С угловым коэффициентом
Поверхности второго порядка
С угловым коэффициентом |
a³0 | ||
Уравнение прямой L в отрезках | y= 0 Þ x=a x= 0 Þ y=b | ||
Уравнение прямой L каноническое | l =(m, n) l =(m, n) çç L M 1(x 1, y 1)Î L " M (x, y)Î L | ||
Уравнение прямой L, проходящей через две данные точки M 1 и M 2 | l =(m, n) çç L M 1(x 1, , y 1)Î L M 2(x 2, y 2)Î L " M (x, y)Î L m=x 2– x 1, n = y 2-– y 1 . | ||
Уравнения прямой L параметрические | " t Î R 1 – параметр |
Таблица 2
№ | Уравнения плоскости Р | Рисунки, пояснения |
A ( x–x 1)+ B ( y–y 1)+ C ( z–z 1)=0 Уравнение плоскости P, проходящей через данную точку М 1,, перпендикулярно данному вектору N =(A, B, C) | N = (A, B C) r = (x, y, z) r 1 = (x 1, , y 1, z 1) M 1(x 1, , y 1, z 1)Î P " M (x, y, z) Î P | |
Ax + By + Cz + D = 0 Общееуравнение плоскости P | D = – Ax 1 – By 1 – Cz 1 | |
Уравнение плоскости P в отрезках | y= 0, z= 0 Þ x=a x= 0, z= 0 Þ y=b x= 0, y= 0 Þ z=c | |
Уравнение плоскости P, проходящей через три данные точки | M 1(x 1, y 1, z, 1)Î P, М 1 М Î Р M 2(x 2, y 2, z 2)Î P, М 2 М 1Î Р M 3(x 3, y 3, z 3)Î P, М 3 М 1Î Р " M (x, y, z)Î P | |
Уравнения прямой L в трехмерном пространстве (R 3) | Рисунки, пояснения | |
ì A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1=0 î A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2=0. Общееуравнение прямой L | N 1=(A 1, B 1, C 1) N 2=(A 2, B 2, C 2) N 1çç N 2 L ={ P 1Ç P 2} l çç L, l =(m,n, p)=[ N 1, N 2] | |
Уравнения прямой L канонические | l çç L, l =(m, n, p) M 1(x 1, y 1, z 1)Î L "M(x, y, z)Î L | |
Уравнение прямой L, проходящей через две данные точки M 1 и M 2 | l çç L, l=(m, n, p), lt = M 1 M 2 m=x 2– x 1, n=y 2– y 1, p=z 2– z 1 M 1(x 1, y 1, z 1)Î L M 2(x 2, y 2, z 2)Î L "M(x, y, z)Î L | |
Параметрические уравненияпрямой L | " t Î R 1 |
Уравнения плоскости Р в трехмерном пространстве R 3 и уравнения прямой L
в двухмерном пространстве R 2
Таблица 3
Уравнения плоскости Р в R 3 в координатной форме | Векторная форма уравнений P, L в R 3 и R 2 | Уравнения прямой L в R 2 в координатной форме | ||||||||
I R 3 Уравнения P и L, проходящих через данную точку М 1 R 2I перпендикулярно данному вектору N | ||||||||||
N =(A, B, C) r = (x, y, z) r 1 = (x 1, y 1, z 1) M 1(x 1, y 1, z 1)Î P " M (x, y, z) Î P A(x-x 1)+ B (y-y 1)+ C (z-z 1)=0 | r-r 1 = M 1 M M 1 M ^ N (P) M 1 M ^ N (L) (r-r 1, N) = 0 (M 1 M, N) = 0 Условие ортогональности векторов | N = (A,B) r = (x, y) r 1 = (x 1, y 1) M1 (x 1, y 1) Î L " M (x, y) Î L A (x-x 1)+ B (y-y 1) = 0 | ||||||||
II R 3 Общие уравнения R 2 II | ||||||||||
Ax + By + Cz + D = 0 D = -Ax 1 - By 1 - Cz 1 | (r,N) + D = 0 D = – (r1, N) | Ax + By +D = 0 D = -Ax 1 -By 1 | ||||||||
III R3 Через n фиксированных точек M R2 III | ||||||||||
n = 3 | n = 2 | |||||||||
M 1(x 1 ,y 1, z, 1)Î P, М 1 М Î Р M 2(x 2, y 2, z 2)Î P, М 2 М 1Î Р M 3(x 3, y 3, z 3)Î P, М 3 М 1Î Р " M (x,y,z)Î P | M 1 Î P, L M 2 Î P, L " M Î P, L M 3 Î P | M 1(x 1 ,y 1) Î L, M 2(x 2, y 2) Î L " M (x, y) Î L М 1 М çç М 2 М 1 | ||||||||
(M 1 M, M 1 M 2, M 1 M 3)=0 Условие компланарности векторов | [ M 1 M, M 1 M 2] = 0 Условие коллинеарности векторов | |||||||||
A =y 2 -y 1; B = – (x 2 -x 1), Û A (x-x 1) + B (y-y 1) = 0 (1. I.) | ||||||||||
IV R 3 Уравнения в отрезках R 2 IV | ||||||||||
y= 0, z= 0 Þ x=a x= 0, z= 0 Þ y=b x= 0, y= 0 Þ z=c | r = xi+yj+zk t = i/a +j/b +k/c (r,t) = 1 t = (1 /a, 1 /b, 1 /c) ç r ç cos (r,t) = 1/ ç t ç | y= 0 Þ x=a x= 0 Þ y=b | ||||||||
Уравнения прямой L в трехмерном пространстве R 3 и в двухмерном пространстве R 2
Таблица 4
Уравнения прямой L в R 3 в координатной форме | Векторная форма уравнений прямой L в R 2 и R 3 | Уравнения прямой L в R 2 в координатной форме | |||
I Канонические уравнения прямой L I | |||||
l =(m,n,p)
l=(m,n,p)ïï L
M 1(x 1, y 1, z 1)Î L
M 2(x 2, y 2, z 2)Î L
"M(x, y, z)Î L
| r-r 1= M 1 M çç l r 2- r 1= M 1 M 2 çç l [ r-r 1, l ]=0 [ M 1 M, l ]=0 | l =(m, n) l =(m,n) çç L M 1(x 1, y 1)Î L M 2(x 2, y 2)Î L " M (x, y)Î L | |||
II Параметрические уравнения прямой L II | |||||
" t Î R 1 | r-r 1 çç l, " t Î R 1 M 1 M çç l r-r 1= M 1 M = tl r=r 1+ tl [ M 1 M, tl ]=0 | " t Î R 1 | |||
III Уравнения прямой L, проходящей через две данные точки M 1 и M 2 III | |||||
l çç L, l=(m,n,p), lt = M 1 M 2
m=x 2– x 1, n=y 2– y 1, p=z 2– z 1
| M 1 M çç M 1 M 2 çç l M 1Î L, M 2Î L, " M Î L [ M 1 M, M 1 M 2]=0 | l çç L, l =(m,n), tl = M 1 M 2 m=x 2– x 1, n = y 2-– y 1 . | |||
IV Общие уравнения прямой L в R 3 (P 1Ç P 2) | Уравнение прямой L с угловым коэффициентом k в R 2 V | ||||
N 1=(A 1, B 1, C 1)
N 2=(A 2, B 2, C 2) N 1çç N 2
L ={ P 1Ç P 2}
.
ì A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1=0,
î A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2=0.
N 1 çç N 2 Û P 1Ç P 2 Û Rang
| A x+ B y+ D =0, B ¹0 ß y = kx + b a³0 | ||||
таблица 4 а (продолжение таблицы 4)
Связь между уравнениями прямой L в R 3 | Связь между уравнениями прямой L в R 2 |
Общие(2.IV) Þ z0=0 Þ M 0(x 0, y 0,0)Î L или Þ y1=0 Þ M 1(x 1,0, z 1)Î L или Þ x 2=0 Þ M 2(0, y 2,z2)Î L N 1=(A 1, B 1, C 1),ü N 2=(A 2, B 2 ,C 2) þ Û l =[ N 1, N 2]=(m,n,p) – канонические (2.I) - ì x-x 0+ mt, í y-y 0+ nt, – параметрические(2.II) î z =0+ pt ß – через две точки M 0Î L, M 1Î L (2.III) – общие(2.IV) | С угловым коэффициентом: (2.V) y = kx+b ß ì x = x 1, y=kx 1+ b = y 1 Þ M 1(x 1, y 1)Î L, î x = x 2, y=kx 2+ b = y 2 Þ M 2(x 2, y 2)Î L. через точки M 1Î L и M 2Î L (1. III) (2.III) Þ – канонические(2.I) ß ì n (x-x 1)= m (y-y1) í n (x-x 1)- m (y-y 1)=0, î n = A; –m = B; A (x-x 1)+ B (y-y 1)=0 M 1(x 1, y 1)Î L N =(A, B)^ L (1.I) ß - Ax 1– B y1= D Ax + By + D =0 – общее(1.II) |
Взаимное расположение плоскостей P в трёхмерном пространстве R 3
и прямых L в двухмерном пространстве R2
ТАБЛИЦА 5
I Обозначения, принятые в таблице 2, {P1,P2} в R3 | I | Обозначения, принятые в I таблице 2, {L1,L2} в R2 | |||
N 1=(A 1, B 1, C 1); N 2=(A 2, B 2,C2) | R3 cos j =
N 1=(A 1, B 1, C 1); N 2=(A 2, B 2, C 2)
R2
N 1 =(A 1, B 1) N 2 =(A 2, B 2)
| a) N1=(A1,B1);N2=(A2,B2) б) L 1: y=k 1x+ b 1 L 2: y=k 2x+ b 2 tg j = ß k 1= tg a1; k 2= tg a2 tg j =tg (a2 – a1) = | |||
II Признаки взаимного расположения плоскостей {P1, P2} и прямых {L1, L2} II | |||||
плоскости { Р 1, Р 2} в R n; n =3 | Как расположены P и L | Прямые { L 1, L 2} в R n; n =2 | |||
P 1 Ç P 2 (пересекаются) cos j= ¹±1 P 1^ P 2 Û N1^N2 Û cos j=0 { P 1Ç P 2}= L, L Î P 1, L Î P 2 Rang A (y)= = Rang B (y)= 2 < 3= n совместная неопределенная система (y) | N1ïï N2 j ¹ p k, k =0, ±1, ±2,... cos j ≠ ± 1 | L 1Ç L 2 (пересекаются) a) L 1^ L 2Û N 1^ N 2 Û cos j = 0 б) tg j= ¹0 1+ k 1 k 2 ¹ 0 L 1^ L 2 Û1+ k 1 k 2 =0 Û Û k 2= -1/ k 1 { L 1Ç L 2}= M, M Î L 1, M Î L 2 Rang A (c)= = Rang B (c)= 2= n совместная определенная система (c) | |||
P 1ïï P 2 (параллельны) cos j = ±1 | N 1 =lN 2; D 1¹ lD 2 l Î R 1 1= Rang A (y,c) < < Rang B (y,c) = 2 системы (y),(c) несовместны | L 1ïï L 2 (параллельны) а) cos j = ±1 б) k 1 = k 2; b 1 ¹ b 2 tg j = 0 | |||
P 1º P 2 (совпадают) cosj = ±1 | N 1= lN 2; D 1 = lD 2; l Î R 1 Rang A (y,c)= = Rang B (y,c)= 1 совместные неопределенные системы (y), (c) | L 1º L 2 (совпадают) а) cosj = ±1 б) k 1 = k 2, b 1 = b 2 tgj = 0 |
Расстояния d(P 1, P 2) между плоскостями P 1 и P 2 и d (L 1, L 2) между прямыми
L 1 и L 2 в R 3, пересечение { P Ç L } плоскости P и прямой L в R 3
ТАБЛИЦА 6
I P 1 || P 2, L 1 || L 2 в R 3 координатная форма | P 1 || P 2, L 1 || L 2, векторная форма | L 1 || L 2 в R 2II координатная форма | |
Ü | Þ | ||
Ü | h – высота треугольника | Þ | |
III Прямые L 1 и L 2 скрещиваются в R 3 P 1 || P 2 (L 1Ì P 1, L 2Ì P 2) | Прямая L и плоскость P пересекаются в R 3 IV { P Ç L }= M 1 | ||
(d(L 1, L 2)=0Û L 1Ç L 2);П(М 1 М 2, l 1 ,l 2) –параллелепипед, построенный на векторах М 1 М 2, l 1 ,l 2,, h – его высота | M 0(x 0, y 0, z 0) Î L sin j = 0 Û L ^ P, l ïï N | ||
ТАБЛИЦА 6а (продолжение таблицы 6)
VI Векторная запись условий ортогональности (P ^ L), коллинеарности (P || L) плоскости P и прямой L в R 3, пересечения P и L (P Ç L). | { P Ç L }= M 1(x 1, y 1, z 1) – координаты точкиV пересечения плоскости P и прямой L в R 3 | |||
(2.II) Þ
|
к -мерная плоскость Р к в точечно-векторном евклидовом n -мерном пространстве R n
ТАБЛИЦА 7
к = n – r, Rang A = r | ||||||||||||||
AX = B | ||||||||||||||
Система m линейных уравнений с n неизвестными | ||||||||||||||
r = 1 гиперплоскость к = n –1 | к = 1 прямая в R r+1 n – r = 1 | к-мерная плоскость Р к0 в R n, проходящая через начало координат В =0 (СОЛУ) – система однородных линейных уравнений | Общее решение произвольной системы линейных уравнений В ¹0 (ОРСЛУ) | |||||||||||
матричная форма | координатная форма | матричная форма | координатная форма | |||||||||||
Плоскость в R3 n =3 | ||||||||||||||
Уравнение плоскости в отрезках; | Rang A = r = n –1 n = r + 1 AX=B | AX =0 rang A=r, x1,x2,..,xr – базисные неизвестные. Число базисных неизвестных равно r. | xr+1, xr+2,..,xn – свободные неизвестные Число свободных неизвестных равно k=n – r | Отбросить строки, не вошедшие в базисный минор, перенести свободные неизвестные в правые части уравнений, а дальше следует применить метод Гаусса, Крамера или матричный. | ||||||||||
Прямая в R 3 n =3, r =2, к =1 | Фундаментальная система частных решений СОЛУ (ФСЧР) | Частное решение произвольной СЛУ (ЧРСЛУ) | ||||
форма | координатная форма | Свободным неизвестным придать последовательно значения строк единичной матрицы Е | xr+1 = xr+2 =...= xn = 0 | |||
АХ 1 = 0 АХ 2 = 0 АХ к = 0, k=n–r. | АС=В | |||||
Прямая в R 2 n = 2, r = 1, k = 1 | Общее решение системы однородных линейных уравнений АХ 0=0 | О. Р. произвольной системы | ||||
матричная форма | координатная форма | матричная форма | координатная форма | линейных уравнений (ОРСЛУ) АХ=В | ||
АХ=В | Уравнение прямых в отрезках | AX=A (X0+C)= = AX 0+ AC= O+ B=B | ||||
Прямая в Rn=Rr + 1 n = r+ 1, k = 1 | ||||||
координатная форма | матричная форма | |||||
параметрические уравнения, a 1 – параметр, свободная неизвестная | ||||||
– канонические уравнения | ||||||
Поверхности второго порядка
№ | Вид поверхности второго порядка | Уравнение | Рисунок |
Эллипсоид | |||
Мнимый эллипсоид | |||
Однополостный гиперболоид | |||
Двуполостный гиперболоид | |||
Эллиптический параболоид | |||
Гиперболический параболоид | |||
Конус | |||
Мнимый конус | |||
Эллиптический цилиндр | |||
Гиперболический цилиндр | |||
Параболический цилиндр | Y 2 = 2 pX | ||
Мнимый эллиптический цилиндр | |||
Пара мнимых пересекающихся плоскостей | |||
Пара пересекающихся плоскостей | |||
Пара параллельных плоскостей | X 2 − a 2 = 0 | ||
Пара мнимых параллельных плоскостей | X 2 + a 2 = 0 | ||
Пара совпавших плоскостей | X 2 = 0 |
| Поделиться: |
Поиск по сайту:
Читайте также:
Деталирование сборочного чертежа
Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей?
Собственные движения и пространственные скорости звезд