Задача 1.
В ящике находится 12 деталей, из которых 4 – бракованных. Сборщик наудачу вытаскивает три детали. Найти вероятность того следующих событий:
а) все детали – исправные;
б) все детали – бракованные;
в) две детали – исправные, одна - бракованная.
Задача 2.
Программа экзамена содержит 25 вопросов, из которых студент знает 20. В билете три вопроса. Найти вероятность того, что студент сможет ответить на все вопросы.
Задача 3.
В мешке 5 кубиков с буквами О, П, Р, С, Т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных в одну линию кубиках получится слово "СПОРТ".
Задача 4.
Два стрелка выполняют по одному выстрелу в мишень. Вероятность удачного выстрела для первого стрелка составляет 0,8, для второго – 0,6. Найти вероятность того следующих событий:
а) в мишень попадет хотя бы один стрелок;
б) в мишень попадет только первый стрелок;
в) оба стрелка промахнутся.
Задача 5.
Игральную кость бросили 3 раза. Найти вероятность того, что три раза выпадет шесть очков.
Задача 6.
Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб появится не менее 4 раз.
Задача 7.
Вероятность выигрыша команды в каждом матче равна 0,7. Сыграно 3 матча. Составить закон распределения количества выигрышей. Построить многоугольник распределения.
Задача 8.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию, построить многоугольник распределения для дискретной случайной величины, заданной рядом распределения
| Х | ||||
| р | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
Задача 9.
Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
| X |
| ||||
| p | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
Найти интегральную функцию F (x) и построить ее график.
Задача 10.
Случайная величина X задана интегральной функцией:
.
Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале 
.
Задача 11.
Непрерывная случайная величина задана в интервале 
дифференциальной функцией 
, а вне этого интервала 
. Найти ее числовые характеристики.
Задача 12.
Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами m = 30 и s = 5. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале от 30 до 40.
Задача 12.
Задача 13.
Составить безынтервальный вариационный ряд, вычислить выборочное среднее, указать моду, медиану, по следующим данным:
16 18 18 20 22 22 23 25 25 25 28 30 30 32 33
Задача 14.
Составить интервальный вариационный ряд и построить гистограмму для следующих данных, разбив диапазон значений величины на три интервала
17 18 18 20 21 21 22 25 25 25 26 27 28 28 29 31 31 32 33 34 34
Задача 15.
Выборочная совокупность задана вариационным рядом. Найти объем выборки, указать относительные частоты, построить полигон и кумуляту.
| Х | ||||
| m |
Задача 16.
Найти выборочное среднее, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, если выборка задана вариационным рядом:
| Х | |||||
| m |
Задача 17.
Измерены результаты в беге на 100 м: `x=14 с, sх=1,0 с, и в прыжке в длину с места: `y = 210 см, sу=20 см. Сравнить вариативность результатов при помощи коэффициента вариации.
Задача 18.
Определить статистическую ошибку выборочной средней, если в исследовании участвовало 25 человек, выборочная дисперсия s2=10.
Задача 19.
Выполнить округление выборочных средних, если результаты расчетов оказались следующими: `x=120,12596 mx = 2,2514 `у=12,15688, my = 0,12444.
Задача 20.
Составить доверительный интервал для генеральной средней с доверительной вероятностью 0,95, если по выборке объемом 16 получены следующие данные: `х=120, s=6.
Задача 21.
Оценить значение генеральной средней с доверительной вероятностью 0,95, если по выборке объемом n=100 получены следующие данные: `х=80, s = 5.
Задача 22.
Результаты тестирования в двух группах оказались следующими:`x=120, sx = 2, `у=128, sy = 4. Определить, различаются ли генеральные средние на уровне значимости 0,05, если численность групп составляет 5 и 8 человек, соответственно.
Задача 23.
В таблице указаны результаты тестирования двух групп юных спортсменов. Определить, достоверны ли различия в уровне развития физических качеств у участников исследования, если группа А состоит из 9 человек, группа В – из 10 человек.
| Контрольные упражнения | А `х ± m`х | В `у ± m`у |
| Бег 100 м, с | 15,4 ± 0,8 | 14,8 ± 1,1 |
| Прыжок в длину с места, см | 218,6 ± 5,3 | 261,4 ± 4,4 |
| Подтягивания, кол-во раз | 8,9 ± 0,6 | 11,4 ± 0,5 |
Задача 24.
Проверить гипотезу о равенстве двух генеральных средних по связанным выборкам, если Х – результаты первичного тестирования, Y – результаты повторного тестирования
| Х | ||||||||
| Y |
Задача 25.
Установить тесноту взаимосвязи между показателями Х и У при помощи коэффициента корреляции Браве-Пирсона.
| Х | |||||
| У |
Задача 26.
Установить тесноту взаимосвязи между показателями Х и У при помощи коэффициента корреляции Спирмена
| Х | |||||
| У |
Экзаменационные вопросы
1. Основные понятия теории вероятностей: испытание, событие, вероятность. Свойства вероятности.
2. Классическое определение вероятности.
3. Статистическое определение вероятности.
4. Сумма событий. Вероятность суммы двух совместных и несовместных событий.
5. Произведение событий. Вероятность произведения двух независимых и зависимых событий.
6. Формула Бернулли.
7. Случайные величины, их типы и способы описания.
8. Ряд распределения дискретной случайной величины, многоугольник распределения.
9. Числовые характеристики дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
10. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
11. Интегральная функция распределения непрерывной случайной величины, ее свойства и график.
12. Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины, ее свойства.
13. Общее нормальное распределение, его графическое изображение.
14. Нормированное (стандартное) нормальное распределение, его графическое изображение.
15. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал.
16. Правило "трех сигм".
17. Основные понятия математической статистики: генеральная совокупность, выборочная совокупность. Выборочный метод статистических исследований.
18. Безынтервальный вариационный ряд. Полигон, кумулята.
19. Группировка статистических данных в виде интервального вариационного ряда. Гистограмма.
20. Характеристики положения выборочной совокупности: выборочное среднее, мода, медиана.
21. Характеристики вариативности выборочной совокупности: дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
22. Коэффициент вариации.
23. Статистическая ошибка выборочной средней.
24. Интервальная оценка математического ожидания нормально распределенной случайной величины для большой выборки (при помощи нормированного нормального распределения).
25. Интервальная оценка математического ожидания случайной величины по выборке малого объема (при помощи распределения Стьюдента).
26. Принципы и алгоритм проверки статистических гипотез.
27. Проверка гипотезы о равенстве двух генеральных средних по независимым выборкам.
28. Проверка гипотезы о равенстве двух средних для связанных совокупностей.
29. Проверка гипотезы о равенстве выборочных совокупностей по критерию Вилкоксона.
30. Корреляция. Задачи корреляционного анализа.
31. Построение корреляционного поля, определение формы и направленности корреляционной зависимости.
32. Определение тесноты корреляционной связи. Коэффициент корреляции Браве-Пирсона.
33. Определение тесноты связи при помощи коэффициента корреляции Спирмена.
34. Определение достоверности коэффициента корреляции.
35. Взаимосвязь качественных признаков. Коэффициент сопряженности.
Приложение 1
Удвоенные значения функции Лапласа
| u | 0,00 | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,04 | 0,05 | 0,06 | 0.07 | 0,08 | 0,09 |
| 0,0 | ||||||||||
| 0,1 | ||||||||||
| 0,2 | ||||||||||
| 0.3 | ||||||||||
| 0,4 | ||||||||||
| 0,5 | ||||||||||
| 0,6 | ||||||||||
| 0,7 | ||||||||||
| 0.8 | ||||||||||
| 0,9 | ||||||||||
| 1,0 | ||||||||||
| 1,1 | ||||||||||
| 1,2 | ||||||||||
| 1,3 | ||||||||||
| 1,4 | ||||||||||
| 1,5 | ||||||||||
| 1,6 | ||||||||||
| 1,7 | ||||||||||
| 1,8 | ||||||||||
| 1,9 | ||||||||||
| 2,0 | ||||||||||
| 2,1 | ||||||||||
| 2.2 | ||||||||||
| 2,3 | ||||||||||
| 2,4 | ||||||||||
| 2,5 | ||||||||||
| 2,6 | ||||||||||
| 2,7 | ||||||||||
| 2,8 | ||||||||||
| 2,9 | ||||||||||
| 3,0 | ||||||||||
| 3,1 | ||||||||||
| 3,2 | ||||||||||
| 3,3 | ||||||||||
| 3,4 | ||||||||||
| 3,5 | ||||||||||
| 3,6 | ||||||||||
| 3.7 |
Примечание: в таблицах нули и запятые опущены.
Приложение 2
Ординаты кривой нормального распределения
| u | j(u) | u | j(u) | u | j(u) | u | j(u) |
| 0,0 | 0,3989 | 1,0 | 0,2420 | 2,0 | 0,0540 | 3,0 | 0,0044 |
| 0,1 | 0,3970 | 1,1 | 0,2179 | 2,1 | 0,0440 | 3,1 | 0,0033 |
| 0,2 | 0,3910 | 1,2 | 0,1942 | 2,2 | 0,0355 | 3,2 | 0,0024 |
| 0,3 | 0,3814 | 1,3 | 0,1714 | 2,3 | 0,0283 | 3,3 | 0,0017 |
| 0,4 | 0,3683 | 1,4 | 0,1497 | 2,4 | 0,0224 | 3,4 | 0,0012 |
| 0,5 | 0,3521 | 1,5 | 0,1295 | 2,5 | 0,0175 | 3,5 | 0,0009 |
| 0,6 | 0,3332 | 1,6 | 0,1109 | 2,6 | 0,0136 | 3,6 | 0,0006 |
| 0,7 | 0,3123 | 1,7 | 0,0940 | 2,7 | 0,0104 | 3,7 | 0,0004 |
| 0,8 | 0,2897 | 1,8 | 0,0790 | 2,8 | 0,0079 | 3,8 | 0,0003 |
| 0,9 | 0,2661 | 1,9 | 0,0656 | 2,9 | 0,0060 | 3,9 | 0,0002 |
Приложение 3
Критические точки распределения Стьюдента
| Уровень значимости a для двусторонней критической области | |||||||||
| n | 0,1 | 0,05 | 0,01 | 0,001 | n | 0,1 | 0,05 | 0,01 | 0,001 |
| 6,313 | 12,71 | 63,656 | 636,62 | 1,745 | 2,119 | 2,921 | 4,015 | ||
| 2,919 | 4,302 | 9,925 | 31,599 | 1,739 | 2,109 | 2,898 | 3,965 | ||
| 2,353 | 3,182 | 5,841 | 12,924 | 1,734 | 2,101 | 2,878 | 3,921 | ||
| 2,131 | 2,776 | 4,604 | 8,610 | 1,729 | 2,093 | 2,861 | 3,883 | ||
| 2,015 | 2,570 | 4,032 | 6,869 | 1,725 | 2,086 | 2,845 | 3,849 | ||
| 1,943 | 2,446 | 3,707 | 5,959 | 1,721 | 2,079 | 2,831 | 3,819 | ||
| 1,894 | 2,364 | 3,499 | 5,408 | 1,717 | 2,074 | 2,818 | 3,792 | ||
| 1,859 | 2,306 | 3,355 | 5,041 | 1,714 | 2,068 | 2,807 | 3,767 | ||
| 1,833 | 2,262 | 3,249 | 4,781 | 1,711 | 2,064 | 2,797 | 3,745 | ||
| 1,812 | 2,228 | 3,169 | 4,587 | 1,708 | 2,059 | 2,785 | 3,725 | ||
| 1,795 | 2,201 | 3,106 | 4,437 | 1,706 | 2,055 | 2,778 | 3,707 | ||
| 1,782 | 2,179 | 3,054 | 4,318 | 1,703 | 2,052 | 2,770 | 3,689 | ||
| 1,771 | 2,160 | 3,012 | 4,221 | 1,701 | 2,048 | 2,763 | 3,674 | ||
| 1,761 | 2,145 | 2,977 | 4,140 | 1,699 | 2,045 | 2,756 | 3,659 | ||
| 1,753 | 2,131 | 2,946 | 4,073 | 1,697 | 2,042 | 2,750 | 3,646 | ||
| : | 1,644 | 1,959 | 2,576 | 3,290 | |||||
| 0,9 | 0,95 | 0,99 | 0,999 | 0,9 | 0,95 | 0,99 | 0,999 | ||
| Доверительная вероятность g |
Приложение 4
Коэффициенты для приближенного вычисления
выборочного среднего квадратического отклонения
| n | ||||||||||
| - | - | 1,13 | 1,69 | 2,06 | 2,23 | 2,56 | 2,70 | 2,85 | 2,97 | |
| 3,08 | 3,17 | 3,26 | 3,34 | 3,41 | 3,47 | 3,53 | 3,59 | 3,64 | 3,69 | |
| 3,73 | 3,78 | 3,82 | 3,86 | 3,90 | 3,93 | 3,96 | 4,00 | 4,03 | 4,06 | |
| 4,09 | 4,11 | 4,14 | 4,16 | 4,19 | 4,21 | 4,24 | 4,26 | 4,28 | 4,30 | |
| 4,32 | 4,34 | 4,36 | 4,38 | 4,40 | 4,42 | 4,43 | 4,45 | 4,47 | 4,48 | |
| 4,50 | 4,51 | 4,53 | 4,54 | 4,56 | 4,59 | 4,60 | 4,60 | 4,61 | 4,63 | |
| 4,64 | 4,65 | 4,66 | 4,68 | 4,69 | 4,70 | 4,71 | 4,72 | 4,73 | 4,74 | |
| 4,75 | 4,77 | 4,78 | 4,79 | 4,80 | 4,81 | 4,82 | 4,83 | 4,83 | 4,84 | |
| 4,85 | 4,86 | 4,87 | 4,88 | 4,88 | 4,90 | 4,91 | 4,91 | 4,92 | 4,93 | |
| 4,94 | 4,95 | 4,96 | 4,96 | 4,97 | 4,98 | 4,99 | 4,99 | 5,00 | 5,01 | |
| n | ||||||||||
| k | 5,02 | 5,49 | 5,76 | 5,94 | 6,07 | 6,18 | 6,28 | 6,35 | 6,42 | 6,48 |
Приложение 5
Критические значения коэффициента корреляции Браве-Пирсона
| n | Уровни значимости a | n | Уровни значимости a | ||||
| 0,05 | 0,01 | 0,001 | 0,05 | 0,01 | 0,001 | ||
| 0,9969 | 0,999 | 0,9999 | 0,388 | 0,496 | 0,607 | ||
| 0,950 | 0,9900 | 0,9990 | 0,381 | 0,487 | 0,597 | ||
| 0,878 | 0,9597 | 0,991 | 0,374 | 0,479 | 0,588 | ||
| 0,811 | 0,9172 | 0,9741 | 0,367 | 0,470 | 0,579 | ||
| 0,754 | 0,875 | 0,9509 | 0,361 | 0,463 | 0,570 | ||
| 0,707 | 0,834 | 0,9244 | 0,349 | 0,449 | 0,554 | ||
| 0,666 | 0,798 | 0,898 | 0,332 | 0,435 | 0,539 | ||
| 0,632 | 0,765 | 0,872 | 0,325 | 0,418 | 0,519 | ||
| 0,602 | 0,735 | 0,847 | 0,312 | 0,402 | 0,501 | ||
| 0,576 | 0,708 | 0,823 | 0,304 | 0,393 | 0,490 | ||
| 0,553 | 0,684 | 0,801 | 0,292 | 0,384 | 0,416 | ||
| 0,532 | 0,661 | 0,780 | 0,288 | 0,372 | 0,465 | ||
| 0,544 | 0,641 | 0,760 | 0,279 | 0,361 | 0,451 | ||
| 0,497 | 0,623 | 0,742 | 0,273 | 0,354 | 0,443 | ||
| 0,482 | 0,606 | 0,725 | 0,254 | 0,330 | 0,414 | ||
| 0,468 | 0,590 | 0,708 | 0,220 | 0,286 | 0,380 | ||
| 0,456 | 0,575 | 0,693 | 0,196 | 0,258 | 0,324 | ||
| 0,444 | 0,561 | 0,679 | 0,175 | 0,230 | 0,286 | ||
| 0,433 | 0,549 | 0,665 | 0,160 | 0,210 | 0,249 | ||
| 0,423 | 0,537 | 0,652 | 0,124 | 0,163 | 0,207 | ||
| 0,413 | 0,526 | 0,641 | 0,088 | 0,115 | 0,147 | ||
| 0,404 | 0,515 | 0,629 | 0,062 | 0,081 | 0,104 | ||
| 0,396 | 0,505 | 0,618 |
Приложение 6
Критические значения коэффициента корреляции Спирмена
| n | a=0,05 | a=0,01 | n | a=0,05 | a=0,01 | n | a=0,05 | a=0,01 |
| 1,0 | - | 0,546 | 0,746 | 0,359 | 0,508 | |||
| 0,900 | 1,00 | 0,506 | 0,712 | 0,343 | 0,485 | |||
| 0,829 | 0,943 | 0,456 | 0,645 | 0,329 | 0,465 | |||
| 0,714 | 0,893 | 0,425 | 0,601 | 0,317 | 0,448 | |||
| 0,643 | 0,833 | 0,399 | 0,564 | 0,306 | 0,442 | |||
| 0,600 | 0,783 | 0,377 | 0,534 |
Приложение 7
Критические точки W-критерия Вилкоксона для независимых выборок
| n1 n2 | Уровень значимости a = 0,05 | |||||||||||
| n1 n2 | Уровень значимости a = 0,01 | |||||||||||
n1 – меньший объем выборки, n2 – больший объем выборки
Литература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2002. – 479 с.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для вузов. – М.: Высшая школа, 2002. – 452 с.
3. Карасев А.И. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для экон. спец. вузов. – М.: Статистика, 1979. – 279 с.
4. Коренберг В.Б. Лекции по спортивной метрологии. Основы статистики: Учебное пособие. – Малаховка: МГАФК, 2000. – 76 с.
5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИДАНА, 2004. – 573 с.
6. Основы математической статистики: Учебное пособие для институтов физической культуры / Под ред. В.С.Иванова. – М.: Физкультура и спорт, 1996. – 176 с.
7. Семенов В.Г., Смольянов В.А., Врублевский Е.П. Методы математической статистики в исследованиях по физической культуре и спорту: Учебное пособие. – Смоленск, СГИФК, 1998. – 73 с.
8. Сидоренко Е.В. Методы математической обработки в психологии. – СПб.: ООО «Речь» 2002. – 350 с.
9. Спортивная метрология: Учеб. для ин-тов физ. культ. / Под ред. В.М.Зациорского. – М.: Физкультура и спорт, 1982. – 256 с.
10. Шмелев П.А., Шмелева Г.А., Фураев А.Н. Пособие по высшей математике для вузов физкультурного профиля. Элементы теории вероятностей и математической статистики: Учебное пособие. - М.: МГАФК, 1999. – 165 с.