Для приближенных значений пользуются формулой

f(x)=f(x₀+ x) f(x₀)+f^, (x₀)∆x – это означает линеаризацию ф-ции у=f(x), т.е. ее замену линейной по х ф-цией у=f(x₀)+f^, (x₀)(x-x₀), что гометрически соответствует замене участка кривой у=f(x), примыкающего к точке (х₀;f(x₀)), отрезком касательной к кривой в этой точке.

№26

Пусть дифференцируемая ф-ция у=f(x) определена в некоторой окрестности и во внутренней точке данной окрестности имеет локальный экстремум. Тогда производная в этой точке равна нулю.

№18

Если ф-цииv=v(x) и u=u(x) имеют производные в точке х₀, то сумма(разность, произведение, частное) этих ф-ций имеют производные в точке х₀, при условии, что v (x₀) .

Тогда справедливы равенства:

1. Производ. суммы/разн-ти 2х ф-ций = сумме/разности производных этих ф-ций.

2. Производная произведения 2х ф-ций = сумме произведений производной первой ф-ции на вторую и производной второй ф-ции на первую.

3. Производная частного 2х ф-ций = дроби, знаменатель которой равен квадрату делителя, а числитель – разности произведения производной делимого на делитель и производной делителя на делимое.

Логарифмическое дифференцирование: Исследуем.ф-ция вначале логарифмир-ся по основанию е: lny=ln(f(x)). Затем ф-циядифференцир-тся по х, помня, что у явл-ся сложной ф-цией от х. Затем выражаем у^, из получен.соотнош. Данный метод примен-ся, если задан.ф-ция представ. Собой произвед. многих ф-ций или явл. частным таких произвед.; или при отыскании производной степенно-показательной ф-ции.

№23

Производная сложной ф-ции: у^,_х= у ^,_u u^,_x

Производная обратной ф-ции: ^, _у =1/у^,_х

Логарифмическое дифференцирование: Исследуемая ф-ция вначале логарифмируется по основанию е:lny=ln(f(x)). Затем ф-ция дифференцируется по х, помня, что у является сложной ф-цией от х. Затем выражаем из полученного соотношения. Данный метод применяется если заданная ф-ция представ. Собой произведение многих ф-ций или явл. частным таких произведений; или при отыскании производной степенно-показательной ф-ции.

№24

Т. к. дифференциалы получаем из производной умножением на дифференциал независимой переменной, зная таблицу производных, получаем:

и т.д.

В соответствии с правилами дифференцирования производных получаем следующее правило для дифференциалов: d(u+v)=du+dv

d(uv)=vdu+udv

d(u/v)=vdu-udv/v² и т.д.

Свойство инвариантности

Рассмотрим функцию y = f(u), где u = f (x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f(f(x)). Если каждая из функций f и f являются дифференцируемыми, то производная сложной функции равна y' = f'(u)· u'. Тогда дифференциал функции

dy = f'(x)dx = f'(u)u'dx = f'(u)du,

так как u'dx = du. Т.е. dy = f'(u)du.

Последнее рав-во означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо фун-и от x рассматривать фун-ю от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности формы первого дифференциала.

№22

Дифференцирование неявно заданных ф-ций: 1) продифференцировать обе части равенства F(x;y)=0 по переменной х, считая, что у=у(х). 2)Из получившегося в результате дифференцирования равенства выразить у ^,_х через х и у.

Если ф-ция задана параметрически , то производные вычисляются по формулам у ^,_х =у ^,_t/ x^, _t

y^,,_xx =(y^,_x) ^, _t/x^, _t

 

№35

Точки наиб.инаим. значений ф-ции на некотором мн-ве Х (на отрезке) называются точками глобального экстремума ф-ции на этом мн-ве.Ф-ция, непрерывная на отрезке, достиг.своего наиб. и наим. значений на этом отрезке или а его концах.

Правило нахождения наиб.инаим. значений ф-ции на отрезке [a;b]:

Находим и приравниваем к нулю производную ф-ции, выражаем х

Находим критические точки ф-ции у=f(x), принадлежащие интервалу (а;b)

Вычисляем значения ф-ции в критической точке и на концах отрезка

Из найденных значений выбираем наибольшее и наименьшее

№40

Х²+1=0

Х²=-1

i –мнимая единица, i²= -1 -i – сопряженное мнимой единице.

Под множеством комплексных чисел понимаем упорядоченное мн-во пар действительных чисел, над которыми можно выполнить след.действия:

(a,b)=(c,d) a=c, b=d

(a,b) (c,d) (a c, b d)

(a,b) (c,d) (ac-bd, ad+bc)

(a,b):(c,d) ; =

Множество комплексных чисел обозначается С

Формула Муавра: zⁿ= rⁿ(cosn +isinn )

№34

Первый достаточный признак экстремума

Пусть ф-ция у=f(x) непрерывна в точке х0 и дифференцируема в некоторой ее окрестности. Если при переходе слева направо через точку х0 производная меняет знак с – на +, то х0 – точка строго минимума; если знак меняется с + на -, то точка х0 – точка строгого максимума.

Второй достаточный признак экстремума:

Пусть ф-ция у=f(x) имеет в точке х0 равную нулю первую производную и непрерывную отличную от нуля вторую производную. Тогда если

Исследование на экстремум с помощью второй производной:

Найти первую производную и точки, в которых она равна нулю.(стационарные точки)

Найти вторую производную и определить ее знак в каждой стационарной точке. Если производная в точке х₀<0, то х0 – точка строгого максимума, если >0,то х₀ – точка строгого минимума.

№3

Если каждому элементу х из мн-ва Х поставлен в соответсвие (по некоторому правилу f) единственный элемент у из мн-ва У, то говорят, что задано отображениемн-ва Х в мн-во У.

(f:X Y). Х – множество определения и обозначается D_f, Y – множество значений и обозначается E_f.

Сложная функция – функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.

В такой функции х – независимая, а у – промежуточная переменная. При этом сложная функция определена для тех значений независимой переменной, для которых значения промежуточной функции у входят в область определения функции z(y).

Обратная функция

Если поменять ролями аргумент и функцию, то x станет функцией от y. В этом случае говорят о новой функции, называемой обратной функцией. Предположим, мы имеем функцию:v = u², где u - аргумент, a v - функция. Если поменять их ролями, то мы получим u как функцию v: u =

Под ф-цией понимаем отображение числовых множеств.

Графиком ф-ции является множество всех точек (х;у) плоскости Оху, для каждой из которой значение аргумента х явл. абсциссой, а значение у=у(х) ф-ции – ординатой.

№4

Окрестностью точки а (конечной точки) называется любой интервал, содержащий эту точку.

.

Число b называется пределом ф-ции у=f(x) приx , если для любой окрестности В(b) точки b найдется такая проколотая окрестность точки а, что как только x (а), то f(x) B(b), что обозначается b= .

№25

Производные высших порядков

Производной второго порядка ф-цииу=f(x) наз. производная от производной f^, (x): f^,, (x)=(f^, (x))^,

Производной n-го порядка назыв. производная от производной (n-1)-го порядка:

f⁽ⁿ⁾ (x) = (f^(n-1)(x))^,, n=1,2…

Дифференциал от дифференциала ф-ции у=f(x) наз. дифференциалом второго порядка. Дифференциалом n-го порядка наз. дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка, n=2,3…

d²y=f ^,, (x₀) dx2, dⁿy=f ⁽ⁿ⁾(x₀)dxⁿ

№21

(sh x)^, = ch x (ch x) ^, = sh x

th x= (th x)^,=1/ch²cth x= (cth x) ^, = - 1/sh²

 

 

№30

где Rn(x) - остаточный член формулы Тейлора.

В форме Лагранжа

В форме Пеано

№4 Окрестностью точки а ∈R(конечнойточки) называетсялюбойинтервал, содержащийэтуточку.

Число b называется пределом ф-ции у=f(x) при x→a, если для любой окрестности В(b) точки b найдется такая проколотая окрестность (а) точки а, что как только x∈ (а), то f(x)∈B(b), чтообозначается b= .

Существуют конечные пределы в конечной точке, конечные пределы на бесконечности, бесконечные пределы в конечной точке, бесконечные пределы на бесконечности, односторонние пределы.

№5

Число b называется пределом ф-ции у=f(x) при х а, если для любого сколь угодно малого найдется такое число , что для всех х, удовлетв. условию lx – al<δ, х а, будет выполняться неравенствоIf(x) – bI<ε.

№6 Конечное число а называется пределом числовой последовательности {x_n}, если для любого сколь угодно малого числа ε найдется такое натуральное число n₀(ε), что все члены этой последовательности с номерами n>n₀(ε) удовлетворяют неравенству Ix_n – aI<ε.В этом случае пишут и говорят, что последовательность {x_n} имеет предел а.

№17

Если ф-ция дифференцируема в данной точке, то она непрерывна в ней. Но если ф-ция непрерывна в точке, то она может быть не дифференцируемой в этой точке.

№32

Чтобы дифференцируемая на интервале (a;b) ф-ция у= f(x) не убывала/ не возрастала на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была во всех точках интервала неотрицательной,т.е. f^,(x) /неположительной, т.е. f ^,(x) 0