3.1. Экстремумы в многомерных задачах
Пусть 
n-мерный вектор, а F(x) – дважды непрерывно дифференцируемая функция переменной x, т.е. F(x) функция n переменных xi. Обозначим градиент[1] F(x) в точке x 0 
= 
т.е. это n-мерный вектор-столбец, координатами которого являются частные производные F(x) по координатам xi, вычисленные в некоторой точке x 0. Как известно, первый дифференциал представляется в виде скалярного произведения вектора-градиента 
на вектор смещения d x.
dF(x 0) = 
dx1 + 
dx2 + …+ 
dxn = ( 
d x)
3.1.2 Матрицца Гессе (гессиан)
Для того, чтобы в векторной форме записать второй дифференциал нам понадобится построить специальную матрицу. Вычислив градиенты каждой из координат вектора-градиента 
, мы получим n векторов, каждый из которых содержит n координат, равных вторым частным производным функции F(x). Расположив координаты этих n векторов по столбцам матрицы, мы получим квадратную n-мерную матрицу; такая матрица называется матрицей Гессе или гессианом функции F(x):
Т.к. 
, то гессиан всегда симметричная матрица, и, следовательно, может порождать квадратичную форму. Второй дифференциал d2F представляет собой сумму произведений вторых частных производных на произведение соответствующих приращений независимых переменных:
Легко видеть, что перед нами квадратичная форма относительно приращений переменных dx1, dx2, dx3, … dxn, коэффициенты которой совпадают с элементами матрицы Гессе (гессиана). d2F(x 0) = ( d x¢ 
d x)
Здесь d x¢ =(dх1, dх2, dх3,... dхn) – вектор-строка, а d x – соответствующий вектор-столбец, круглые скобки означают скалярное (матричное) произведение. При введенных обозначениях выражение для приращения дважды непрерывно дифференцируемой функции двух переменных выглядит абсолютно так же, как и для приращения функции одной переменной и может рассматриваться как приращение функции одной векторной переменной
DF=F(x0 +D x)– F(x0)= 
3.1.3 Необходимые и достаточные условия экстремума
Вполне аналогично случаю одной переменной необходимым условием экстремума является тождественное равенство нулю первого дифференциала, что эквивалентно требованию равенства градиента нуль-вектору = 0. Точки, в которых это условие выполнено, называются, как и в случае одной переменной, стационарными.
Достаточное условие наличия экстремума формулируется так же, как и в случае одной переменной: для наличия экстремума в стационарной точке достаточна знакоопределенность второго дифференциала, причем положительная определенность достаточна для минимума, а отрицательная определенность - для максимума:
d2F(x 0) = ( d x¢ 
d x) > 0 Û min
d2F(x 0) = ( d x¢ d x) < 0 Û max
По критерию Сильвестра для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы квадратичной формы были положительны, а для отрицательной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров чередовались, т.е. чтобы у минора i-го порядка был знак (–1)i. Таким образом, критерий Сильвестра, примененный к гессиану, дает нам инструмент для выяснения вопроса о наличии экстремума в стационарной точке функции нескольких переменных.
3.2 Классическая задача математического программирования. Метод множителей Лагранжа (случай двух переменных)
3.2.1 Постановка задачи и функция Лагранжа
Пусть нужно найти max F(x1,x2) при условии g(x1,x2) = b. Функция F(x1,x2) называется целевой функцией, а линия g(x1,x2) = b - линией ограничений, точки, в которых условие g(x1,x2) = b выполнено, называются допустимыми.
Введем в рассмотрение новую функцию L: L(x1,x2,y) = F(x1,x2) + y (b – g(x1,x2))
Функция L зависит от вектора x и скалярного множителя y; переменную y называют множителем Лагранжа, а функцию L(x1,x2,y) – функцией Лагранжа. Стационарные точки функции Лагранжа имеют следующие особенности:
1. Любая стационарная точка функции Лагранжа принадлежит допустимому множеству, т.к. 
;
2. Поскольку 
, то во всякой стационарной точке функции Лагранжа градиенты целевой функции и функции ограничений пропорциональны (
)
3.2.2 Необходимые условия экстремума в классической задаче математического программирования (задаче Лагранжа)
Т.к. производная по направлению всегда равна проекции градиента на это направление, необходимым условием экстремума является равенство нулю проекции градиента целевой функции на допустимое множество (градиент должен быть перпендикулярен касательной к кривой ограничений). Из приведенных свойств стационарных точек функции Лагранжа следует
1. В стационарной точке функции Лагранжа градиент целевой функции перпендикулярен кривой ограничений (он параллелен градиенту g(x1,x2)), а градиент g(x1,x2) перпендикулярен линии g(x1,x2) = b как своей линии уровня
2. В стационарной точке функции Лагранжа линия уровня целевой функции касается линии допустимых значений g(x1,x2) = b.
Таким образом необходимым условием наличия экстремума у функции F(x1,x2) при условии g(x1,x2) = b является стационарность функции L(x1,x2,y)
Другими словами, стационарные точки функции F(x1,x2) на множестве допустимых значений совпадают со стационарными точками функции L(x1,x2,y).
3.2 Задача нелинейного программирования
3.2.1 Постановка задачи
Задача нелинейного программирования формулируется следующим образом: найти максимум целевой функции n переменных, при том условии, что их значения подчинены m ограничениям-неравенствам и требованию неотрицательности F(x1, x2,... xn) ® max
x1 ³0, x2 ³0,.... xn ³0,
В векторной форме эту же задачу запишем следующим образом
F(x) ® max g (x) £ b х³0
Здесь g (x) m–мерная вектор-функция, а b –m-мерный вектор.
Легко видеть, что сформулированная задача является аналогом стандартной задачи линейного программирования, с тем отличием, что целевая функция и ограничения представлены нелинейными выражениями
3.2 Задача с ограничениями неотрицательности
Рассмотрим частный случай задачи, когда из всех ограничений на инструментальные переменные наложено только требование неотрицательности
F(x) ® max х³0
т.е. мы ищем максимум целевой функции в первом (неотрицательном) ортанте. Если максимум (локальный или глобальный) находится во внутренней точке x0 допустимого множества (ортанта), то необходимым условием первого порядка является равенство нулю градиента: = 0. Вместе с последним условием в точке максимума, естественно, выполнено и условие ( 
x0) = 0.
Если точка максимума x0 находится на границе допустимой области, то это означает, что одна или более координат точки равны нулю. Пусть, например, число переменных равно трем и в точке максимума х=0, т.е. максимум достигается на плоскости YZ. На этой плоскости ограничение х≥0 активно (превратилось в равенство), мы находимся в ситуации задачи Лагранжа, и необходимым условием экстремума становится перпендикулярность градиента допустимому множеству. Значит единственной ненулевой координатой градиента становится х-координата. При этом если мы ищем именно максимум, то обязательно 
, т.к. функция F(x) растет по направлению изнутри к границе, т.е. в сторону уменьшения переменной х. Следовательно, градиент целевой функции в точке максимума перпендикулярен линии ограничения х=0 и смотрит наружу. Значит, и в случае расположения максимума на границе справедливо условие: скалярное произведение вектора-градиента на координаты точки, в которой градиент вычислен, равно нулю ( x0) = 0 причем для всех координат справедливо 
. Т.е. в точке максимума либо координата хi равна нулю, либо производная по этой координате равна 0. Имеем необходимое условие максимума при ограничениях неотрицательности:
x0) = 0
Теория фирмы
4.1 Производственная функция
Пусть 
, х³0 – вектор затрат, т.е. хi – количество затрат i–го вида, i=1¸n. Связь между затратами и выпуском называется производственной функцией q = f(x) = f(x1, x2,... xn)
где q – максимально возможный выпуск единственного вида продукции при заданном векторе затрат.
Мы предполагаем, что производственная функция удовлетворяет двум требованиям (аксиомам):
1.Существует такое подмножество пространства затрат, которое называется экономической областью, в котором увеличение любого вида затрат не приводит к уменьшению выпуска х1 ³ х2 Þ f(x1) ³ f(x2), что эквивалентно требованию неотрицательности первых частных производных производственной функции по всем переменным 
2.Существует выпуклое [2] подмножество экономической области R, называемое особой областью, в которой матрица Гессе производственной функции 
отрицательно определена " x ÎR.
В особой области R подмножества, ограниченные линиями уровня производственной функции { x ÎR: f(x)³q0} (т.н. производственные множества), выпуклы для любого q0.
В области R также справедливо 
, т.е. вторые «чистые» частные производные производственной функции по любому фактору затрат (по любой из переменных xj) отрицательны. Это соотношение называется законом убывающей отдачи, оно означает, что по достижению определенного уровня увеличение затрат данного типа приводит к снижению их эффективности, т.е. уменьшению предельного продукта. Отметим, что вдоль изокванты df = 0, то (MP d x) = 0, и если из всех переменных изменяются только две xj и xk, то MPj dxj + MPk dxk = 0. При этих предположениях вдоль изокванты на плоскости (xj, xk) 
т.е. в экономической области наклон изоквант всегда отрицателен, поскольку все MPj положительны.
Основными характеристиками производственной функции, кроме предельных продуктов, являются отдача от расширения масштаба производства и возможности замещения. Отдача от увеличения масштаба характеризует поведение производственной функции при том условии, что все затраты возрастают в одинаковой пропорции, т.е. она характеризуется соотношением между f(x) и f(a x).[3] Мы говорим, что эффективность не зависит от масштаба производства (отдача постоянна), если производственная функция однородная степени 1, т.е. f(a x) = af(x). Производственная функция характеризуется возрастающей (убывающей) отдачей, если f(a x) > (<) a f(x).
4.2 Геометрические представления
Рассмотрим геометрическую иллюстрацию для случая двух переменных x1 и x2.
На рис.9 изображены две изокванты: f(x)=q1 и f(x)=q2, (q1>q2). Границы особой области показаны жирным пунктиром. Внутри особой области предельные продукты MP1 и MP2 положительны, а наклоны изоквант отрицательны; вне особой области один из предельных продуктов становится отрицательным, что означает уменьшение выпуска при росте затрат одного из факторов. Граница 1 формируется из точек, в которых MP1 равен нулю, а граница 2 – из точек, в которых MP2 равен нулю. Соответственно, в точках пересечения изоквант с границей 1 касательные к изоквантам горизонтальны, а в точках пересечения с границей 2 касательные к изоквантам вертикальны. Границу 1 также можно интерпретировать как линию минимальных затрат фактора 2, необходимых для заданного объема выпуска (вся изокванта f(x)=q1 лежит выше точки а). Аналогично, граница 2 есть линия минимальных затрат фактора 1, необходимых для заданного объема выпуска (вся изокванта f(x)=q1 лежит правее точки b). Чем больше выпуск q, тем дальше расположена соответствующая изокванта от начала координат (тем больше затраты); в случае производственной функции постоянной отдачи изокванты получаются одна из другой пропорциональным растяжением вдоль лучей, исходящих из начала (изокванты гомотетичны).
3.5 Неоклассическая теория фирмы
Эта теория построена на таких предположениях:
1. Целью фирмы является максимизация прибыли: P = R–C, где R – доход, а С – издержки
2. Фирма производит продукцию только одного вида.
3. Фирма действует в условиях совершенной конкуренции, т.е. цена выпуска р и цены факторов производства wj заданы и не зависят от деятельности фирмы.
При сделанных предположениях доход и издержки соответственно равны:
R=pq = p f(x) C = 
= (w x) (51)
Математически эта задача формулируется следующим образом:
P(x) = R–C = p f(x) – (w x) ® max при условиях: х³0 (52)
Если предположить, что затраты всех видов реально сделаны, то получим, что в точке оптимума стоимость предельных продуктов равна плате за ресурсы. Это означает, что оптимальное распределение трат таково, что при увеличении затрат j–го вида на единицу доход от увеличения выпуска в точности равен цене единицы j–го ресурса, т.е. затратам. Одновременное пропорциональное изменение всех цен не влияет на оптимальный размер выпуска.
Проиллюстрируем полученные результаты геометрически для случая двух факторов производства. Изобразим на рисунке изокванты – линии постоянного объема выпуска, и изокосты – линии фиксированных денежных затрат. В двухфакторной задаче изокосты есть лини уровня функции С = x1w1 + x2w2, где С – положительная константа, и представляют собой семейство параллельных прямых. При заданном уровне издержек С величина оптимального выпуска соответствует той из изоквант, которая касается выбранной изокосты (по Лагранжу линии уровня целевой функции и функции ограничений имеют в точке оптимума общую касательную).
Совокупность точек, в которых изокванты касаются изокост можно рассматривать с двух точек зрения. С первой точки зрения эта кривая представляет на плоскости (x1, x2) оптимальное распределение затрат для каждого заданного объема выпуска при отсутствии иных ограничений на затраты, кроме требования их положительности. Такая кривая на плоскости (x1, x2) называется кривой долгосрочного развития. Как ранее отмечалось, развитие называется краткосрочным, если на затраты факторов производства наложены дополнительные ограничения, связанные, например, с необходимостью выполнения уже заключенных договоров. На рис. 13 линия краткосрочного развития вертикальна и отвечает ограничению 
. Линии долго- и краткосрочного развития пересекаются в единственной точке 
. Только в этой точке структура затрат краткосрочной линии развития оптимальна.
[1] Отличить вектор-градиент от обычной частной производной можно по тому признаку, что у градиента переменная, по которой дифференцируют, это вектор x, и, значит, она выделена жирным шрифтом.
[2] Множество называется выпуклым, если любые две его точки можно соединить прямой, целиком принадлежащей этому множеству.
[3] Геометрически это означает, что мы исследуем поведение производственной функции при движении вдоль луча, порожденного вектором x.