

 

 

Построение потенциальной диаграммы.

Потенциальная диаграмма для замкнутого контура 4-3- a - 1 -2-b-4,содержащего два источника ЭДС – E ₁ и E ₃ (рис.1.5). Приравняем к нулю потенциал любой точки контура φ ₄ = 0.

Рис. 1.5

 

 

Выберем направление обхода по часовой стрелке, составим уравнения для определения потенциалов каждой точки контура, подставим заданные значения токов, сопротивлений и ЭДС и тогда получим:

,

 

,

 

,

 

,

 

.

 

После вычислений получили: , , , .

По оси ординат откладываем величину потенциала. По оси абсцисс–сопротивления участка контура в нарастающем порядке.

Перед построением диаграммы выбираем масштабы потенциалов и сопротивлений: . Построим потенциальную диаграмму с помощью Mathcad:

 

1. Вводим значения

2. Составим матрицы:

 

3. Построим потенциальную диаграмму:

 

 

 

Составим таблицу результатов:

Метод	I1	I2	I3	I4	I5
Законы Кирхгофа	1,351	0,559	-0,502	0,29	1,061
М. контурных токов	1,351	0,559	-0,502	0,29	1,061
М. узловых потенциалов	1,351	0,559	-0,502	0,29	1,061

Вывод: Независимо от метода решения ответы сходятся.

2. РАСЧЕТ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

2.1. Условие задачи и исходные данные

 

В электрической цепи (рис. 2.1) с входным напряжением u = U sin (ωt + ß) выполнить следующее:

1) Определить комплексное входное сопротивление.

2) Найти действующие значения токов во всех ветвях схемы. Записать выражения для мгновенных значений токов.

3) Составить баланс мощностей.

4) Рассчитать действующие значения напряжений на всех элементах це­пи. Построить топографическую векторную диаграмму.

Рис. 2.1

 

В электрической цепи (рис. 2.2) с входным напряжением u = U sin (ωt + ß) заданы следующие параметры:

Дано: U = 200 В; ß = 30°; ʄ = 80 Гц; R₁ = 18 Ом; R₂ = 15 Ом; R₃ = 24 Ом; L₁ = 45 мГн; L₂ = 58 мГн; L₃ =32 мГн; C₁ =116 мкФ; C₂ = 83 мкФ.

Рис 2.2

Решение:

Угловая частота ω = 2 πʄ; ω = 502,4 c^-1 , тогда приложенное мгновенное значение напряжения u = •200 sin (502,4t +30°), а действующее в комплексной форме Ů = 200 • e^{j 30°} .

1) Определение комплексного входного сопротивления цепи.

Определяем реактивные сопротивления цепи.

Найдём комплексы всех сопротивлений цепи:

= = = 17,16 Ом;

= ωL₁ = 502,4 • 45 • 10^-3 = 22,6 Ом;

= = = 23,98 Ом;

= ωL₂ = 502,4 • 58 • 10^-3 = 29,1 Ом;

= ωL₃ = 502,4 • 32 • 10^-3 = 16,07 Ом.

Найдём комплексы полных сопротивлений всех ветвей цепи:

Z₁ = R₁+R₂+jX_L1-jX_C1 = 33+j(22,6–17,16) = 33+j5,44 = 33,445e ^{j 9,36°} Ом;

Z₂ = -jX_C2=-j23,98=23,98 ^{-j90 °};

Z₃ = R₃+jX_L3 = 24+j16 =28,844e ^{j 33,69°} Ом.

Составим электрическую схему (рис. 3.3), заменив все последовательно соединённые сопротивления в ветвях на их полные сопротивления.

Полученную схему (рис. 2.3) преобразуем в однократную (рис. 2.4).

İ2

İ3

İ1

İ1

 

 

Рис.2.3 Рис.2.4

 

 

Ом.

В результате комплексное входное сопротивление заданной цепи:

Ом.

2) Расчёт токов ветвей.

По закону Ома входной ток

İ₁ İ_{1 =} А.

Мгновенное значение входного тока

i_{1 =} 3,587sin (502,4 t +41,76^°) А.

Чтобы найти токи İ₂ , İ₃ необходимо определить напряжения на зажимах ветвей, по которым протекают эти токи. Поскольку все эти две ветви подключены к одной и той же паре узлов d и e (см. рис. 2.3), то напряжение будет одинаковым и равным Ů_de. По закону Ома это напряжение (см. рис. 2.4)

Ů_de = İ₁ • Z₂₃; Ů_de =

Делим Ů_cd на сопротивления параллельных ветвей и находим все токи:

İ₂ = İ₂ = А;

İ₃ = İ₃ = А.

Мгновенные значения этих токов записываются аналогично току i₁ по первому закону Кирхгофа для узла d или e.

İ₁ = İ₂ + İ₃ = İ₂₃;

İ₁ = А; İ₂₃ = А.

Таким образом, первый закон Кирхгофа выполняется. Следующей проверкой правильности расчёта токов ветвей является составление баланса мощностей.

3) Баланс мощностей.

Комплексная мощность

где P = Re [ Ů • Ḯ ], Q = Jm [ Ů • Ḯ ] - соответственно действительная и мнимая части произведения комплекса приложенного к цепи напряжения на сопря­женный комплекс входного тока

İ₁ = А; Ḯ₁ = А.

Активная и реактивная мощности, доставляемые источником в цепь, соответственно равны:

S_ист = Ů • Ḯ;

S_ист = В.А.

Откуда

P_ист = 702,03 Вт; Q_ист = -146,2 вар.

Найдём активную и реактивную мощности, потребляемые приёмниками (сопротивлениями) заданной цепи:

P_потр =

P_потр = Вт;

Q_потр =

Q_потр = вар.

Расхождение составляет:

 

 

 

4) Построение топографической векторной диаграммы.

Векторная диаграмма синусоидальных токов и напряжений дает нагляд­ное представление о фазовом расположении различных векторов и соотноше­ниях всех расчетных величин в электрической цепи. Диаграмма позволяет ка­чественно контролировать аналитический расчет цепи. С помощью диаграммы можно определить модуль и фазу напряжения между двумя любыми точками схемы.

Обычно строят лучевую диаграмму токов, векторы которых исходят из начала координат, и топографическую диаграмму напряжений. Топографиче­ская диаграмма представляет собой совокупность точек комплексной плоско­сти, изображающих комплексные потенциалы одноименных точек схемы.

При построении топографической диаграммы напряжений учитывают фазовый сдвиг между вектором тока, протекающего через элемент электриче­ской цепи (сопротивление, индуктивность, емкость), и вектором падения на­пряжения на нем. На сопротивлении эти векторы совпадают по направлению. На индуктивности вектор напряжения опережает вектор тока на угол 90°, на емкости - отстает на этот угол. В первом случае для получения направления вектора напряжения поворачивают вектор тока относительно начала координат против часовой стрелки, во втором по часовой. Для выбора масштаба рассчитаем падения напряжения на всех элементах схемы:

U_R1=I₁*R₁; U_R1=64,57;

U_C1=I₁*X_C1; U_C1=61,55;

U_L1=I₁*X_L1; U_L1=81;

U_R2=I₁*R₂; U_R2=53,8;

U_R3=I₃*R₃; U_R3=81,6;

U_L3=I₃*X_L3; U_L3=54,4;

U_C2=I₂*X_C2 U_C2=98,1.

Удобными для построения данной векторной диаграммы являются сле-дующие масштабы токов и напряжений:

m_I = 1А/см; m_U = 20В/см.