Содержание
· Определение простого и кратного корней.
- Постановка задачи приближенного решения нелинейного уравнения.
- Алгоритм метода бисекций
- Теорема о сходимости метода бисекций.
- Алгоритм метода Ньютона.
- Теорема о сходимости метода Ньютона
- Алгоритм метода простой итерации
- Теорема о сходимости метода простой итерации
- Приведение уравнения к виду, удобному для итераций.
Теоретическая справка | |
Примеры | |
Задачи для самостоятельного решения | |
Контрольные вопросы |
Занятие 2
Теоретическая справка |
Постановка задачи приближенного решения уравнений ~ Этапы решения задачи ~ Метод бисекций ~ Метод Ньютона ~ Метод простой итерации
Пусть рассматривается уравнение . Корнем уравнения называется значение , при котором . Корень называется простым, если
, в противном случае корень называется кратным. Целое число m называется кратностью корня , если для k=1,2,3-, m -1 и
.
Постановка задачи вычисления приближенного значения корня с точностью : найти такое значения , что .
Решение задачи разбивается на два этапа: на первом этапе осуществляют локализацию корней, на втором этапе производят итерационное уточнение корней. На этапе локализации корней находят достаточно узкие отрезки (или отрезок, если корень единственный), которые содержат один и только один корень уравнения . На втором этапе вычисляют приближенное значение корня с заданной точностью. Часто вместо отрезка локализации достаточно указать начальное приближение к корню.
ПРИМЕР 1. Локализация корней.
Метод бисекции. Пусть[a,b] v отрезок локализации. Предположим, что функция f(x) непрерывна на [a,b] и на концах принимает значения разных знаков .
Алгоритм метода бисекции состоит в построении последовательности вложенных отрезков, на концах которых функция принимает значения разных знаков. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего. Опишем один шаг итераций метода. Пусть на k-ом шаге найден отрезок такой, что . Найдем середину отрезка . Если , то - корень и задача решена. Если нет, то из двух половин отрезка выбираем ту, на концах которой функция имеет противоположные знаки:
, , если
, , если
Критерий окончания итерационного процесса: если длина отрезка локализации меньше 2 , то итерации прекращают и в качестве значения корня с заданной точностью принимают середину отрезка.
Теорема о сходимости метода бисекций. Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b] и на концах принимает значения разных знаков .Тогда метод сходится и справедлива оценка погрешности:
ПРИМЕР 2. Решение уравнения методом бисекции.
Метод Ньютона (метод касательных). Расчетная формула метода Ньютона имеет вид: . Геометрически метод Ньютона означает, что следующее приближение к корню есть точка пересечения с осью ОХ касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в точке .
Теорема о сходимости метода Ньютона. Пусть - простой корень уравнения , в некоторой окрестности которого функция дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая - окрестность корня , что при произвольном выборе начального приближения из этой окрестности итерационная последовательность метода Ньютона не выходит за пределы окрестности и справедлива оценка
, где , .
Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности >0 вычисления следует вести до тех пор пока не окажется выполненным неравенство .
ПРИМЕР 3. Решение уравнения методом Ньютона.
Как указано в теореме, метод Ньютона обладает локальной сходимостью, то есть областью его сходимости является малая окрестность корня . Неудачный выбор может дать расходящуюся итерационную последовательность.
ПРИМЕР 4. Чувствительность метода Ньютона к выбору начального приближения.
Метод простой итерации (метод последовательных повторений). Для применения метода простой итерации следует исходное уравнение преобразовать к виду, удобному для итерации . Это преобразование можно выполнить различными способами. Функция называется итерационной функцией. Расчетная формула метода простой итерации имеет вид: .
Теорема о сходимости метода простой итерации. Пусть в некоторой - окрестности корня функция дифференцируема и удовлетворяет неравенству , где - постоянная. Тогда независимо от выбора начального приближения из указанной - окрестности итерационная последовательность не выходит из этой окрестности, метод сходится
со скоростью геометрической последовательности и справедлива оценка погрешности: , .
Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности >0 вычисления следует вести до тех пор пока не окажется выполненным неравенство . Если величина , то можно использовать более простой критерий окончания итераций: .
Ключевой момент в применении метода простой итерации состоит в эквивалентном преобразовании уравнения. Способ, при котором выполнено условие сходимости метода простой итерации, состоит в следующем: исходное уравнение приводится к виду . Предположим дополнительно, что производная знакопостоянна и на отрезке [a,b]. Тогда при выборе итерационного параметра метод сходится и значение
.
ПРИМЕР 5. Приведение уравнения к виду, удобному для итераций.
Занятие 2
Примеры |
Пример 1 ~ Пример 2 ~ Пример 3 ~ Пример 4 ~ Пример 5
Пример 1. Локализация корней.
Решение примера в среде пакета Mathcad | Теоретическая справка | |
Решение примера в среде пакета Mathematica | ||
Решение примера в среде пакета Matlab |
Пример 2. Решение уравнения методом бисекции.
Решение примера в среде пакета Mathcad | Теоретическая справка | |
Решение примера в среде пакета Mathematica | ||
Решение примера в среде пакета Matlab |
Пример 3. Решение уравнения методом Ньютона.
Решение примера в среде пакета Mathcad | Теоретическая справка | |
Решение примера в среде пакета Mathematica | ||
Решение примера в среде пакета Matlab |