МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

 

Тема: АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИИ

МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

 

Автор: студент гр. ЭРБ-11 ____________ Марковчин Д.В. ^{(шифр группы) (подпись) (Ф.И.О.)}

 

ОЦЕНКА: _____________

 

Дата: _____________

 

ПРОВЕРИЛ:

 

Руководитель работы Доцент ____________ Ильин А.Е.

^{(должность) (подпись) (Ф.И.О.)}

 

 

Санкт-Петербург

Министерство образования и науки Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный горный университет
		УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой   /_____________/доц. Маховиков А.Б./   "___"__________2012 г.

 

Кафедра: Информатики и компьютерных технологий

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Информатика

^{(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)}

ЗАДАНИЕ

 

студенту группы ЭРБ-11Марковчин Д.В.

^{(шифр группы) (Ф.И.О.)}

1. Тема работы: Аппроксимация функции методом наименьших квадратов

 

2.Исходные данные к работе: Вариант 17

 

3. Содержание пояснительной записки: Пояснительная записка включает в себя задание на выполнения курсовой работы, титульный лист, аннотацию, оглавление, введение, собственно текст пояснительной записки, список литературы.

 

 

4. Перечень графического материала: Таблицы, графики, рисунки.

 

5. Срок сдачи законченной работы: __________________________________________

 

Руководитель работы: Доцент ____________ Ильин А.Е.

^{(должность) (подпись) (Ф.И.О.)}

Дата выдачи задания: 15.02.2012

 

Аннотация

 

Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой работы. В ней рассматриваются вопросы по нахождению эмпирических формул методом наименьших квадратов (МНК) посредством возможностей пакета Microsoft Excel, а также рассматривается решение данной задачи в MathCad 14. В работе получены уравнения различных видов с помощью аппроксимации линейной, квадратичной и экспоненциальной зависимостей. По окончании работы сделан вывод, каким методом задача решена лучше всего.

Страниц 16, таблиц 8, графиков 3.

Abstract

The explanatory note represents the report on term paper performance. In it questions on a finding of empirical formulas by a method of the least squares (МНК) by means of possibilities of package Microsoft Excel are considered, and also the decision of the given problem in MathCad 14 is considered. In work the equations of various kinds by means of approximation linear, square-law and экспоненциальной dependences are received. Upon termination of work the conclusion is drawn, the problem is solved by what method is better.

Pages 16, tables 8, graphs 3.

 

Оглавление

 

ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ

МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.. 5

ЛИHЕАРИЗАЦИЯ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ.. 6

ВАРИАНТ 17…………...……………………………………………………………………...8

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА В EXCEL И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙН.. 11

Алгоритм решения в MathCad. 14

Вывод. 16

Список используемой литературы.. 16

 

 

ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ ФОРМУЛ

МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

 

Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y, которые получены в результате измерений.

При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и y производят ряд наблюдений и в результате получается таблица значений:

x			¼		¼
y			¼		¼

 

Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, в которых (независимая величина) задается экспериментатором, а получается в результате опыта. Поэтому эти значения будем называть эмпирическими или опытными значениями.

Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но ее аналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача - найти эмпирическую формулу

(1)

(где - параметры), значения которой при возможно мало отличались бы от опытных значений.

Обычно указывают класс функций (например, множество линейных, степенных, показательных и т.п.) из которого выбирается функция, и далее определяются наилучшие значения параметров.

Если в эмпирическую формулу (1) подставить исходные, то получим теоретические значения , где ..

Разности называются отклонениями и представляют собой расстояния по вертикали от точек до графика эмпирической функции.

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции

(2)

будет минимальной.

Поясним геометрический смысл метода наименьших квадратов.

Каждая пара чисел из исходной таблицы определяет точку на плоскости . Используя формулу (1) при различных значениях коэффициентов можно построить ряд кривых, которые являются графиками функции (1). Задача состоит в определении коэффициентов таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до графика функции (1) была наименьшей (рис.1).

Рис.1

 

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение ее наилучших параметров.

Если неизвестен характер зависимости между данными величинами x и y, то вид эмпирической зависимости является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. Удачный выбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от знаний исследователя в предметной области, используя которые он может указать класс функций из теоретических соображений. Большое значение имеет изображение полученных данных в декартовых или в специальных системах координат (полулогарифмической, логарифмической и т.д.). По положению точек можно примерно угадать общий вид зависимости путем установления сходства между построенным графиком и образцами известных кривых.

Определение наилучших коэффициентов входящих в эмпирическую формулу производят хорошо известными аналитическими методами.

Для того, чтобы найти набор коэффициентов , которые доставляют минимум функции S, определяемой формулой (2), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных. В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов :

(3)

Таким образом, нахождение коэффициентов сводится к решению системы (3).

Эта система упрощается, если эмпирическая формула (1) линейна относительно параметров , тогда система (3) - будет линейной.

Конкретный вид системы (3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (1). В случае линейной зависимости система (3) примет вид:

(4)

Эта линейная система может быть решена любым известным методом (методом Гаусса, простых итераций, формулами Крамера).

В случае квадратичной зависимости система (3) примет вид:

(5)