Локальная теорема Муавра

Лекция 2.

Повторные независимые испытаний

План лекции.

1.Формула полной вероятности.

2.Формула Бейеса.

3.Повторение испытаний.

4. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появлений событий.

5.Локальная и интегральная формулы Лапласа.

6.Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности.

7. Теорема Пуассона.

Литература: [1], [2], [3], [4].

Формула полной вероятности

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , ,…, , которые образуют полную группу событий. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности события А.

Теорема. Вероятность появления события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий , ,…, , образующих полную группу событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответсвующую вероятность события А:

Р(А) = Р () (А) + Р () (А) + Р () (А).

Полученная формула называется формулой полной вероятности.

Формулы Бейеса

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , ,…, , образующих полную группу событий. Посколько заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности.

Допустим далее, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились вероятности гипотез. Другими словами будем искать условные вероятности (), (.),…, ().

Найдем сначала условную вероятность (). По теореме умножения имеем:

Р (А ) = Р (А) () = Р () (А).

Отсюда

()= Р() (А)/ Р(А).- формулы Бейеса.

Аналогично выводятся формулы для определения условных верояостей других гипотез.

Формулы гипотез позволяют переоценить вероятности гипотез после того как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Повторение испытаний.

Пусть производится серия из n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться или нет, причем появления события А при каждом испытании постоянна и равна р, а вероятность не появления события А равна q= 1-p.

Тогда вероятность того, что событие А в этой серии произойдет ровно m раз, определяется по формуле Бернулли (формуле биноминального распределения):

Пример. Вероятность того, что автомат данного типа потребует вмешательство оператора в течении часа равна 0,3. Какова вероятность того, что в течении часа вмешательство оператора потребуют два автомата из пяти работающих?

Решение. В нашем случае, p = 0,3, q = 1- 0,3 =0,7, n =5, m =2

= = =10* 0,09*0,343 = 0,3087.

Формулу Бернулли целесообразно применять в случаях, когда n не очень велико.

При больших значениях n использовать формулу Бернулли практически невозможно Поэтому важны приближенные формулы, достаточно простые и точные.

Локальная теорема Муавра – Лапласа

В случае, если число испытаний п велико, а вероятность появления события А постоянна и отлична от нуля, то вероятность того, что событие А в серии из n испытаний произойдет ровно m раз приближенна равна значению функции

= f(х), где f(х) = , t = ,

где функция f(х)- табулированная функция., четная.Эта формула дает результат достаточной точности, если выполнено условие 15.

Формула Пуассона (формула малых вероятностей)

= e , = np.

Вероятностный смысл - это среднее число появления события А в испытаниях.

Значения функции Пуассона для различных и приведены в таблицах. Формула обеспечивает достаточно высокую точность при выполнении условий n , .

Если вероятность наступления события А в п независимых испытаниях постоянна и равна р и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что событие А появится в п испытаниях не менее раз, но не более раз приближенно вычисляется по интегральной теореме Лапласа:

Р (, ) = (Ф()-Ф()), Ф(х)= ,

Значения функции Ф(х) табулированы для различных х. При пользовании таблицей следует учитывать, что эта функция нечетная. Достаточная точность формулы обеспечивается при условии

Пример. Найти вероятность того, что соб ытие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события к в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию п=400, к=80,р=0,2.

Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа:

= = .