Раздел 2. Элементы аналитической геометрии

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Организационно-методический раздел

 

Цель курса

Данный курс имеет целью ознакомить студентов с основами математического аппарата линейной алгебры и аналитической геометрии, необходимого при решении теоретических и практических задач по указанной специальности, выработать у студентов навыки к математическому исследованию экономических проблем.

 

Задача курса

Научить студентов действиям с матрицами, определителями, решать системы линейных уравнений, исследовать геометрические объекты на плоскости и в пространстве.

 

Место курса в профессиональной подготовке выпускника

Курс является обязательной дисциплиной и читается в первом семестре.

 

 

Требования к уровню освоения содержания курса

В результате освоения курса студент должен уметь выполнять действиями с матрицами, решать и исследовать системы линейных уравнений, вычислять определители, выполнять арифметические действия с комплексными числами, исследовать прямые и плоскости.

 

 

Содержание курса

Разделы курса

Раздел 1. Линейная алгебра

Раздел 2. Элементы аналитической геометрии

Темы и краткое содержание

 

Раздел 1. Линейная алгебра.

 

Тема 1. Матрицы. Определение. Действия с матрицами, их свойства: равенство матриц, транспонирование, сложение, умножение матрицы на число, перемножение матриц. Обратная матрица, ее свойства. Элементарные преобразования матриц. Приведение квадратной матрицы к треугольному и диагональному виду. Приведенная матрица.

 

Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений. Матричная запись системы: матрица системы, расширенная матрица системы. Определение решения и общего решения системы. Классификация систем в терминах количества решений. Равносильные системы. Элементарные преобразования систем, свойства преобразований. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Алгоритм нахождения обратной матрицы. Матричные уравнения.

 

Тема 3. Линейные пространства. Определение линейного пространства. Примеры. Пространство . Координаты вектора. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Критерий линейной зависимости и независимости системы векторов. Скалярное произведение векторов. Модуль (длина) вектора, угол между векторами. Ортогональные векторы. Базис в пространстве . Ранг матрицы.

 

Тема 4. Определители. Перестановки и подстановки, сигнатура и ее свойства.

Определители 1-ого, 2-ого, 3-ого порядка. Свойства определителя. Влияние элементарных преобразований матрицы на значение ее определителя. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке (столбцу). Определитель треугольной и диагональной матриц.

Приложение теории определителей. Обратимость матриц. Присоединенная матрица. Схема Крамера решения систем линейных уравнений с квадратной матрицей.

 

Тема 5. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия с комплексными числами. Операция сопряжения. Геометрическая иллюстрация комплексных чисел.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

 

 

Тема 6. Собственные векторы и собственные значения. Определение собственного вектора и собственного значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы. Свойства собственных векторов.

 

Раздел 2. ЭЛЕМЕНТЫАНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

 

Тема 7. Геометрия на прямой. Декартова ось координат. Координаты точек и векторов на прямой. Длина вектора. Преобразование системы координат на прямой.

 

Тема 8. Геометрия на плоскости. Общая декартова система координат на плоскости. Декартова прямоугольная система координат. Координаты точек и векторов на плоскости. Расстояние между двумя точками. Угол между двумя векторами. Полярная система координат. Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой.

Полуплоскость. Направляющий вектор прямой. Составление уравнения прямой по различным ее заданиям. Взаимное расположение двух прямых: условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

 

Тема 9. Геометрия в пространстве. Общая декартова система координат в пространстве. Декартова прямоугольная система координат. Координаты точек и векторов. Расстояние между двумя точками. Плоскость в пространстве. Составление уравнения плоскости по различным ее заданиям. Взаимное расположение двух плоскостей: условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, угол между двумя плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Различные способы задания прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Расстояние от точки до прямой.

 

Тема 10. Выпуклые множества. Определение, примеры выпуклых множеств. Полупространство как выпуклое множество. Основная теорема. Свойства выпуклых множеств. Выпуклый многогранник. Угловые точки выпуклых множеств. Выпуклая оболочка системы точек.

 

 

Контрольные вопросы

 

 

Тема 1.

1. Можно ли сложить данные матрицы:

и .

1. Какие из заданных пар матриц можно перемножить:

а) , ;

б) , ;

в) , .

3. Вычислить , если , .

 

Тема 2.

1. Показать, что однородная система всегда имеет хотя бы одно решение.
2. Является ли множество решений системы

бесконечным?

3. Имеет ли матрица обратную: ?

Тема 3.

1. Является ли система векторов линейно зависимой в : ?
2. В каких случаях система трёх векторов в пространстве образует базис?
3. Условие ортогональности двух векторов в пространстве ?

 

Тема 4.

1. Чему равен определитель матрицы:

а) ; б) ?

2. Вычислить определитель, используя известные свойства определителя:

 

а) ; б) .

3. Как изменится определитель, если одну из его строк умножить на «3»?

 

Тема 5.

1. Найти корни уравнения: а) ; б) .

2. Найти .

3. Какое комплексное число определяет формула:

.

 

Тема 6.

1. Сколько корней имеет характеристическое уравнение:

.

2. Может ли уравнение, определяющее собственные вектора матрицы : , иметь единственное решение?

 

Тема 8.

1. Определить длину вектора где .

2. Найти координату х точки М, делящей отрезок, ограниченный точками и , в отношении: а) 3; б) 1

3. Даны координаты 2 и 4 точки А в двух декартовых системах координат, полученных одна из другой переносом начала. Найти старую координату нового начала координат и новую координату старого начала координат.

 

Тема 9.

1. Привести общее уравнение прямой на плоскости:

к уравнению в отрезках на осях.

2. Чему равен угол между прямыми: и ?

3. Чему равен угол, образованный прямой с осью ?

 

 

Тема 10.

1. Чему равны отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат? .
2. Являются ли следующие плоскости параллельными?

.

3. Пересекаются ли прямая с плоскостью ?

 

Тема 11.

1. Являются ли следующие множества ограниченными?

а) ; б) .

 

1. Найти вершины выпуклого множества:

.

1. Является ли выпуклым множество, определяемое неравенствами:

.

 

 

Вопросы к экзамену

1. Определение матрицы, виды матриц.
2. Действия с матрицами, их свойства.
3. Обратная матрица, ее свойства.
4. Элементарные преобразования матриц.
5. Приведенная матрица.
6. Системы линейных уравнений, их виды.
7. Матричная запись систем, расширенная матрица системы.
8. Определение решения системы, общее решение.
9. Элементарные преобразования систем.
10. Метод Гаусса решения систем.
11. Алгоритм нахождения обратной матрицы.
12. Матричные уравнения.
13. Линейное векторное пространство.
14. Линейная комбинация векторов.
15. Линейная зависимость векторов.
16. Скалярное произведение векторов, его свойства.
17. Ортогональные векторы. Базис в линейном векторном пространстве.
18. Понятие определителя, его свойства.
19. Схема Крамера решения систем линейных уравнений.
20. Комплексные числа, действия с ними.
21. Тригонометрическая форма комплексного числа.
22. Определение собственных чисел и собственных значений матрицы.
23. Простейшие линейные экономические модели.
24. Декартова ось координат.
25. Декартова система координат на плоскости.
26. Полярная система координат.
27. Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой.
28. Определение полуплоскости.
29. Взаимное расположение двух прямых.
30. Расстояние от точки до прямой.
31. Декартова система координат в пространстве.
32. Плоскость в пространстве.
33. Составление уравнения плоскости по различным ее заданиям.
34. Взаимное расположение двух плоскостей.
35. Расстояние от точки до плоскости.
36. Прямая в пространстве, способы ее задания.
37. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
38. Взаимное расположение прямой и плоскости.
39. Расстояние от точки до прямой в пространстве.
40. Понятие выпуклого множества.
41. Полупространство как выпуклое множество.
42. Свойства выпуклых множеств.
43. Угловые точки выпуклых множеств.